¡Descarga Conceptos básicos de álgebra lineal: matrices, determinantes y formas cuadráticas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Cap´ıtulo 4
C´alculo matricial
4.1. Vectores e matrices
Definici´on 1. Denotamos por Rn^ o conxunto {(x 1 , · · · , xn) : xi ∈ R}. Os elementos de Rn^ ch´amanse vectores.
Se x = (x 1 , · · · , xn), os n´umeros x 1 , · · · , xn son as coordenadas (ou compo˜nentes) do vector x. En Rn^ est´an definidas as operaci´ons: suma de vectores e produto dun vector por un n´umero real. Adem´ais, def´ınese o produto escalar dos vectores x = (x 1 , · · · , xn) e y = (y 1 , · · · , yn) como o n´umero real
xy = x 1 y 1 + · · · + xnyn
Diremos que dous vectores son ortogonais se o seu produto escalar vale cero
Exemplos:
(− 2 , 5 , 7) + (6, 3 , 2) = (4, 8 , 9)
−4(− 1 , 14 ) = (4, −1)
O produto escalar de (3, − 2 , 1) e (7, 5 , 0) ´e igual a 21+(-10)+0 = 11
Se x e y son dous vectores de Rn, chamaremos combinaci´on lineal de x e y a calquer vector da forma ax + by, onde a e b son n´umeros reais. De xeito an´alogo definir´ıase combinaci´on lineal dun n´umero arbitrario de vectores en Rn.
Por exemplo 2(3, 4) + 3(− 1 , 2) = (6, 8) + (− 3 , 6) = (3, 14). Polo tanto, o vector (3, 14) e combinaci´´ on lineal dos vectores (3, 4) e (− 1 , 2).
Definici´on 2. Chamamos matriz de orde m × n a un conxunto formado por m × n elementos de R, ordenados en m filas e n columnas. O elemento situado na fila i-´esima e na columna j-´esima den´otase por aij.
Mm×n denotar´a o conxunto das matrices de orde m × n.
As´ı, un elemento A ∈ Mm×n ser´a do tipo A = (aij ) =
a 11 · · · a 1 n .. .
am 1 · · · amn
, onde o elemento^ aij ∈^ R^ est´a situado na
fila i-´esima e na columna j-´esima de A.
Exemplo 3. Un elemento A ∈ M 2 × 3 ser´a, por exemplo, A =
Se B =
e C =
, ent´on B ∈ M 2 × 3 e C ∈ M 2 × 2.
Sinalamos, a continuaci´on, alg´uns tipos especiais de matrices.
Definici´on 4. Unha matriz A = (aij ) ∈ Mn×n dise diagonal se aij = 0, para todo i 6 = j.
Un exemplo de matriz diagonal ´e a matriz identidade que ´e a matriz diagonal na que aii = 1, para todo i = 1,... , n.
Definici´on 5. A matriz trasposta de A ∈ Mm×n e a matriz que se obt´´ en cambiando en A filas por columnas. Den´otase por At.
Obviamente, At^ ∈ Mn×m e (At)t^ = A.
Definici´on 6. Matriz sim´etrica ´e aquela matriz A ∈ Mn×n que coincide coa s´ua trasposta, ´e dicir, At^ = A.
No conxunto das matrices m × n, consideramos as seguintes operaci´ons (suma de matrices e produto dunha matriz por un n´umero): A + B = (aij ) + (bij ) e rA = (raij ), onde r ∈ R.
Definici´on 7 (Produto de matrices). Sexan A = (aij ) ∈ Mm×n e B = (bjk) ∈ Mn×p. A matriz produto de A e B e a´ matriz A · B ∈ Mm×p dada por:
A · B = (cik) =
∑^ n
j=
aij bjk
O elemento ik da matriz produto ´e o produto escalar da fila i-´esima da matriz A pola columna k-´esima da matriz B. Daqu´ı a necesidade de que o n´umero de columnas de A sexa igual ´o n´umero de filas de B.
