Teoria, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Teoria y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Sobre les equacions diferencials

Josep Mart´ınez Alfaro

Departament de Matem`atica Aplicada.

Universitat de Val`encia.

24 de setembre de 2007

ii

• 1 Conceptes b`asics. Museu ix
  • 1.1 Concepte d’equaci´o diferencial.
    • 1.1.1 Primera definici´o.
    • 1.1.2 Formes normals
    • 1.1.3 Sistema temporal
    • 1.1.4 Solucions d’equacions diferencials
      • quacions diferencials 1.1.5 Exemples de sistemes temporals definits a partir d’e-
  • 1.2 Camps vectorials.
    • 1.2.1 Camps vectorials i equacions diferencials
    • 1.2.2 Exemples de camps
    • 1.2.3 Propietats dels camps
    • 1.2.4 Sistemes determinats per estats
  • 1.3 Camps sobre la recta.
    • 1.3.1 Soluci´o anal´ıtica
    • 1.3.2 Regularitat de les solucions
  • 1.4 Sistemes din`amics
    • 1.4.1 Definici´o
    • 1.4.2 Origen historic dels sistemes dinamics
    • 1.4.3 Grups uniparam`etrics
  • 1.5 Estudi qualitatiu
    • 1.5.1 Camps de classe C^1 (R)
    • 1.5.2 Varietats en el pla
    • 1.5.3 Camps sobre S
  • 1.6 Equacions dependents de par`ametres
    • 1.6.1 Par`ametres i bifurcacions
    • 1.6.2 Persistencia de punts d’equilibri hiperbolics
• 2 Camps de direccions. iv ´INDEX
  • 2.1 Definici´o.
    • 2.1.1 Definici´o i expressi´o.
    • 2.1.2 Equaci´o diferencial d’un camp de direccions
    • 2.1.3 Canvi de variables
  • 2.2 Diferencials exactes
    • 2.2.1 Equaci´o diferencial exacta
    • 2.2.2 Equaci´o separable
    • 2.2.3 Factor integrant
  • 2.3 Simetries i c`alcul de solucions
  • 2.4 Equaci´o lineal
    • 2.4.1 Resoluci´o de l’equaci´o homog`enia
    • 2.4.2 Resoluci´o de l’equaci´o completa
    • 2.4.3 El m`etode de variaci´o de les constants
  • 2.5 Exist`encia de solucions
    • 2.5.1 Teorema d’exist`encia, unicitat i diferenciabilitat
    • 2.5.2 Prolongabilitat de les solucions
    • 2.5.3 Comparaci´o de solucions
• 3 Camps vectorials en el pla.
  • 3.1 Teoremes de regularitat
    • 3.1.1 Camps de direccions i camps vectorials
    • 3.1.2 Teorema de redre¸cament d’un camp vectorial
    • 3.1.3 Exist`encia global de solucions
  • 3.2 Subconjunts de l’espai de fases
    • 3.2.1 Conjunts invariants
    • 3.2.2 Trajectories periodiques i punts d’equilibri
    • 3.2.3 Conjunts l´ımit
  • 3.3 Concepte d’estabilitat
  • 3.4 Sistemes conservatius
  • 3.5 Estructura de l’espai de fases
    • 3.5.1 Teorema de Poincar´e-Bendixon
    • 3.5.2 Aplicacions del Teorema de Poincar´e-Bendixon
  • 3.6 Sistemes integrables
    • 3.6.1 Integrals primeres
    • 3.6.2 Sistemes hamiltonians
  • 3.7 Equacions diferencials de la Cin`etica Qu´ımica
• 4 Sistemes lineals
  • 4.1 Propietats generals
  • 4.2 Solucions definides per s`eries
    • 4.2.1 Solucions formals
    • 4.2.2 Convergencia de les series
    • 4.2.3 Equaci´o lineal completa
  • 4.3 Sistemes lineals de matriu constant ´INDEX v
    • 4.3.1 Introducci´o
    • 4.3.2 Algunes propietat generals
    • 4.3.3 Matriu amb valors propis reals i simples
    • 4.3.4 Matriu amb valors propis simples
    • 4.3.5 Cas general
  • 4.4 Equacions lineals escalars
  • 4.5 C`alcul de l’exponencial d’una matriu
• 5 Entorn d’`orbites l´ımit
  • 5.1 Funcions de Liapunov
    • 5.1.1 Funcions de Liapunov i estabilitat
    • 5.1.2 Funcions de Liapunov per a sistemes lineals
  • 5.2 Entorn d’un punt d’equilibri
    • 5.2.1 Linealitzaci´o en un punt d’equilibri
    • 5.2.2 Punts d’equilibri de sistemes en el pla
    • 5.2.3 Funci´o de Liapunov global
    • 5.2.4 Esclatament d’un punt d’equilibri
  • 5.3 Entorn d’orbites periodiques
    • 5.3.1 Equaci´o variacional
    • 5.3.2 Aplicaci´o de Poincar´e

