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Cap´ıtulo 5
Derivaci´on
Antes del s. XVII una curva era un conjunto de puntos que satisfac´ıan una cierta condici´on geom´etrica. Por ejemplo, el conjunto de los puntos (x, y) del plano que verifican que x^2 +y^2 = 1. Las tangentes a esas curvas en un punto se calculaban de forma geom´etrica. A partir de 1630, Descartes y Fermat crearon la llamada “Geometr´ıa Anal´ıtica” y las curvas se definen a partir de esto de forma algebraica, por ejemplo f (x) = x^3 y surge el concepto de derivada, que como veremos est´a directamente relacionado con el concepto de tangente a una curva. Este concepto es fundamental en el estudio de las funciones reales de variable real. Conociendo la derivada de una funci´on podremos conocer algunas propiedades de ella.
Definici´on 5.1 Dado un intervalo I de R, una funci´on f : I → R y un punto c un punto de I. Diremos que f es derivable en c si existe el l´ımite del cociente
f (x) − f (c) x − c
cuando x tiende al punto c y es un n´umero real. Esto es, f es derivable en c si y s´olo si existe un n´umero real, que denotaremos por f ′(c), tal que
∀ε > 0 ∃δ > 0 | x ∈ I, x 6 = c, |x − c| < δ =⇒
f (x) − f (c) x − c
− f ′(c)
∣ < ε.
Cuando f sea derivable en c se llamar´a tangente a la curva y = f (x) en c a la recta que tiene pendiente f ′(c) y pasa por (c,f (c)). Esta es la recta de ecuaci´´ on y = f ′(c)(x−c)+f (c).
Nota 5.2 El concepto de derivada de una funci´on en un punto de un intervalo puede extenderse a funciones definidas en algunos tipos de conjuntos que no sean intervalos, pero aqu´ı trabajaremos s´olo con funciones definidas en intervalos.
Ejemplo 5.3 Los primeros ejemplos m´as naturales de funciones derivables lo constituyen las funciones constantes. En efecto. Si f : I → R es constante, esto es, si existe d ∈ R tal que f (x) = d para todo x ∈ I, entonces para todo c ∈ I y todo x 6 = c,
f (x) − f (c) x − c
d − d x − c
Otro ejemplo sencillo es la funci´on f (x) = x. Vamos a comprobar que para todo c ∈ R
existe el l´ım x→c
f (x)−f (c) x−c y vale^1.^ En efecto
l´ım x→c
f (x) − f (c) x − c
= l´ım x→c
x − c x − c
Tambi´en f (x) = x^2 es derivable en todo punto. En este caso, para todo c ∈ R se verifica que f ′(c) = 2c. En efecto
l´ım x→c
f (x) − f (c) x − c
= l´ım x→c
x^2 − c^2 x − c
= l´ım x→c
(x − c)(x + c) x − c
= l´ım x→c (x + c) = 2c.
La funci´on f : x ∈ (0, +∞) 7 → f (x) = (^1) x es derivable en ese intervalo y f ′(x) = − (^) x^12. En efecto, dados c, x ∈ (0, +∞)
1 x −^
1 c x − c
c − x (x − c)xc
xc
y esto tiende a − (^) c^12 cuando x tiende a c.
Se ver´an m´as ejemplos m´as adelante Vamos a ver ahora un ejemplo de una funci´on no derivable en un punto.
Ejemplo 5.4 La funci´on f (x) = |x| no es derivable en el punto 0. En efecto,
l´ım x→ 0 +
f (x) − f (0) x − 0
= l´ım x→ 0 +
|x| x
= l´ım x→ 0 +
x x
mientras que
l´ım x→ 0 −
f (x) − f (0) x − 0
= l´ım x→ 0 −
|x| x
= l´ım x→ 0 −
−x x
Las funciones derivables en un punto son continuas en ´el. Esto es lo que demuestra la siguiente proposici´on.
Proposici´on 5.5 Si f : I → R es derivable en un punto c ∈ I, entonces f es continua en c.