Exemplo 8. Se A =
a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32
(^) e B =
b 11 b 12 b 21 b 22
, ent´on:
A · B =
a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 a 31 b 11 + a 32 b 21 a 31 b 12 + a 32 b 22
O produto de matrices non ´e conmutativo, xa que incluso ´e posible que non se poidan multiplicar as matrices se cambiamos a orde dos factores. Incluso no caso de matrices cadradas da mesma orde, ´e f´acil plantear exemplos que amosen a non conmutatividade do produto.
Definici´on 9. A matriz inversa de A ∈ Mn×n e unha matriz´ A−^1 que verifica que A−^1 A = AA−^1 = I, onde I ´e a matriz identidade de orde n × n.
A inversa de A, se existe, ´e ´unica.
Exemplo 10. Sexan D =
e A, B, C as matrices do exemplo 2. Ent´on:
A + B =
3 A = 3
e − 2 C = − 2
CA =
CD =
= DC
At^ =
(^) ∈ M 3 × 2 , Ct^ =
∈ M 2 × 2 , C−^1 =
1 2
1 2
∈ M 2 × 2.
4.1.1. Determinante dunha matriz cadrada
Definici´on 11. Se A ∈ Mn×n, definiremos o determinante de A por recorrencia:
- Se n = 1, A = (a) e det(A) = a.
- Se n = 2, A =
a 11 a 12 a 21 a 22
e det(A) = a 11 a 22 − a 12 a 21.
4.2. Sistemas de ecuaci´ons lineais
Definici´on 18. Un sistema de m ecuaci´ons lineais con n inc´ognitas ´e unha expresi´on do tipo:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 .. .
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm
Este sistema pode escribirse mediante a ecuaci´on matricial AX = b, onde A = (aij ) ∈ Mm×n, X = (x 1 , x 2 ,... , xn)t^ ∈ Mn× 1 e b = (b 1 , b 2 ,... , bm)t^ ∈ Mm× 1. Isto ´e,
AX =
a 11 · · · a 1 n .. .
am 1 · · · amn
x 1 .. . xn
b 1 .. . bm
=^ b
A matriz A denom´ınase matriz de coeficientes do sistema. X e a matriz de inc´´ ognitas e b e a matriz de termos´ independentes. O sistema AX = b e homox´´ eneo se b = (0, 0 ,... , 0)t^ = θ.
Definici´on 19. Un vector X 0 = (x 01 , x 02 ,... , x 0 n) ∈ Rn^ ´e unha soluci´on do sistema AX = b se verifica AXt 0 = b.
Estudiaremos a continuaci´on a existencia de soluci´on e a obtenci´on do conxunto de soluci´ons.
Definici´on 20. O sistema AX = b denom´ınase compatible se ten soluci´on. En caso contrario recibe o nome de sistema incompatible. Se o sistema AX = b ´e compatible e, ademais, ten unha ´unica soluci´on, diremos que ´e un sistema compatible determinado. Diremos que ´e compatible indeterminado se ten infinitas soluci´ons.
Denotaremos por (A|b) ∈ Mm×(n+1) a matriz que ten como n primeiras columnas as columnas de A e a columna n + 1 e o vector´ b. Esta matriz denom´ınase matriz ampliada do sistema.
Teorema 21 (de Rouch´e-Fr¨obenius). O sistema de m ecuaci´ons lineais con n inc´ognitas, AX = b, ten soluci´on se, e s´o se, rango(A) = rango(A|b). Ademais, se rango(A) = rango(A|b) = n o sistema ´e compatible determinado e se rango(A) = rango(A|b) < n e´ compatible indeterminado.