Notacions

Conjunts

C El conjunt dels complexos. FC Complexificaci´o de F. D Domini de Rn. Z El conjunt dels enters. Ep Entorn d’un punt p. I Interval de R. N El conjunt dels naturals. R El conjunt dels reals. FR Subespai real de F ∈ C. Sn^ Circumfer`encia unitat de dimensi´o n.

Funcions

arctan(a, b) Angle entre els vectors (1, 0) i (a, b). A(x, y) Angle associat a un punt de R^2 , camp de direccions. TC Complexificaci´o de T. H(x 1 , .., xn, y 1 , ..yn) Funci´o hamiltoniana. L Funci´o de Liapunov. χ(t) Soluci´o particular. χ(t, C 1 , C 2 , ..., Ck) Soluci´o general. Ck(R) Funci´o sobre R amb k derivades cont´ınues. fn(x) Aplicaci´o resultat de composar n vegades f amb ella mateixa. sgn(x) Signe de x: 1, 0 , −1. U (x, y) Funci´o potencial.

Operacions

z, c(z) Conjugat de z. lf , c(z) Linealitzat del camp f. dfx(p)(v) Parcial de f respecte x en p aplicada a v. df (p)(v) Derivada de f en p aplicada a v. μ(D) Mesura, volum de D. A Tancament del conjunt A.

vii

viii NOTACIONS

f ∗ω Transposada de ω per f. × Producte escalar.

Algebra^ `

det(A) Determinant de A. G Grup uniparametric associat a un sistema dinamic. ω Forma diferencial. Id Matriu identitat. Ker(A) Nucli de l’aplicaci´o lineal A. plc(A) Polinomi caracter´ıstic de A. plm(A) Polinomi minimal de A. Ri Subespai d’arrels de λi Spec(A) Conjunt de valors propis de A. Vλ Espai format pels vectors propis associat a un valor propi λ Tr(A) Tra¸ca de A.

Sistemes

AT(M ) Regi´o d’atracci´o de M. Ωp Conjunt l´ımit positiu d’una trajectoria γ(p). Ap Conjunt l´ımit negatiu d’una trajectoria γ(p). Ia(h) Conjunt de nivell de la integral primera h. E Espai de fases. ϕ(x; t) Flux d’un camp. γ(x) Orbita dex. γ+(x) Orbita positiva de x. σ Simetria d’una equaci´o. φ(x 0 ; t 0 , t) Transici´o d’estats.

Relacions

w Equivalencia entre formes diferencials. O(ε) Expressi´o que tendeix a 0 quan ε ho fa. mcd(a,... b) Maxim com´u divisor de (a,... b). mcm(a,... b) m´ınim com´u multiple de (a,... b).

S´ımbols

:= Igual per definici´o. O Fi d’exemple § Fi de prova i

x MUSEU

Figura 2: Camp vectorial en el pla i traject`ories

Cap´ıtol 1

Conceptes b`asics.

1.1 Concepte d’equaci´o diferencial.

1.1.1 Primera definici´o.

Etimologicament el terme equaci´o ve d’igualament, de comparar dues expressions amb l’objectiu d’obtenir conseq¨uencies de la igualtat. En una equaci´o hi ha un objecte matematic a determinar. En el cas d’equacions diferencials ordinaries la incognita ´es un conjunt de funcions que depenen d’una sola variable ( si depenen de m´es d’una variable tenim una equaci´o en derivades parcials ). Com que defineixen un conjunt, resoldre l’equaci´o sera no solament obtindre aquestes funcions, sin´o tamb´e veure quina estruc- tura t´e el conjunt. Les expressions a comparar directament s´on propietats que verifiquen les funcions i les seues derivades. Concretant m´es, sovint es defineix una equaci´o diferencial com una relaci´o:

f (t, x, dx dt

d^2 x dt^2

dmx dtm^

on t ´es una variable que suposarem real, denominada variable independent, x un punt de Rn^ que determina la variable dependent i f una funci´o cont´ınua de R × (Rn)m+1. L’ordre de l’equaci´o ´es m. Generalitzant, la funci´o f pot tenir diverses components i prendre valors en Rk.

fi(t, x,

dx dt

d^2 x dt^2

dmx dtm^ ) = 0, i = 1, .., k (1.1.2)

En aquest cas es sol dir que tenim un sistema d’equacions. Aix´ı,

x^2 + (

dx dt

)^2 = 1,

on x ´es una variable de R, ´es tracta d’una equaci´o de primer ordre, i f t´e una ´unica component.