(b)
l´ım x→c
(f + g)(x) − (f + g)(c) x − c
= l´ım x→c
f (x) + g(x) − (f (c) + g(c)) x − c
= l´ım x→c
f (x) − f (c) x − c
g(x) − g(c) x − c
lo que nos da que f + g es derivable en c y que (f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c).
(c)
l´ım x→c
(f g)(x) − (f g)(c) x − c
= l´ım x→c
f (x)g(x) − f (c)g(c) x − c
= l´ım x→c
f (x)g(x) − f (c)g(x) + f (c)g(x) − f (c)g(c) x − c
= l´ım x→c
f (x) − f (c) x − c
g(x) + f (c)l´ım x→c
g(x) − g(c) x − c = f ′(c)g(c) + f (c)g′(c).
T´engase en cuenta que al ser g derivivable en c es continua en ese punto y entonces l´ım x→c
g(x) = g(c).
(d)
l´ım x→c
f g
(x) −
f g
(c) x − c
= l´ım x→c
f (x)g(c) − f (c)g(x) g(x)g(c)(x − c)
= l´ım x→c
f (x)g(c) − f (c)g(c) + f (c)g(c) − f (c)g(x) g(x)g(c)(x − c)
= l´ım x→c
g(x)g(c)
f (x) − f (c) (x − c)
g(c)
−l´ım x→c
g(x)g(c)
g(x) − g(c) (x − c)
f (c).
Teniendo en cuenta que g es continua en c,
l´ım x→c
f g
(x) −
f g
(c) x − c
f ′(c)g(c) − f (c)g′(c) (g(c))^2
esto es fg es derivable en c y su derivada en ese punto es
f ′(c)g(c) − f (c)g′(c) (g(c))^2
- Derivaci´on 89
Observamos que si s´olo sabemos que g es derivable en c y que g(c) 6 = 0, entonces existe un intervalo J ⊂ I tal que g(x) 6 = 0 para todo x ∈ J (basta aplicar la Proposici´on 4.13, t´engase en cuenta que g tiene l´ımite en c y que ´este vale g(c)). Podemos entonces dividir por g(x) para los x ∈ J y obtener igual la derivabilidad de fg en el punto c cuando f es derivable en c.
Corolario 5.7 Dada una cantidad finita f 1 , f 2 , ..., fn de funciones definidas en un mismo intervalo I todas ellas derivables en un punto c ∈ I se verifica que:
(a) f 1 +f 2 +· · ·+fn es derivable en c y (f 1 +f 2 +· · ·+fn)′(c) = f 1 ′(c)+f 2 ′(c)+· · ·+f (^) n′(c).
(b) f 1 f 2 · · · fn es derivable en c y
(f 1 f 2 · · · fn)′(c) = f 1 ′(c)f 2 (c) · · · fn(c) +f 1 (c)f 2 ′(c) · · · fn(c)
... +f 1 (c)f 2 (c) · · · f (^) n′(c).
Si en particular consideramos f 1 = f 2 = · · · = fn en (b) y llamamos f a esa funci´on, obtenemos que (f n)′^ = nf ′(c)(f (c))n−^1.
La demostraci´on de este corolario se sigue f´acilmente por inducci´on a partir de la proposici´on anterior.
Nota 5.8 Cuando una funci´on f : I → R es derivable en todos los puntos de I tiene sentido considerar la funci´on derivada f ′^ que asigna a cada c ∈ I el n´umero real f ′(c). En algunos libros se usan notaciones diferentes a la nuestra para la derivada f ′^ de una funci´on f. Concretamente, algunos autores escriben Df o (^) dxd f en lugar de f ′, y escriben Df (c) o (^) dxd f (c) en lugar de f ′(c). Esta ´ultima notaci´on es muy antigua (es debida a Leibniz, matem´atico alem´an, 1646-1716) y es un poco confusa para funciones de una variable como las nuestras. Indica que se deriva la funci´on f respecto a la variable x (no hay otra).
