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Un análisis detallado sobre los índices económicos de laspeyres, paasche y fischer, incluyendo su definición, cálculo y aplicaciones en el contexto de la estadística empresarial. Además, se discuten conceptos relacionados como el índice de valor, el déflactor y la participación en la variación.
Tipo: Ejercicios
1 / 20
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Estatística Empresarial I
Números índices
Estatística Empresarial I
Año Valor 2000 80 2001 50 2002 40 2003 60 2004 90 2005 110 2006 40 2007 20
60
80
100
120
140
160
180
2007 20 2008 170 2009 90 2010 100^0
20
40
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Queremos comparar lo que ocurre los distintos años con la situación inicial.
Hacemos un cambio de escala de forma que el valor inicial se convierta en cien y el resto varíe en la misma proporción.
Año Indice simple 2000 100, 2001 62 5
200
250
2001 62 , 2002 50, 2003 75, 2004 112, 2005 137, 2006 50, 2007 25, 2008 212, 2009 112, 2010 125, 0
50
100
150
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
0 0 0
Precio relativo
i Precio de la mercancía i
i i (^) t it
X
x p (^) p p x p p
→
= (^) ⎫ ⎬ = = (^) ⎭
xit = pit (^) ⎭ pi 0
0 0 0 0
Cantidad relativa
i Cantidad producida, consumida, vendida, etc. de la mercancía i
i i t (^) it
it it i
X
x q (^) q q x q q
→
= (^) ⎫ ⎬ = = (^) ⎭
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Valor relativo
i Valor de la producción, consumo, ventas, etc. de la mercancía i
i i i (^) t it it it it t t
it it it (^) i i i i
X
x p q (^) p q p q V p q x p q p q p q
→
= ⎫ ⎬ =^ =^ = = (^) ⎭
Estatística Empresarial I
Magnitud Valor en el período Indice simple base actual 0 1 0 1
1 1 1 1 1
i t t T T t T
X t T t T x x x x X x x x x I = = I = I = I =
" " " "
" " " "
10 10 10 10 (^0 20 121 ) 2 20 21 2 2 0 0 0 0 20 20 20 20 t T^2 1 2 t^2 t^ T^2 T
x x x x x x x x X x x x x I I I I x x x x
" " = = = " = " =
0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
(^0 0 ) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1
1
i i t it T iT i i i it iT i i i i
N N t^ Nt T NT N N N Nt NT N N N N
x x x x X x x x x I i I i I i I i x x x x
x x x x X x x x x I N I N I N I N x x x x
= = = = =
= = = = =
" " " "
" " " "
Estatística Empresarial I
1 1 00 1 0^10 1 1^0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 1 2 1 2 2
M ag n itu d P o n d erac ió n In d ice s im p le s o p es o P e río d o 0 P erío d o 1 P erío d o P erío d o 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
i t t T T
t t T T
s
X t T x I x^ I x^ I x I x x x x x I x^ I x^ I x I x
ω ω = = = = =
" " " "
2 0 2 0 2 0 2 0
00
2 1 2 t^2 t^ T 2 T
i i
x I I I I x x x x
x I
ω
ω
= = = " = " =
(^0 10 10 ) 0 0 0 0
0 0 1 1 (^0 0 0 0 0 0 )
00 10 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
M ed ia aritm étic a
M ed ia g
i i t it T iT i i i i
N N t N t T N T N N N N N N N N N (^) t N T i i i i i (^) N i (^) N i (^) N i N
i i^ i i^ i i^ i i
i x^ I i x^ I i x^ I i x x x x x
x I N x^ I N x^ I N x^ I N x x x x x I i I i I i I i
ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
= = = =
= = = =
= = = = =
= = = = =
" "
" "
" "
N N N N i i^ N^ i^ i i^ N^ i^ i i^ N^ t^ i^ i iN T i I i I i I i I i ∑ ω ω ∑ ω ω ∑ ω ω ∑ω ω
(^1 0 1 0 1 0 ) 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 10 0 1
eo m é trica
M ed ia a rm ó n ica 1 1 1 1
M ed ia ag reg ativa