1

1.1. CONCEPTE D’EQUACI O DIFERENCIAL.´ 3

1.1.2 Formes normals

Els primers problemes assenyalats s’eviten si les derivades d’ordre major en 1.1.2 apareixen en funci´o de la resta de variables. Aixo no ´es possible en totes les equacions. Quan una equaci´o 1.1.1 d’una sola component ve donada d’aquesta forma direm que esta normalitzada. Si en una equaci´o o sistema hi ha derivades d’ordre superior al primer, un segon nivell de normalitzaci´o consisteix en passar a un altre sistema on solament apareguen derivades primeres. Aix`o ´es pot aconseguir sempre introduint de forma iterativa noves variables. Per eliminar les derivades d’ordre major introdu¨ım:

y =

dx dt

Aleshores:

dy dt

d^2 x dt^2

i la funci´o inicial es converteix en:

dx dt = y,

g(t, x, y,

dx dt

dy dt

dm−^1 y dtm−^1

L’ordre ´es m − 1 i la funci´o t´e ara una component m´es. Com que x, y s´on variables vectorials les podem agrupar en una sola, z sense modificar el seu car`acter vectorial. La funci´o inicial es formula ara:

dx dt

= y,

g(t, z, dz dt

dm−^1 z dtm−^1

Si es repeteix el proc´es s’aconsegueix eliminar les derivades d’ordre su- perior a la unitat. Despr´es d’aquest proc´es, l’equaci´o 1.1.1 quedar`a redu¨ıda a la forma:

f (t, x, dx dt

on per no diversificar les notacions tornem a simbolitzar amb x la variable dependent i amb f la funci´o transformada. El segon pas per portar l’equaci´o a la forma normal consisteix en a¨ıllar les derivades pimeres, si aquest c`alcul ´es posible.

Exemple 1.1. Reducci´o a forma normal.

4 CAP´ITOL 1. CONCEPTES B ASICS.`

L’equaci´o: d^3 x dt^3

− 2 x dx dt

admet la forma normal: dx dt = y, dy dt

= z, dz dt = 2 xy. (1.1.4)

O En aquests apunts notarem habitualment amb t la variable independent i la denominarem simplement temps. El motiu rau que en moltes de les aplicacions de les equacions diferencials la variable independent ser`a el temps o una variable respecte de la qual, la resta evolucionen i es pot entendre que es tracta d’una variable temporal en un sentit ample. En canvi, la variable independent la notarem x o y si no hem de mantenir fixada quina variable ´es la independent, com en el cap´ıtol 2.

1.1.3 Sistema temporal

Detallem ara les caracter´ıstiques que ha d’acomplir un sistema real que es puga modelar mitjan¸cant una equaci´o diferencial com 1.1.1. Les solu- cions de 1.1.1 s´on funcions del temps, per tant el sistema real s’ha de poder descriure mitjan¸cant un conjunt de variables que evolucionen respecte el temps. Donats uns valors inicials, x 0 , de les variables i un temps inicial, t 0 , per a cada temps posterior tindrem uns nous valors de les variables. Es a´ dir, tindrem una aplicaci´o com la que passem a formalitzar ara. Un sistema temporal ve definit per:

• Un conjunt E, denominat espai de fases del sistema.
• Un conjunt temporal T, que en aquest curs sempre ser`a un interval, tot R o N. El producte E × T es denomina espai de fases eixamplat.
• Una aplicaci´o (possiblement multivaluada), φ(x 0 ; t 0 , t) d’un subconjunt de E × T × T en E. Es denomina a aquesta funci´o, transici´o d’estats La transici´o d’estats ha de verificar:

φ(x 0 ; t 0 , t 0 ) = x 0. (1.1.5)

Un estat del sistema en un instant donat ´es un punt de l’estat de fas- es. El producte E × T es denomina espai de fases eixamplat i un valor temporal, un temps inicial. Fixat un temps inicial t 0 , un estat del sistema per aquest temps es de- nomina estat inicial o condici´o inicial.