Exemplo 22. Os sistemas de ecuaci´ons lineais
x + y + z= 2 x − y + z= −x − y + z=
x + y − 3 z= 0 2 x − y − 3 z=− 3 4 x + y − 9 z=− 3
x + y − 3 z= 0 2 x − y − 3 z=− 3 4 x + y − 9 z= 5
poden po˜nerse en forma matricial do xeito seguinte:
x y z
x y z
x y z
O primeiro dos sistemas, como det(A) = − 6 e rango(A) = 3 = rango(A|b), resulta compatible determinado. No segundo sistema, det(A) = 0, pero
∣ 6 = 0, polo que o rango de^ A^ vale 2. O determinante da matriz que
resulta de substitu´ır a terceira columna de A pola columna de termos independentes tam´en ´e nulo, polo que o rango da matriz ampliada tampouco vale tres, e vale 2. Ent´on, rango(A) = rango(A|b) = 2 < 3 e o sistema ´e compatible
indeterminado. O feito de que
∣ 6 = 0, ind´ıcanos que a terceira ecuaci´on ´e combinaci´on lineal das d´uas primeiras e podemos, pois, prescindir dela. Se, ademais, pasamos a variable z ´o segundo membro e resolvemos, temos infinitas soluci´ons da forma x = 2z − 1 , y = z + 1, para calquera z ∈ R. Finalmente, no terceiro sistema, o rango da matriz A vale 2 pero o rango da matriz ampliada vale 3. Logo o sistema non ten soluci´on, ´e incompatible.
4.2.1. Sistemas de Cramer. Regra de Cramer
Definici´on 23. Un sistema AX = b ´e de Cramer se A ∈ Mn×n e rango A = n.
A partir da definici´on dun sistema de Cramer, podemos deducir facilmente que:
- AX = b e un sistema de Cramer se, e s´´ o se, existe A−^1.
- Un sistema AX = b de Cramer ´e compatible determinado. A ´unica soluci´on ´e X 0 = A−^1 b.
Exemplo 24. O primeiro sistema de ecuaci´ons lineais do exemplo ?? ´e un sistema de Cramer e a s´ua ´unica soluci´on ´e
, ´e dicir, x = 1, y = 2, z = 3.
Proposici´on 25 (Regra de Cramer). A ´unica soluci´on dun sistema de Cramer, AX = b, ´e X = A−^1 b, polo que
X =
x 1 .. . xn
=^
det(A)
Atij
b 1 .. . bn
En particular,
xi =
det(A)
b 1 Ati 1 + b 2 Ati 2 + · · · + bnAtin
det(A)
a 11 a 12... b 1... a 1 n a 21 a 22... b 2... a 2 n .. .
an 1 an 2... bn... ann
onde o vector b est´a colocado na columna i-´esima. Isto ´e, o numerador ´e o determinante da matriz que resulta de substitu´ır en A a i-´esima columna polo vector b.
Exemplo 26. Resolver o sistema
x + y − 3 z= 2 x − y − 3 z= 4 x + y − 9 z=
utilizando o teorema de Rouch´e e a regra de Cramer. Como
rango(∣ A) = rango(A|b) = 2, o sistema ´e compatible indeterminado. Ademais, o determinante que nos d´a o rango ´e ∣ ∣ ∣
∣, isto significa que a terceira ecuaci´on ´e combinaci´on lineal das outras d´uas e, polo tanto, podemos prescindir
dela, obtendo as´ı, para cada z ∈ R, o sistema de Cramer
3 z 3 z − 3
con soluci´on
x = − (^13)
3 z 1 3 z − 3 − 1
∣ =^ −1 + 2z;^ y^ =^ −^
1 3
1 3 z 2 3 z − 3
∣ = 1 +^ z
4.3. Autovalores dunha matriz cadrada
4.3.1. Autovalores e autovectores
Definici´on 27. Diremos que o n´umero real λ ´e un autovalor (ou valor propio) da matriz A ∈ Mn×n se existe un vector x ∈ Rn, x 6 = θRn , tal que Ax = λx.
