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Asignatura: MOF, Profesor: Sonia Margarita Rodriguez, Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UVIGO
Tipo: Ejercicios
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Unidad didáctica 5
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales UNIVERSIDAD DE VIGO
Esta versión pdf es un resumen de la Unidad didáctica 5 de MOF Virtu@l. Se recomienda trabajar directamente sobre el contenido digital, para disponer de todos los recursos didácticos diseñados para consolidar el proceso de aprendizaje.
Unidad didáctica 5
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales UNIVERSIDAD DE VIGO
Unidad didáctica 5
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales UNIVERSIDAD DE VIGO
Según la existencia de períodos de carencia
Sin embargo, desde un punto de vista financiero, existen dos criterios básicos para la clasificación de los préstamos:
Según el tipo de interés pactado
Según la forma de amortizar el principal
A continuación analizamos, con detenimiento, estos dos importantes aspectos.
El tipo de interés figura en el contrato de préstamo y representa el precio que el prestatario está dispuesto a pagar al prestamista por la cesión temporal de dinero. Habitualmente en los contratos de préstamo suele figurar el tipo de interés nominal anual (TIN) y la tasa anual equivalente (TAE).
Según sea constante o variable el tipo de interés, distinguimos tres modalidades de préstamo:
Préstamo a tipo de interés fijo
El tipo de interés es contante a lo largo de toda la operación de préstamo.
Ejemplo
Se concede un préstamo de 90.000 € a 15 años, a un tipo de interés nominal anual fijo del 6% pagadero por meses. En este caso, durante los 15 años se aplica el mismo tipo de interés (i 12 = 0,005).
Préstamo a tipo de interés variable
El tipo de interés varía a lo largo de la operación de préstamo.
La modalidad más frecuente es la de préstamo variable indexado o indizado. Se elige un indicador que sirve de referencia para las sucesivas revisiones del tipo de interés variable, al que se le suma, además, un margen o diferencial. Este margen o diferencial depende del poder de negociación del prestatario. Normalmente, cuanto mayor es el riesgo que el prestamista asume concediendo el préstamo, mayor es el margen o diferencial que, en compensación, exige al prestatario.
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La fecha en que se revisa el tipo de interés suele coincidir con la fecha de la firma del contrato de préstamo. En dicho contrato también se especifica la frecuencia con la que debe realizarse cada revisión del tipo de interés (anual, semestral,...).
Ejemplo
Se concede un préstamo de 90.000 € a 15 años, indizado al Euribor a 1 año más un margen o diferencial del 0,45%, con revisiones anuales.
En este caso, el tipo de interés varía año a año, en función del valor que vaya alcanzando el Euribor en la fecha que indica el contrato de préstamo para realizar las sucesivas revisiones.
Así, si el valor del Euribor para la primera revisión anual fuese el 2%, el tipo de interés que se aplicaría en el préstamo para ese año sería: 2% + 0,45% = 2,45%.
Y si el valor del Euribor para la segunda revisión anual fuese el 1,5%, el tipo de interés que se aplicaría para ese año sería: 1,5% + 0,45% = 1,95%.
Es importante resaltar que el tipo de interés que resulta de la suma de Euribor y el diferencial debe interpretarse siempre como un tipo de interés nominal anual (Jm).
Préstamo a tipo de interés mixto
Se combinan las dos modalidades anteriores en el préstamo, de forma que el tipo de interés es fijo en un tramo de la operación (habitualmente en el inicio) y pasa a ser variable indizado durante el tiempo restante.
Ejemplo
Se concede un préstamo de 90.000 € a 15 años, a un tipo de interés nominal anual fijo del 3,6% pagadero por meses los 3 primeros años; y, los restantes, al Euribor a 1 año más un diferencial del 0,75%. En este caso, durante los 3 primeros años se aplica el mismo tipo de interés (i 12 = 0,003) y, a partir del cuarto año, el tipo de interés pasa a ser variable, dependiendo de la evolución del Euribor a 1 año.