Cuando estudiamos las funciones continuas consideramos el caso de la composici´on de dos funciones continuas y vimos que esa composici´on es continua. Vamos a ver ahora como la composici´on de dos funciones derivables es tambi´en derivable. Para demostrar este resultado probaremos primero un resultado auxiliar que es una caracterizaci´on de la derivabilidad de una funci´on en un punto.
- Derivaci´on 91
Demostraci´on. Dado que f es derivable en c el teorema de Carath´eodory nos garantiza la existencia de una funci´on ϕ : J → R continua en c tal que
f (x) − f (c) = ϕ(x)(x − c) ∀x ∈ J
y ϕ(c) = f ′(c). Si aplicamos de nuevo el teorema de Carath´eodory, ahora a la funci´on g en relaci´on con el punto f (c) obtenemos que existe una funci´on ψ : I → R continua en f (c) tal que g(y) − g(f (c)) = ψ(y)(y − f (c)) ∀y ∈ I
y ψ(f (c)) = g′(f (c)). Sustituyendo en esta ´ultima igualdad y por f (x) y luego f (x) − f (c) por ϕ(x)(x − c) se obtiene que
(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(c) = ψ(f (x))(f (x) − f (c)) = ψ(f (x))ϕ(x)(x − c) ∀x ∈ J.
Ahora bien, la funci´on x ∈ J 7 → ψ(f (x))ϕ(x) = (ψ ◦ f )(x)ϕ(x) es continua en c, entonces el teorema de Carath´eodory nos garantiza que g ◦ f es derivable en c y que
(g ◦ f )′(c) = ψ(f (c))ϕ(c) = g′(f (c))f ′(c).
De lo anterior podemos deducir f´acilmente la derivabilidad de un cociente de funciones en las hip´otesis (d) de la Proposici´on 5.6 pues si definimos h(y) = (^1) y para y 6 = 0 hemos
visto anteriormente que h′(d) = − (^) d^12 para todo d y entonces
( f g
(c) = ((h ◦ g)f )′(c) = (h ◦ g)′(c)f (c) + (h ◦ g)(c)f ′(c)
= h′(g(c))g′(c)f (c) + h(g(c))f ′(c)
= −
(g(c))^2
g′(c)f (c) +
g(c)
f ′(c)
f ′(c)g(c) − g′(c)f (c) g(c)^2
Funciones inversas
En esta secci´on vamos a estudiar la derivabilidad de la funci´on inversa (para la com- posici´on). Se tiene el siguiente teorema.
Teorema 5.11 (derivabilidad de la inversa) Sea f : I = [a, b] → R estrictamente mon´otona y continua en I, sea J = f (I) y sea f −^1 : J → R la funci´on (estrictamente mon´otona y continua, Teorema 4.68 ) inversa de f definida en J. Entonces, si f es derivable en un punto c ∈ I y f ′(c) 6 = 0 resulta que f −^1 es derivable en d = f (c) y se verifica que ( f −^1
(d) =
f ′(c)
Demostraci´on. Por el teorema de Carath´eodory existe una funci´on ϕ en I continua en c tal que f (x) − f (c) = ϕ(x)(x − c) para todo x ∈ I
y ϕ(c) = f ′(c). Dado que ϕ(c) 6 = 0 existe δ > 0 tal que ϕ(x) 6 = 0 siempre que x ∈ [c − δ, c + δ] ∩ I si c 6 = a, b; si c = a se considera el intervalo [c, c + δ] y si c = b se considera el intervalo [c − δ, c]. Denotemos por K al intervalo f ([c − δ, c + δ] ∩ I), o a f ([c, c + δ] ∩ I) o f ([c − δ, c] ∩ I) seg´un corresponda. Entonces, para todo y ∈ K se verifica que
y − d = f (f −^1 (y)) − f (c) = ϕ(f −^1 (y))(f −^1 (y) − f −^1 (d)).
Dado que ϕ(f −^1 (y)) 6 = 0 para todo y ∈ K se obtiene de la anterior igualdad que
f −^1 (y) − f −^1 (d) =
ϕ(f −^1 (y))
(y − d).