Definici´on 28. Diremos que un vector x ∈ Rn, x 6 = θRn^ , ´e un autovector (ou vector propio) da matriz A ∈ Mn×n se existe un n´umero real λ de maneira que Ax = λx.
Exemplos 29.
- (2, 1) e un autovector da matriz´
porque
Como
, (1, −2) tam´en ´e un autovector de
Os vectores (2, 1) e (1, −2) son autovectores asociados aos autovalores 3 e − 2 , respectivamente.
4.3.2. Diagonalizaci´on de matrices
Definici´on 38. D´uas matrices A, B ∈ Mn×n son equivalentes se existe unha matriz invertible, P ∈ Mn×n, de xeito que A = P BP −^1.
Proposici´on 39. As matrices equivalentes te˜nen o mesmo polinomio caracter´ıstico.
Definici´on 40. Unha matriz A ∈ Mn×n dise que ´e diagonalizable se ´e equivalente a unha matriz diagonal, ´e dicir, se existen unha matriz diagonal, D, e unha matriz invertible, P , de xeito que A = P DP −^1.
Proposici´on 41. Se A ∈ Mn×n ten n autovalores distintos, A e diagonalizable.´
Ademais, a matriz diagonal equivalente D e a matriz que ten na diagonal os autovalores, e a matriz´ P ser´a a matriz formada polos autovectores asociados en columnas e na mesma orde.
Proposici´on 42. Sexa A ∈ Mn×n diagonalizable, con A = P DP −^1. Verif´ıcase que:
- O rango de A e igual ´´ o rango de D.
- det A = det D e, polo tanto, o determinante de A ´e o produto dos seus autovalores.
- Am^ = P DmP −^1 , para todo m ∈ N.
Definici´on 43. Unha matriz cadrada P e ortonormal si´ P −^1 = P t
Verif´ıcanse as seguintes propiedades:
- Unha matriz P e ortonormal se e s´´ o se as columnas de P son vectores ortonormais, ´e decir, vectores unitarios e ortogonais dous a dous.
- Os autovectores asociados a dous autovalores distintos dunha matriz sim´etrica A, son ortogonais.
Agora podemos caracterizar a diagonalizaci´on das matrices sim´etricas,
Teorema 44. Toda matriz real sim´etrica, A, ´e ortogonalmente diagonalizable, ´e decir, existen unha matriz D diagonal e una matriz P ortonormal tal que A = P DP t.
Exemplo 45. Consideremos a matriz real sim´etrica A =
. O polinomio caracter´ıstico de A e´
p(λ) = det(A − λI) = det
3 − λ − 1 1 − 1 5 − λ − 1 1 − 1 3 − λ
(^) = −λ^3 + 11λ^2 − 36 λ + 36.
Polo tanto, os autovalores de A son 2 , 3 e 6. Para obter a matriz P , calculamos os subespazos propios de A asociados a cada autovalor:
S 2 =
(x, y, z) ∈ R^3 : (A − 2 I)
x y z
(x, y, z) ∈ R^3 : y = 0, x = −z
Do mesmo xeito, S 3 = 〈(1, 1 , 1)〉 e S 6 = 〈(1, − 2 , 1)〉. Agora escollemos un vector unitario de cada subespacio propio e temos que, {( √^12 , 0 , − √^12 ), ( √^13 , √^13 , √^13 ), ( √^16 , − √^26 , √^16 )} ´e unha base de ortonormal de R^3 , e, polo tanto,
A =
√^1 2 √^1 3 √^1 6 0 √^13 − √^26 − √^12 √^13 √^16
√^1 2 0 −^ √^1 1 2 √ 3 √^13 √^13 √^1 6 −^ √^2 6 √^1 6
4.4. Formas cuadr´aticas
4.4.1. Formas cuadr´aticas. Clasificaci´on
Definici´on 46. A forma cuadr´atica en Rn^ asociada ´a matriz A = (aik) ∈ Mn×n ´e a aplicaci´on Q : Rn^ −→ R definida por
Q(x 1 ,... , xn) = (x 1 ,... , xn)A(x 1 ,... , xn)t^ =
∑^ n
i,k=
aikxixk.