i i i i i i i i N N N N i i^ i i^ i i^ i i N N N N i i t i T i i i i i N i i i
I i I i I i I i
I i I i I i I i x
x
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω
= = = = = = = =
= = = =
= = = =
=
" "
" "
1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0
N N N i i it i iT i N i^ N iN^ iN i i^ i^ i i^ i^ i i^ i^ i i^ i
x x x
x x x
ω ω ω
ω ω ω ω
= = =
= = = =
" "
1 No ponderados (^) i i N Estatística Empresarial I^ ω =^ ∀
Indice simple 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 100 120 160 120 80 180 100 120 140 180 200
t t t t t t t t t t t Ponderación 0 1 0,
t
Año base de ponderación
2 100 200 100 300 50 120 140 60 90 100 150 3 100 80 120 90 80 100 120 130 150 130 100
2 0, 0625 3 0, 6250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
400
450
500
550
600
650
Año base
0
50
100
150
200
250
300
350
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t Indice simple 1 Indice simple 2 Indice simple 3 Indice compuesto
1 1 10 10 11 11 1 1 1 1 2 2 20 20 21 21 2 2 2 2
Magnitud Ponderación Índice Período 0 (Base) Período 1 Período Período i i Precio^ Cantidad^ Precio^ Cantidad^ Precio^ Cantidad^ Precio^ Cantidad t t T T t t T T
i
t T X X p q p q p q p q X p q p q p q p q
X
ω ω ω
" " " " " "
ωi pi 0 qi 0 pi 1 qi 1 " pit qit " piT qiT
0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
Media Laspeyres aritmética ponderada
N N N N N N Nt Nt NT NT N N N N i i it i i i i i it i i io i i N N i i i N N i i (^) p i i i i i i i i
X p q p q p q p q p I p q p q p q p (^) p q L p^ q^ p^ q
ω
ω ω ω ω ω
= = = =
= = = =
= =
" "
"
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1
Media Paasche aritmética ponderada
N N i iT i i i N N i i i i i i N N N N N N it i i (^) i i i i i i it it iT iT i io (^) i i it i i i i N N N N N i i (^) p i i i i i it i i i i i
p q
p q p q
p I (^) p p q p q p q p q p q P p^ q^ p^ q^ p^ q^ p
ω^ ω ω ω ω
= =
= =
= = = = = =
= = = = =
= =
"
" "
0 1 Media Edgeworth 0 0 0 1 0 1 0 0
N i iT i N N N N N it i i i i i i i it i it iT i iT
q
p ω p q q p q q p q q p q q
=
0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
agregativa ponderada
it i i i i i i i it i it iT i iT i i i i i N i i i it N N N N i i (^) p i i i i i i i i it i i iT i i i i i
p p q q p q q p q q p q q p q q p (^) E p q q p q q p q q p q q
ω ω
= = = = =
= = = = =
= +
" "
0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Media Bowley agregativa ponderada
Medi
N N N N N it i i i i i i i it i it iT i iT i i i i i N i i i it N N N N i i (^) p i i i i i i i i it i i iT i i i i i
p p q q p q q p q q p q q p q q p (^) B p q q p q q p q q p q q
ω μ μ μ μ ω μ ω μ μ μ μ
= = = = =
= = = = =
= +
" "
0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Fischer a geométrica
N N N N N N N N i i i i i i i i it i it it iT i iT iT p p i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ i N N N N N N N p i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ it^ i^ i^ i^ iT i i i i i i i i
p q p q p q p q p q p q p q p q L P F p^ q^ p^ q^ p^ q^ p^ q^ p^ q^ p^ q^ p^ q^ p^ q
= = = = = = = =
= = = = = = = =
" " (^) N
0 1
0 0 1
N it i i p N i i i
=
=
Neutraliza las cantidades igualándolas en el período base.
Mide el cambio en porcentaje que ocurriría en los precios de un momento dado si se hubieran comprado los mismos artículos y en las mismas cantidades que en el período base. ‐ Permite comparaciones entre períodos.
‐ Se desfasa en el tiempo debido a un “patrón estático de consumo”.