Como la funci´on y ∈ K 7 → (^) ϕ(f −^11 (y)) es continua en d, el teorema de Carath´eodory nos dice
que f −^1 es derivable en d y que
( f −^1
(d) =
ϕ(f −^1 (d))
ϕ(c)
f ′(c)
Ejemplo 5.12 Consideremos la funci´on
f (x) = x^5 + 4x + 3.
Se trata de una funci´on estrictamente creciente en I = R (es suma de funciones cre- cientes). f ′(x) = 5x^4 + 4 es siempre distinta de cero. Entonces su inversa, definida en f (I) = R, es derivable en todo punto de R y para cada y = f (x) ∈ R se tiene que
( f −^1
(y) =
f ′(x)
Por ejemplo, ( f −^1
(f (1)) =
f ′(1)
Ejemplo 5.13 Si I = (0, +∞) y f (x) = xn^ (siendo n un n´umero natural prefijado), sabemos que f es estrictamente creciente y derivable en I. Entonces su inversa, definida en f (I) = (0, +∞), que es la funci´on f −^1 : y ∈ (0, +∞) 7 → n
y, verifica que
(f −^1 )′(y) =
f ′(f −^1 (y))
n(f −^1 (y))n−^1
n
√ny )n− 1 =^
ny
n− 1 n
n
y(^
1 n −1).
Observamos que la t´ecnica para obtener la derivada de y ∈ (0, +∞) 7 → n
y := x
(^1) n es la misma que para calcular la de y ∈ (0, +∞) 7 → yn: Se multiplica por el exponente y se resta una unidad al exponente.
Demostraci´on. Supondremos que el extremo relativo que tiene f en c es un m´aximo, en el caso de que se trate de un m´ınimo el razonamiento es an´alogo, tambi´en puede obtenerse el resultado considerando al funci´on −f. Supongamos que f ′(c) 6 = 0. Si f ′(c) > 0 entonces el
l´ım x→ 0
f (x) − f (c) x − c
es mayor que 0 (coincide con f ′(c)) y entonces, por la proposici´on 4.13 existe δ′^ > 0 tal que f (x) − f (c) x − c
0 ∀x ∈ (c − δ′, c + δ′) ∩ I, x 6 = c.
Si elegimos un x ∈ (c − δ′, c + δ′) ∩ I, x > c entonces x − c > 0 y la anterior relaci´on entre f (x) − f (c) y x − c implica que f (x) > f (c), pero esto es absurdo pues f (c) ≥ f (x) para los x de un cierto intervalo centrado en c, intervalo que podemos suponer contenido en (c − δ′, c + δ′). Si f ′(c) < 0 entonces existe un δ > 0 tal que
f (x) − f (c) x − c
< 0 ∀x ∈ (c − δ′, c + δ′) ∩ I, x 6 = c.
Si elegimos un x ∈ (c − δ′, c + δ′) ∩ I, x < c entonces x − c < 0 y la anterior relaci´on entre f (x) − f (c) y x − c implica que f (x) > f (c), pero esto es absurdo pues f (c) ≥ f (x) para los x de un cierto intervalo centrado en c, intervalo que podemos suponer contenido en (c − δ, c + δ). A la vista de lo probado necesariamente f ′(c) = 0.
Nota 5.18 La funci´on x 7 → |x| tiene m´ınimo en 0 pero no es derivable en ese punto. La funci´on f : [0, 1] → R tiene un m´aximo, incluso absoluto, en c = 1 y f ′(c) = 1. Debe observarse que el punto 1 no es un punto interior de [0, 1].
El siguiente teorema, debido al matem´atico franc´es M. Rolle (1652-1719), nos ayuda a localizar los posibles extremos de una funci´on derivable.
Teorema 5.19 (de Rolle) Si f : [a, b] → R es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f (b) = f (a) = 0, entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Demostraci´on. Si f es id´enticamente nula en [a, b] entonces cualquier c ∈ (a, b) verifica que f ′(c) = 0. Supongamos entonces que f no es id´enticamente nula en [a, b] y supongamos tambi´en que f toma alg´un valor mayor que 0, si no sucediese esto trabajamos con −f. Por el teorema 4.46 la funci´on continua f alcanza el valor del sup{f (x) : x ∈ I} que necesariamente es mayor que 0. Esto es, existe c ∈ I tal que f (c) = sup{f (x) : x ∈ I}. Un tal punto c tiene que ser diferente de a y de b pues f (a) = f (b) = 0. El teorema anterior nos dice que f ′(c) = 0 pues f tienen un m´aximo en c, incluso absoluto.