Exemplo 47. A matriz
(^) determina a forma cuadr´atica Q(x, y, z) = − 3 x^2 + 5y^2 + 9xy − 2 yz + 6xz.
Debemos ter presente que, dada unha forma cuadr´atica, existe unha ´unica matriz sim´etrica que a determina.
Definici´on 48. Unha forma cuadr´atica Q en Rn^ (ou a matriz sim´etrica asociada) dise que ´e
- definida positiva se Q(x) > 0 , para todo x ∈ Rn, x 6 = θRn.
- semidefinida positiva se Q(x) ≥ 0 , para todo x ∈ Rn.
- definida negativa se Q(x) < 0 , para todo x ∈ Rn, x 6 = θRn^.
- semidefinida negativa se Q(x) ≤ 0 , para todo x ∈ Rn.
- non definida ou indefinida se existen x, y ∈ Rn^ tales que Q(x) < 0 e Q(y) > 0.
Exemplo 49.
- A forma cuadr´atica Q : R^3 −→ R, Q(x, y, z) = 2x^2 + 5y^2 + 3z^2 e definida positiva.´
- A forma cuadr´atica Q : R^2 −→ R, Q(x, y) = x^2 − y^2 e non definida porque, por exemplo,´ Q(1, 0) > 0 e Q(0, 1) < 0. Como consecuencia da diagonalizaci´on ortonormal, obtemos o seguinte resultado:
Teorema 50. Sexan A ∈ Mn×n a matriz sim´etrica asociada a Q e λ 1 , λ 2 ,... , λn os autovalores de A. Verif´ıcase:
- Q ´e definida positiva se, e s´o se, λ 1 > 0 , λ 2 > 0 ,... , λn > 0.
- Q ´e semidefinida positiva se, e s´o se, λ 1 ≥ 0 , λ 2 ≥ 0 ,... , λn ≥ 0.
- Q ´e definida negativa se, e s´o se, λ 1 < 0 , λ 2 < 0 ,... , λn < 0.
- Q ´e semidefinida negativa se, e s´o se, λ 1 ≤ 0 , λ 2 ≤ 0 ,... , λn ≤ 0.
- Q ´e non definida se, e s´o se, existen i, k ∈ { 1 ,... , n} tales que λi > 0 e λk < 0.
Teorema 51. Sexa A = (aik) ∈ Mn×n a matriz sim´etrica asociada ´a forma cuadr´atica Q e denotemos por Dr =
det
a 11... a 1 r .. .
ar 1 · · · arr
, para todo^ r^ = 1,^ · · ·^ , n. Verif´ıcase:
- Q ´e definida positiva se, e s´o se, Dr > 0 , para todo r = 1,... , n.
- Q ´e definida negativa se, e s´o se, (−1)r^ Dr > 0 , para todo r = 1,... , n.
- Se Dr > 0 , para todo r = 1,... , n − 1 e Dn = 0, ent´on Q e semidefinida positiva.´
- Se (−1)r^ Dr > 0 , para todo r = 1,... , n − 1 e Dn = 0, ent´on Q e semidefinida negativa.´
- Se Q non ´e definida positiva nin definida negativa e det(A) 6 = 0, ent´on Q e non definida.´
Exemplo 52. 1. A forma cuadr´atica Q(x, y, z) = −x^2 − 2 y^2 − 4 z^2 − 2 xy − 2 xz ten como matriz sim´etrica aso-
ciada a matriz A =
. Neste caso, os determinantes que precisamos son D 1 = − 1 , D 2 =
det
= 1 e D 3 = det(A) = − 2. Polo tanto, Q ´e definida negativa.