1
0 1
N it it i p (^) N i it i
=
=
∑
∑
Neutraliza las cantidades igualándolas en el período actual.
‐Exige calcular q (^) it en el período corriente.
‐ El índice de precios de cada período solo puede compararse con el del período base pues las ponderaciones varían período a período.
Mide el cambio en porcentaje que ocurriría en los precios de un momento dado si se hubieran comprado los mismos artículos y en las mismas cantidades que en el período actual.
( )
( )
0 1
0 0 1
N it i it i p N i i it i
=
=
( )
( )
0 1 0 0
0 0 1
N it i it i it i i p (^) N it it i i it i
=
=
∑
∑
Estatística Empresarial I
1 1 10 10 11 11 1 1 1 1
Magnitud Ponderación Índice Período 0 (Base) Período 1 Período Período i i Precio^ Cantidad^ Precio^ Cantidad^ Precio^ Cantidad^ Precio^ Cantidad t t T T
t T X X p q p q p q p q X
ω ω
" " " "
2 2 20 20 21 21 2 t 2 t 2 T 2 T
i
X p q p q p q p q
X
ω " "
0 0 1 1
0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
Media Laspeyres aritmética ponderada
i i i i i it it iT iT
N N N N N N Nt Nt NT NT N N N N it i i i (^) i i i i i i i io (^) i i i i i N N N N i i (^) q i i i i i i i i
p q p q p q p q
X p q p q p q p q q I p q p q p q q p q L p q p q
ω
ω
ω ω ω ω ω
= = = =
= = = =
= =
" "
" "
"
0 1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Media Paasche aritmética
N N it i iT i i N N i i i i i i N N N N N N it i i i i i i i it it iT iT i i io i i i i
p q
p q p q
q I p q p q p q p q q (^) p q ω ω ω
= =
= =
= (^) = = = = = = =
"
0 "^ " 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
aritmética ponderada
N N i it i N N N i i (^) q i i i i it i i i i i i
p q P p^ q^ p^ q^ p q^ p
ω ω ω = = = = =
= =
1
0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
Fischer Media geométrica
N iT i i N N N N N N N i i i i i i i i i it it it i iT iT iT i i i i i i i q q N N N N N N N q i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ i^ it^ i^ i^ i i i i i i i i
q
p q p q p q p q p q p q p q p q L P F p^ q^ p^ q^ p^ q^ p^ q^ p^ q^ p q^ p^ q
=
= = = = = = =
= = = = = = =
" " 1 0 1
N i N iT i i
p q
=
=
Estatística Empresarial I
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
t t t t
t t t t t t t t t t
′ ′ ′ ′′ ′ ′′
( ) ( )
xit (^) ′ = xit + kxit = (^) ( 1 + k (^) ) xit ⇒ Ii =( 1 +k (^) )Ii
Estatística Empresarial I
Existencia Identidad Inversión Circula-ridad Proporcio-nalidad Homoge-neidad Represen-tatividad
D
Sauerbeck Si Si No No Si Si Si
Bradstreet Dûtot Si^ Si^ Si^ Si^ Si^ Si^ Si
e P r e c i o s
Laspeyres Si Si No No Si Si No
Paasche Si Si No No Si Si Si
Edgeworth Si Si Si No Si Si Si
Bowley Si Si (^) Excepto Si No Si Si Si
Fischer Si Si Si No Si Si Si
D c
Laspeyres Si Si No No Si Si No
D e
c a n t i d a d
e s
Paasche Si Si No No Si Si Si
Edgeworth Si Si Si No Si Si Si
Bowley Si Si (^) Excepto Si No Si Si Si
Fisher Si Si Si No Si Si Si
Índice de valor Si Si Si Si Si Si Si
Estatística Empresarial I
Son índices en los cuales la base es siempre el período precedente.