- Derivaci´on 95
Como consecuencia del teorema anterior deducimos ahora un teorema que es funda- mental en el C´alculo Diferencial, que es lo que estamos estudiando ahora y que tiene infinidad de aplicaciones.
Teorema 5.20 (del valor medio) Si f : [a, b] → R es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a).
Demostraci´on. Consideremos la funci´on ϕ : [a, b] → R definida por
ϕ(x) =
f (b) − f (a) b − a
(x − a) − (f (x) − f (a)).
Esta funci´on ϕ es continua en [a, b] y derivable en (a, b) siendo ϕ′(x) = f ′(x) − f^ (b b)−−fa^ ( a). Sucede que ϕ(a) = ϕ(b) = 0 y entonces, por el teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que ϕ′(c) = 0 lo que nos da que
f ′(c) −
f (b) − f (a) b − a
esto es,
f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a).
A continuaci´on vamos a obtener una interesantes consecuencias del teorema anterior.
Proposici´on 5.21 Si f : I = [a, b] → R es continua en I, derivable en (a, b) y f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es constante en I.
Demostraci´on. Fijemos un x ∈ (a, b] y apliquemos el teorema del valor medio a f con relaci´on al intervalo [a, x], obtenemos la existencia de un punto c ∈ (a, x) tal que
f (x) − f (a) = f ′(c)(x − a).
Dado que f ′(c) = 0 resulta que f (x) = f (a). Como esto ocurre para todo x ∈ (a, b] resulta que f (x) = f (a) para todo x ∈ (a, b] y desde luego para todo x ∈ [a, b].
Corolario 5.22 Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo [a, b], derivables en (a, b) y tales que f ′(x) = g′(x). Entonces existe un n´umero real C tal que f (x) = g(x) + C para todo x ∈ I.
- Derivaci´on 97
Proposici´on 5.25 (Test de la primera derivada para extremos) Sea f una funci´on continua en un intervalo [a, b] y sea c ∈ (a, b). Si f es derivable en (a, c) y en (c, d), en- tonces
(a) Si existe δ > 0 tal que (c−δ, c+δ) ⊂ I, f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (c−δ, c) y f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (c, c + δ), entonces f tiene un m´aximo relativo en c.
(b) Si existe δ > 0 tal que (c−δ, c+δ) ⊂ I, f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (c−δ, c) y f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (c, c + δ), entonces f tiene un m´ınimo relativo en c.
Demostraci´on.
(a) Fijemos arbitrariamente x en el intervalo (c − δ, c). Por el teorema del valor medio existe d ∈ (x, c) tal que f (x) − f (c) = f ′(d)(x − c). Al ser f ′(d) ≥ 0 resulta que f (x) ≤ f (c) pues x − c < 0. Si ahora tomamos x ∈ (c, c + δ) de nuevo el teorema del valor medio nos garantiza al existencia de un punto d ∈ (c, x) tal que f (x) − f (c) = f ′(d)(x − c). Como ahora f ′(d) ≤ 0 y x − c > 0 necesariamente f (x) ≤ f (c). Al ser f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ (c − δ, c + δ) hemos probado que f tiene un m´aximo local en c.
(b) La prueba es similar a la anterior.