6 CAP´ITOL 1. CONCEPTES B ASICS.`

1.1.4 Solucions d’equacions diferencials

Tota funci´o derivable respecte t i que verifique l’equaci´o diferencial rep el nom de soluci´o particular. Evidentment s’ha d’acomplir:

f (t, χ(t),

dχ(t) dt

Siga f (x, t) cont´ınua, a partir de les propietats de les integrals ´es ele- mental veure que una soluci´o de

dx dt

= f (x, t)

verificant χ(t 0 ) = x 0 ve donada per:

χ(t) = x 0 +

∫ (^) t

t 0

f (s, χ(s))ds. (1.1.6)

En efecte, si χ(t) ´es una soluci´o:

dχ(t) dt

= f (χ(t), t)

Integrant : ∫ (^) t

t 0

dχ(t) dt dt =

∫ (^) t

t 0

f (χ(s), s)ds

obtenim la relaci´o 1.1.6. Rec´ıprocament si χ(t) ´es una funci´o derivable que verifica 1.1.6, derivant la relaci´o tenim que la funci´o χ(t) ´es soluci´o. Unes definicions addicionals sobre les solucions d’una equaci´o s´on les seg¨uents: Siga χ(t) una soluci´o particular. Denominarem corba integral la gr`afica de la funci´o, formada per les parelles (t, χ(t)). Una funci´o χ(t, C 1 , C 2 , ..., Ck) tal que, fixant de forma adient els valors de C 1 , C 2 , ..., Ck definesca una soluci´o particular per a cada condici´o inicial es denomina soluci´o general Passem ara a relacionar les equacions diferencials amb els sistemes tem- porals.

Propietat 1.5. Tota equaci´o definida per una funci´o f cont´ınua:

dx dt = f (x, t), x ∈ O ∈ Rn, t ∈ R. (1.1.7)

defineix un sistema temporal.

1.1. CONCEPTE D’EQUACI O DIFERENCIAL.´ 7

Demostraci´o. L’espai de fases ´es el subconjunt de Rn^ on poden prendre valors les variables dependents. M´es endavant es provar`a que el conjunt de solucions no ´es buit. Si per a un t 0 fixat existeix un conjunt de solucions χα(t) que verifique χα(t 0 ) = x 0 , la transici´o d’estats queda definida per:

φ(x 0 ; t 0 , t) = χα(t), t ∈ I. (1.1.8)

El subconjunt on est`a definida φ ´es el dels punts x 0 , t 0 , t per als que:

• hi ha soluci´o verificant χ(t 0 ) = x 0.
• Fixat una parella de valors admisibles de x 0 , t 0 , el temps t pertany al m`axim interval de definici´o de la soluci´o χ(t).

No tot sistema temporal pot definir una equaci´o diferencial. Les car- acter´ıstiques que ha d’acomplir un sistema temporal modelitzat per una equaci´o diferencial s´on:

• Estar caracteritzat per un nombre finit de variables. (Sistema finit)
• Dependre d’una forma diferenciable d’una sola variable, per a que tinguen sentit les derivades en 1.1.3.

Aix´ı, dels exemples de sistemes temporals 1.3 t´e un sistema de fases de dimensi´o no finita i 1.4 t´e una funci´o transici´o d’estats no derivable quan x = 0. Modelar un sistema real mitjan¸cant una equaci´o diferencial ´es ´util si la transici´o d’estats no es coneix. En canvi s’ha de tenir una relaci´o entre la velocitat amb que varien les magnituds, el temps i elles mateixa. Es a dir,´ una funci´o com la 1.1.3 que ser`a l’equaci´o diferencial associada al sistema.

1.1.5 Exemples de sistemes temporals definits a partir d’e-

quacions diferencials

Exemple 1.6. Creixement lineal

La velocitat d’evoluci´o d’una variable sol ser en primera aproximaci´o li- neal. Aix´ı passa en el creixement de poblacions, transformaci´o de compostos qu´ımics, etc. Tenim:

dx dt

= kx, k ∈ R (1.1.9)

La soluci´o general de l’equaci´o ´es:

x = Cekt

La transici´o d’estats:

1.1. CONCEPTE D’EQUACI O DIFERENCIAL.´ 9

Figura 1.2: Corbes integrals de l’exemple 1.