1 1 0 0
i
( )
( )
( )
( )
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1
1
i i
t i t t i t
t it t i t
−^ − − −
− −
x x (^) x x I I I I x x x x
= = =
( ) =^ ∏
( )
( )
( )
1 1
2 2 1 1
1 1
t^ i t t it
t i t t i t
T iT T i T
+^ +
− −
∏
Estatística Empresarial I
1 (^0 0 1 ) 1 0 0
i i i (^) i i i i i ep
∑ (^) ∑
∑ ∑
( )
( ) ( ) (^) ( )
0 0 0 0
2 (^1 1 2 ) 2 1 1 1 1 1 1
(^1 1 ) 1
i i i i i i i i i (^) i i i i i ep i i i i i i
it i t i t (^) it (^) i t t i^ i t i
− − (^) − −
∑ ∑
∑ (^) ∑
∑ ∑
∑ (^) ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1
t ep i t i t i t i t i i
iT i T i T T i T T ep
− − − − −
− − −
∑ ∑
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
(^1 )
1 1 1 1
i iT^ i T i
i T i T i T i T i i
− (^) −
− − − −
∑ (^) ∑
∑ ∑ Estatística Empresarial I
Estatística Empresarial I
P e río d o V a lo r n o m in a l V a lo r re a l U n id a d e s m o n e ta ria s U n id a d e s m o n e ta ria s D e fla c to r
0 0 0 0 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1
2 2 2 2 1
U n id a d e s m o n e ta ria s U n id a d e s m o n e ta ria s D e fla c to r c o rrie n te s c o n s ta n te s d e l p e río d o b a s e
0
1
2
N N R i io o i io i i N N R i i i i i i N (^) R i i i
V p q V p q D f
V p q V p q D f
V p q V p
= =
= =
=
= =
= =
= =
1
0
N i i i
N (^) R N t it it t i it t
q D f
t V p q V p q D f
=
= =
1 1
0 1 1
i i
N N R T i t it T i i T t i i
T V p q V p q D f
= =
= =
= =
R (^) t t t
V V t Df
= ∀
Estatística Empresarial I
V p q V p q
= (^) ∑ → =∑
0
N N N ∑ p qit i^ ∑ p qit it^ N ∑p qit it N
0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1
it i it it N it it N t (^) i t i i R t p N N i i N i it t t i i i i it i it i i i i N i i i
= = = = = = = =
=
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
N N
∑ ∑
1 1 0 0 1 0 1 1
0 1
it it it it (^) N t i t i R t p (^) N N i it t t i i it it it i i N i it i
= =
=
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
Estatística Empresarial I
Estatística Empresarial I
Indice simple 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 125 150 200 150 100 225 125 150 175 225 250
t t t t t t t t t t t
Ponderación 0 1 0, 2 0, 0625 3 0, 6250
t
100 140
Año base de ponderación
2 200 400 200 600 100 240 280 100 180 200 300 3 125 100 150 112,5 100 125 150 162,5 187,5 162,5 125
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4
500
550
600
650
140 50
Año base
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t Indice simple 1 Indice simple 2 Indice simple 3 Indice compuesto
M ag n itu d sim p le 0 1 2 3 4 5 1 5 0 6 0 8 0 6 0 4 0 9 0 2 1 0 2 0 1 0 3 0 5 1 2 3 1 0 0 8 0 1 2 0 9 0 8 0 1 0 0
t t t t t t 0 0, 0, 0625 0, 6250
t
200
250
300
350
Magnitud simple 5 6 7 8 9 10 1 90 50 60 70 90 100 2 12 14 6 9 10 15
t t t t t t 5
Indice simple 0 1 2 3 4 5 1 100 120 160 120 80 180 2 100 200 100 300 50 120 3 100 80 120 90 80 100
Complejo 100 100,00 131,25 112,5 78,13 126,