Nota 5.26 Observamos que la existencia de un extremo relativo en un punto c no garan- tiza que la derivada tenga a un lado de c un signo y el signo contrario al otro lado de c. En efecto, la funci´on
f (x) =
2 x^4 + x^4 sen (^1) x si x 6 = 0 0 si x = 0
tiene un m´ınimo, incluso absoluto, en 0 pues dado que la funci´on sen toma todos sus valores en el intervalo [− 1 , 1], siempre 2 x^4 + x^4 sen (^1) x es mayor que 0. Sea cu´al sea δ > 0 existen puntos en (c − δ, c) en los que f ′^ toma valores negativos y otros en los que toma valores negativos, lo mismo ocurre en (c, c + δ). Basta observar que f ′(x) = 8x^3 + 4 x^3 sen (^1) x + x^2 cos( (^1) x ), que para x ∈ (0, 18 ) se verifica que x^2 > 8 x^3 y que el signo del coseno cambia para puntos de la forma (^) kπ^1 seg´un k ∈ Z sea par o impar (n´otese que en ese tipo de puntos el seno es nulo). V´eanse las gr´aficas de f y f ′:
Obtenemos ahora unas interesantes desigualdades que ser´an consecuencia de los teo- remas anteriores.
(a) La primera de ellas compara los valores de ex^ con los de 1 + x. Observamos que no hemos definido con precisi´on qu´e es la funci´on x 7 → ex. Nos basta saber por ahora que es una funci´on estrictamente creciente derivable en todo R, que vale 0 en el 1 y que verifica que su derivada en cualquier punto coincide con el propio valor de la funci´on en el punto. M´as adelante la definiremos con precisi´on. Vamos a comprobar como ex^ ≥ 1+x para todo x ∈ R. Consideremos un punto x ∈ (0, +∞) y apliquemos el teorema del valor medio a la funci´on x 7 → ex^ en relaci´on con el intervalo [0, x], obtenemos as´ı un punto c ∈ (0, x) tal que
ex^ − e^0 = ec(x − 0).
Como ec^ > e^0 = 1 resulta que ex^ − 1 > x, esto es, ex^ − 1 > x. Si ahora x ∈ (−∞, 0) de nuevo el teorema del valor medio nos garantiza la existencia de un punto c ∈ (x, 0) tal que ex^ − e^0 = ec(x − 0). Como ahora ec^ < 1 resulta de nuevo que ex^ − 1 > x pues x < 0 y ecx > x. Si finalmente x = 0 resulta que e^0 = 1 + 0. En conclusi´on ex^ ≥ 1 + x para todo x ∈ R y ex^ > 1 + x para todo x 6 = 0.
(b) La segunda da una acotaci´on inferior y otra superior del sen x. Tampoco hemos definido con precisi´on la funci´on x 7 → sen x. Lo haremos m´as adelante, aqu´ı supon- dremos conocido que se trata de una funci´on derivable en todo punto de R que es impar, esto es f (−x) = −f (x) para todo x ∈ R, y que su derivada es la funci´on x 7 → cos x que es tambi´en una funci´on derivable en todo punto de R cuyos valores est´an entre −1 y 1. Fijemos x ∈ (0, +∞). Aplicando el teorema del valor medio a la funci´on sen obtenemos que
sen x − sen 0 = cos c(x − 0)
Teorema 5.27 (del valor medio de Cauchy) Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo [a, b] y derivables en (a, b) de forma que g′(x) 6 = 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a) g(b) − g(a)
f ′(c) g′(c)
Demostraci´on. Observamos en primer lugar que g(b) − g(a) 6 = 0, pues si g(b) = g(a) el teorema del Valor Medio nos dar´ıa la existencia de un punto c ∈ (a, b) tal que g(b)−g(a) = g′(c)(b − a) pero entonces g′(c) debe ser 0 y esto contradice la hip´otesis de que g′(x) 6 = 0 para todo x ∈ (a, b). Como ya hicimos en el teorema del valor medio consideraremos una funci´on auxiliar a la que aplicaremos el teorema de Rolle. En este caso la funci´on es
ϕ(x) =
f (b) − f (a) g(b) − g(a)
(g(x) − g(a)) − (f (x) − f (a)).
