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Facultad de CC. Económicas y Empresariales. UEx
TEMA 3: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE N-VARIABLES
FUNCIÓN DERIVADA
1 VARIABLE:
Sea y = f(x) definida en x = x 0. Si ∆ x = x1 - x 0 , entonces ∆ y = ∆ f(x) = f(x 1 ) - f(x 0 ) = f(x 0 +
∆ x) - f(x 0 ).
Tasa media de variación de f(x) en el intervalo (x 0 , x 0 + ∆ x):
x
f x x f x
x
y (^) o
∆
= C.I.
Tasa instantánea de variación de f(x): x
f x x f x f x Lím x ∆
∆→
0
= Función derivada de
f(x)
dx
dy y ′^ =f′(x)=
Interpretación geométrica de la derivada: pendiente de la recta tangente a la curva en el
punto considerado.
Diferencia entre derivada de una función en un punto (valor numérico) - función derivada
(función).
Derivadas laterales:
x
f x x f x f x Lím x (^) ∆
∆→+
(^0) x
f x x f x f x Lím x (^) −∆
∆→−
0
Para que una función sea derivable en un punto, sus derivadas laterales tienen que ser
iguales.
Continuidad de funciones derivables. DERIVABILIDAD ⇒ CONTINUIDAD (lo recíproco no)
Reglas de derivación : Tabla de derivadas
Derivadas de órdenes superiores. n
n n n
dx
d y y f x
) ) ) = ( )=
Aproximación: f ′( x)=f(x+ 1 )−f(x)
2 Y MÁS DE 2 VARIABLES:
Para z = f(x,y), sus derivadas parciales son:
δ z/ δ x = δ f/ δ x = f’x (x,y ) = z’x : tasa de variación de f(x,y) con respecto a x cuando y es
constante
δ z/ δ y = δ f/ δ y = f’y (x,y) = z’y : tasa de variación de f(x,y) con respecto a y cuando x es
constante.
Interpretación geométrica de las derivadas parciales: pendiente de la recta en un plano que
es tangente a la curva en el punto en cuestión.
Derivadas direccionales: D (^) v1,v2f(x,y) = fx ’(x,y)v 1 + fy ’(x,y)v 2. Gradiente: ∇ f(x,y).
Derivadas parciales de segundo orden (cruzadas) y órdenes superiores.
Aproximaciones: f (^) x′ ( x,y)≅f(x+ 1 ,y)−f(x,y) fy′(x,y)≅f(x,y+ 1 )−f(x,y)
Aplicaciones de las derivadas:
Facultad de CC. Económicas y Empresariales. UEx
- Regla de L’Hopital: ( )
g x
f x Lím g x
f x Lím x a x a ′
→ →
para indeterminaciones del tipo ∞/∞ y 0/0.
Elasticidad: (^) ( ) ( )
( ) f x f x
x El (^) x f x = ′.^ Elasticidades parciales: i
i i x
z
z
x El z
3. Análisis marginal en la Economía.
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
1 VARIABLE:
Para y = f(x) ⇒ dy = f’(x)dx Aproximación: ∆f (x )≈dy=f′(x)dx. Diferenciales sucesivos.
Interpretación geométrica de la diferencial: Incremento de la función hasta la tangente, no
hasta la curva.
2 Y MÁS DE 2 VARIABLES:
Para z = f(x,y) ⇒ dz= f’x (x,y)dx + f’y (x,y)dy. Diferenciales sucesivos.
Diferenciabilidad de funciones derivables. DIFERENCIABLE ⇒ DERIVABLE Y CONTINUA (lo
recíproco no).
INTEGRAL INDEFINIDA DE f(x)
Es el conjunto de todas las funciones primitivas:
f (x)dx= F(x)+C
Una primitiva de una función f(x) es otra función F(x), tal que ( F(x))’ = f(x). Como ( F(x) +
k)’ = f(x), una función lleva asociada una familia de primitivas que se diferencian en una
constante. La función f(x) recibe el nombre de integrando.
Propiedades:
1) ∫ [ f (x)± g(x)]dx =∫ f(x)dx±∫g(x)dx
2) ∫ kf (x)dx= k∫f(x)dx
INTEGRALES INMEDIATAS
Son las integrales que surgen inmediatamente de las derivadas de funciones elementales:
Tabla de integrales inmediatas
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Son los métodos que se utilizan para resolver integrales no inmediatas.
- Método de integración por descomposición: Consiste en descomponer la integral dada,
basándonos en una de sus propiedades, en la suma algebraica de otras integrales conocidas o inmediatas. Este método se suele utilizar en la integración de polinomios y de aquellas funciones que descompuestas en sumandos, resultan de fácil integración.
- Método de integración por sustitución o cambio de variable: Consiste en transformar la
integral dada mediante un cambio de variable en otra integral conocida o inmediata:
t ( f ) dt
dx f dt
f x t x f f xdx
t t
t
'
1 () 1 ()
1 ()
− −
−
=
- Método de integración por partes: Consiste en transformar la integral dada basándose en
la diferencial de un producto en otra integral conocida o inmediata. Este método se suele utilizar cuando hay producto de funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
Sean u = f(x) y v = g(x) ⇒
udv=uv − vdu