Pel Teorema fonamental del calcul, sabem que F (t) ´es: una funci´o deri- vable, amb la derivada cont´ınua i que tota primitiva de f (t) ´es pot escriure en la forma 1.1.12. Les funcions que admeten una derivada cont´ınua es denomi- nen funcions de classe C^1. Si estan definides sobre els reals, les notarem C^1 (R). De forma coherent amb aquesta notaci´o, una funci´o cont´ınua sobre R es pot notar C^0 (R) i una funci´o que ´es k vegades derivable, amb derivades cont´ınues, Ck(R) Substituint t per t 0 i x per x 0 en 1.1.12: x 0 = F (t 0 ) + C. Per tant C = x 0 − F (t 0 ). La transici´o d’estats sera: φ(x 0 ; t 0 , t) = F (t) + x 0 − F (t 0 ). O

Exemple 1.9. Caiguda d’un cos per l’acci´o de la gravetat.

Per simplificar suposarem que el cos cau verticalment. Les variables que determinen l’estat s´on l’altura h i la velocitat v. Siga g el valor de la gravetat i m la massa de l’objecte. Per la segona llei de Newton:

dh dt

= v,

m

dv dt = −g..

Aquesta expressi´o ´es l’equaci´o diferencial del sistema. Com que h i v poden prendre qualsevol valor real finit, l’espai de fases ´es R^2. Dels cursos de F´ısica elemental es coneix la integraci´o d’aquesta equaci´o:

10 CAP´ITOL 1. CONCEPTES B ASICS.`

v = − gtm + A, h = − gt 2 2 m +^ At^ +^ B. A i B s´on dues constants. Notarem h 0 , v 0 l’estat inicial. Substituint aquests valors en la integraci´o s’obt´e que:

A = v 0 + gt 0 m

, B = h 0 − v 0 t 0 + gt^20 2 m

La funci´o transici´o d’estats ser`a, doncs: φ(h 0 , v 0 ; t 0 , t) = (− g(t−t^0 )

2 2 m +^ v^0 (t^ −^ t^0 ) +^ h^0 ,^ −^

g(t−t 0 ) m +^ v^0 ) = (h, v). Suposem, per simplificar, que l’instant inicial, com ´es habitual ´es 0. Si eliminen el temps en les relacions anteriors s’obt´e: 2 hg = −m(v − v 0 )^2 + 2mv 0 (v − v 0 ) + 2h 0 g Agrupant de forma adient els termes i simplificant: mv^2 2 +^ hg^ =^

mv^20 2 +^ h^0 g Aquesta relaci´o expressa el principi de conservaci´o de l’energia E(h, v) suma de l’energia cin`etica T (h, v) = mv

2 2 i l’energia potencial^ V^ (h) =^ hg. M´es endavant definirem aquestes funcions que es conserven al llarg d’una transici´o com integrals primeres. O

Exemple 1.10. Problema invers al de la tangent

Si volem con´eixer l’origen historic de les equacions diferencials ens hem de situar al segle XVII. En la primera meitat s’havien acumulat molts metodes embrionaris del que despr´es seria el calcul integral i el calcul diferencial. L’´ultima etapa del desenvolupament de l’analisi infinitesimal consistiria en relacionar diferencials i integrals. Des del punt de vista geometric, el calcul d’una derivada s’interpreta com l’obtenci´o de la tangent a una corba donada. El problema invers era determinar les corbes, y = g(x), les tangents de les quals tingueren alguna propietat o condici´o: f (x, y, y′) = 0, ´es a dir, una equaci´o diferencial. Aquest problema tenia moltes implicacions practiques. Per exemple, en l’epoca de les grans navegacions, s’estudiava el curs constant de les naus. Les l´ınies loxodromiques s´on les corbes tra¸cades sobre una esfera ( o amb m´es generalitat, una superf´ıcie de revoluci´o) que tallen tots els meridians sota el mateix angle. La projecci´o d’una loxodromica des d’un pol sobre el pla de l’equador ´es l’espiral logar´ıtmica. O Molts problemes plantejats des de l’antiguitat porten a la resoluci´o d’e- quacions diferencials. Tanmateix, des d’un punt de vista estricte, el prin- cipi de les equacions diferencials esta en Newton. Solament despr´es de la introducci´o correcta del concepte de derivada es pot parlar d’equacions di- ferencials. Newton i Leibniz van ser els primers a treballar amb elles. El terme equaci´o diferencial apareix en una carta de Leibniz a Newton de 1676. despr´es va utilitzar el terme en els seus treballs.