La funci´on ϕ es continua en [a, b] y derivable en (a, b), adem´as ϕ(b) = ϕ(a) = 0, luego le podemos aplicar el teorema de Rolle y obtenemos la existencia de un punto c ∈ (a, b) tal que ϕ′(c) = 0. Ahora bien
ϕ′(c) =
f (b) − f (a) g(b) − g(a)
g′(c) − f ′(c)
con lo que (f (b) − f (a))g′(c) = (g(b) − g(a))f ′(c). Obs´ervese que si g(x) = x este teorema es exactamente el teorema del Valor Medio que hemos obtenido anteriormente.
Podemos ya obtener una de las reglas de L’Hˆopital para el c´alculo de algunos l´ımites de cocientes.
Proposici´on 5.28 (regla de L’Hˆopital) Sean a < b dos n´umeros reales y sean f y g dos funciones derivables en (a, b) de forma que g′(x) 6 = 0 para todo x ∈ (a, b) y supongamos que l´ım x→a+
f (x) = 0 = l´ım x→a+
g(x).
Si existe el
l´ım x→a+
f ′(x) g′(x)
y su valor es L ∈ R entonces existe el
l´ım x→a+
f (x) g(x)
y su valor tambi´en es L.
- Derivaci´on 101
Demostraci´on. Definamos f (a) y g(a) como 0. Entonces f y g son continuas en [a, b].
Como l´ım x→a+
f ′(x) g′(x) =^ L, dado cualquier^ ε >^ 0 existe^ δ >^ 0, que supondremos que verifica que a + δ < b, tal que (^) ∣ ∣ ∣ ∣
f ′(t) g′(t)
− L
∣ < ε
para todo t ∈ (a, a + δ). Sea x un punto arbitrario en el intervalo (a, a + δ). Aplicando el teorema de Cauchy del valor medio al intervalo [a, x] obtenemos que existe c ∈ (a, b) tal que
f (x) − f (a) g(x) − g(a)
f ′(c) g′(c)
Como f (a) = g(a) = 0 la anterior igualdad nos da que
f (x) g(x)
f ′(c) g′(c)
y entonces (^) ∣ ∣ ∣ ∣
f (x) g(x)
− L
∣ < ε
pues c ∈ (a, a + δ). Esto se verifica para todo x ∈ (a, a + δ). En consecuencia
l´ım x→a+
f (x) g(x)
= L.
Nota 5.29 La misma demostraci´on sirve cuando en las hip´otesis anteriores se trata de l´ımites de la forma l´ım x→b−
f (x) g(x) ,^ xl→´ım+∞
f (x) g(x) o^ xl→−∞´ım
f (x) g(x).
Nota 5.30 El resultado anterior vale, y con la misma demostraci´on, cuando L = +∞ o L = −∞. Veamos como ejemplo el caso en el que L = +∞. Dado cualquier M > 0 existe δ > 0 tal que f ′(t) g′(t)
> M
para todo t ∈ (a, a + δ). Como antes, para todo x ∈ (a, a + δ) existe c ∈ (a, x) tal que
f (x) − f (a) g(x) − g(a)
f ′(c) g′(c)
y como f (a) = g(a) = 0, f (x) g(x)
f ′(c) g′(c)
> M
pues c ∈ (a, a + δ), luego
l´ım x→a+
f (x) g(x)
- Derivaci´on 103
la funci´on f n−1)^ en el punto c, supuesto claro est´a que existe la derivada de orden n − 1 en todos los puntos de I, o al menos en un intervalo que contenga a c. Si n − 1 = 0 se entiende que la correspondiente derivada es la propia funci´on.
Dada una funci´on que tenga derivadas hasta el orden n en un punto x 0 construimos un polinomio de grado menor o igual que n mediante la expresi´on:
Pn,x 0 (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) +
f ′′(x 0 ) 2!
(x − x 0 ) + · · · +
f n)(x 0 ) n!
(x − x 0 )n.
Tal polinomio se llama el Polinomio de Taylor de f en x 0 de grado menor o igual que n. El siguiente teorema nos da una informaci´on muy ´util sobre c´omo este polinomio aproxima a la funci´on f , supuesto, claro est´a, que f verifique unas ciertas hip´otesis.