t t t t t t
0
50
100
150
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t Indice simple 1 Indice simple 2 Indice simple 3 Indice compuesto
300
350
2 12 14 6 9 10 15 3 100 120 130 150 130 100
0
50
100
150
200
250
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t Indice simple 1 Indice simple 2 Indice simple 3 Indice compuesto
Indice simple 5 6 7 8 9 10 1 100 55,56 67, 67 77,78 100, 00 111, 2 100 116, 67 50, 00 75,00 83,33 125, 00 3 100 120,00 130, 00 150, 00 130, 00 100, 00
Complejo 100 91, 09 97, 03 113,37 113,86 106, 44
t t t t t t
0 0 *0 (^0) 0
Período Índice Índice Índice
0 1 1 1
0 1
t t (^) t t
t t
I I I I I
′ ′
= ′ = ′=
= =
( )
0 0 * 0
t t t
t
I I
I x I
′
′
−
− 0 1 1 *1 0 0 0 2 2 *2 (^0) 0 0
1
2
t t (^) t t
t t t t
t t t t
I
I I I I I
I I I I I
I I I I
′ ′
′ ′
=
=
I I x I I I I I
= (^) ′ = (^) ′=
0 (^ t)
0
1 1
t t t t t t t
t t t t t t
T T T t t t
t I I I I
t I I I
T I I I
′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′
=
′ (^) = = =
=
I
I
Estatística Empresarial I
5 6 7 8 9 10 100 55,56 67, 67 77,78 100, 00 111, 100 116 67 50 00 75 00 83 33 125 00
t t t t t t
Indice simple 0 1 2 3 4 5 1 100 120 160 120 80 180 2 100 200 100 300 50 120 3 100 80 120 90 80 100
Compuesto 100 100,00 131,25 112,5 78,13 126,
t t t t t t
In d i c e s i m p le 0 1 2 3 4 1 2
t t t t t
100
Coeficiente de enlace
100 116 , 67 50, 00 75,00 83,33 125, 00 100 120, 00 130, 00 150, 00 130, 00 100, 00
100 91, 09 97, 03 113,37 113,86 106, 44
2 3
C o m p u e s t o
In d i c e s im p le 0 1 2 3 4 1 5 5 , 5 6 6 6 , 6 7 8 8 , 8 9 6 6 , 6 7 4 4 , 4 4 2 8 3 , 3 3 1 6 6 , 6 7 8 3 , 3 3 2 5 0 , 0 0 4 1, 6 7 3 1 0 0 , 0 0 8 0 , 0 0 1 2 0 , 0 0 9 0 , 0 0 8 0 , 0 0
C o m p u e s t o 7 9 , 2 1 7 9 , 2 1 1 0 3 , 9 6 8 9 , 1 1 6 1, 8 8
t t t t t (^5 6 7 8 9 ) 100 55, 56 67, 67 77, 78 100, 00 111, 100 116, 67 50, 00 75, 00 83, 33 125, 00 100 120, 00 130, 00 150, 00 130, 00 100, 00
100 91, 09 97, 03 113, 37 113,86 106, 44
t t t t t t
100 120 180
0
50
100
150
200
250
300
350
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t Indice simple 1 Indice simple 2 Indice simple 3 Indice compuesto
0 0 100 100 100
t t h t t h t t h t h t h (^) t h
x x
I I x x x x
I x x
− − − − − (^) −
− − − = =
x 0
Estatística Empresarial I
( )
100
I I x 0 x x
− − =
Estatística Empresarial I
x 0
x 2 = x 1 + x r 1 2 = x 1 ( 1 +r 2 )
=x (^0) ( 1 + r 1 )( 1 +r 2 )
x (^) j = x (^) j − 1 + xj (^) − 1 rj = xj (^) − 1 ( 1 +rj)
xn = xn (^) − 1 + xn (^) − 1 rn = xn (^) − 1 ( 1 +rn)
= x 0 ( 1 + r 1 )( 1 + r 2 ) "( 1 +rj)
= x 0 ( 1 + r 1 ) ( 1 + r 2 ) "( 1 +rn)
( 1 )
x = x (^) ∏ +r
Estatística Empresarial I
0 (^ )
n 1 j
x x r
= (^) ∏ +
1
x x r
= + ∏
( )
1 1 1
x r r x
= (^) ∏ + − = −
S i r (^) j = r ∀ j 0 ( ) 0 ( )
1 1
x x r x r
⎯⎯→ = (^) ∏ + = +
Tasa de variación acumulativa d
Estatística Empresarial I
j = 1 x 0 promedio
Si 1 1 1
X X X X n r X X X
− = ⇒ = − = − =