Teorema 5.33 (de Taylor) Sean n ∈ N, I = [a, b], x 0 ∈ I y f una funci´on de I en R que tenga todas las derivadas f ′, f ′′, ..., f n), que ´estas sean continuas^1 en I y que exista f n+1)^ en el intervalo (a, b). Entonces, para todo x ∈ I, x 6 = x 0 , existe un punto c entre x y x 0 tal que
f (x) = Pn,x 0 (x) +
f n)(c) (n + 1)!
(x − x 0 )n+1.
Demostraci´on. Dado x ∈ I, x 6 = x 0 , denotemos por J al intervalo cerrado de extremos x y x 0. Seg´un sea x en relaci´on con x 0 el intervalo J ser´a [x, x 0 ] o [x 0 , x]. Consideremos la funci´on auxiliar definida en cada t ∈ J por la expresi´on,
F (t) := f (x) − Pn,t(t) = f (x) −
f (t) + f ′(t)(x − t) + · · · +
f n)(t) n!
(x − t)n
Esta funci´on es continua en J y derivable en su interior, y
F ′(t) = −f ′(t) + f ′(t) − f ′′(t)(x − t) +
f ′′(t) 2!
2(x − t) −
f ′′′ (t) 2!
(x − t)^2 −
f n)(t) n!
n(x − t)n−^1 −
f n+1)(t) n!
(x − t)n
f n+1)(t) n!
(x − t)n.
Consideremos ahora la funci´on definida en cada t ∈ J por la expresi´on
G(t) := F (t) − F (x 0 )
x − t x − x 0
)n+ .
Esta funci´on es continua en J y derivable en su interior. Adem´as,
G(x) = F (x) = 0 y G(x 0 ) = F (x 0 ) − F (x 0 ) = 0, (^1) Realmente las primeras n − 1 derivadas ya son continuas por ser derivables.
entonces, el teorema de Rolle (Teorema 5.19) nos da la existencia de un punto c en el interior del intervalo J, esto es, entre x y x 0 tal que G′(c) = 0. Ahora bien,
G′(c) = F ′(c) + F (x 0 )(n + 1)
(x − c)n (x − x 0 )n+^
de donde se deduce que
F (x 0 ) = −F ′(c)
n + 1
(x − x 0 )n+ (x − c)n
y sustituyendo F ′(c) por su valor, antes calculado, tenemos que
F (x 0 ) = f n+1)(c)
n + 1
(x − x 0 )n+ (x − c)n
(x − c)n n!
=
f n+1)(c) (n + 1)!
(x − x 0 )n+1.
De la expresi´on que define a F (x 0 ) se sigue que
f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) + · · · +
f n)(x 0 ) n!
(x − x 0 )n^ + F (x 0 )
= f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) + · · · +
f n)(x 0 ) n!
(x − x 0 )n^ +
f n+1)(c) (n + 1)!
(x − x 0 )n+1,
que es lo que quer´ıamos demostrar.
Como ya hemos hecho, es habitual denotar al polinomio
f (x 0 ) + (x − x 0 )f ′(x 0 ) + · · · +
(x − x 0 )n n!
f n)(x 0 )
por Pn,x 0 (x), y tambi´en es habitual denotar por Rn,x 0 (x) a
1 (n + 1)!
f n+1)(c)(x − x 0 )n+1.
Obs´ervese que Rn,x 0 (x) depende de c que es un punto del que s´olo sabemos que est´a en- tre x y x 0. Se tiene as´ı que f (x) = Pn,x 0 (x)+Rn,x 0 (x). Rn,x 0 se llama el resto de Lagrange (matem´atico italiano, 1736-1813). Hay otras formas de expresar este resto, una de ellas es mediante una integral. Esto lo veremos m´as adelante.
Nota 5.34 Hay tambi´en una versi´on del Teorema de Taylor para n = 0, se trata del teorema del valor medio (Teorema 5.20). En efecto, si f : [a, b] → R es continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces, para todo x ∈ (a, b) existe c ∈ (a, x) tal que
f (x) = f (a) + f ′(c)(x − a)
que es lo que afirmar´ıa el teorema de Taylor para n = 0.