Existen básicamente tres alternativas para amortizar un capital recibido a préstamo:
Amortización a plazo fijo
Amortización normal o americana
Amortización sucesiva
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Ejemplo
Un prestamista entrega a un prestatario 6.000 € a un tipo de interés efectivo anual del 5%. Si ambos deciden que la amortización sea normal o americana durante 2 años, el prestatario pagará, al final de cada año, 300 € de intereses (6.000.^ 0,05) y, al final de la operación, el principal del préstamo (6.000 €).
Gráficamente:
4.3. Amortización sucesiva
En esta alternativa de amortización el prestatario entrega al prestamista pagos consecutivos, que pueden ser constantes o variables y tienen carácter pospagable. Estos pagos incluyen tanto intereses como reembolsos parciales del principal.
Ejemplo Un prestamista entrega a un prestatario 6.000 € a un tipo de interés efectivo anual del 5%. Si ambos deciden que la amortización sea sucesiva durante 2 años con pagos anuales constantes, el prestatario tendrá que pagar 3.226,83 € al final de cada año.
Gráficamente:
Para comprender cómo se obtiene este importe, seguidamente se analiza, con más detalle, el pago de un préstamo con amortización sucesiva.
4.3.1. Término amortizativo
Los pagos consecutivos que entrega el prestatario al prestamista en la amortización sucesiva se denominan términos amortizativos y cumplen una doble finalidad: Una parte se destina a pagar los intereses del capital pendiente de amortizar al principio del período. Se denomina cuota de interés.
6.000 € 300 € 300 €
0 1 2
6.000 €
0 1 2 6.000 €
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La otra parte del pago se destina a ir amortizando el principal. Se denomina cuota de amortización.
Por tanto, la estructura del término amortizativo es la siguiente:
En el contrato de préstamo se indica la periodicidad de los términos amortizativos o pagos (anual, semestral, mensual, …). En cualquier caso, el prestatario paga los sucesivos términos amortizativos al final de cada período de amortización; es decir, se trata de una renta financiera temporal, de términos pospagables.
Gráficamente:
La notación matemática-financiera que se utiliza para identificar las principales variables relacionadas con la amortización sucesiva de un préstamo es la siguiente: “C 0 ” es el principal del préstamo
“ak” es el término amortizativo o pago del período “k” “Ik” es la cuota de interés del período “k” “Ak” es la cuota de amortización del período “k” “Ck” es el capital pendiente de amortizar al final del período “k” después de pagar el término amortizativo correspondiente. También se denomina deuda pendiente al final del período “k”
“Mk” es el capital amortizado hasta el final del período “k” con k = 1, 2, 3, …, n.
4.3.2. Cuota de interés
La cuota de interés es la parte del término amortizativo que se destina a pagar los intereses del capital pendiente de amortizar al principio del período. Representa la carga financiera generada en dicho período.
Cuota de interés Cuota de amortización
0 1 2 3 … n
Principal
Término Término Término ... Término
TÉRMINO AMORTIZATIVO
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Ck = ak+1. (1+i)
-(n-k)
Conviene señalar que cuando los términos amortizativos son constantes, en este caso anuales, se puede calcular más rápidamente “Ck”, aplicando valores actuales de rentas:
De igual modo, puedes aplicar valores actuales de rentas si los términos amortizativos son variables en progresión aritmética o en progresión geométrica.
Ejemplo Banco B@nk concede un préstamo personal de 10.000 € durante 8 años a un tipo de interés efectivo anual fijo del 5%. Sabiendo que los términos amortizativos anuales son constantes de cuantía 1.547,22 €, el capital pendiente de amortizar al final del sexto año, aplicando el valor actual de la correspondiente renta constante, es:
Método recurrente
Por este método, “Ck” es igual al capital pendiente de amortizar al final del período “k-1” más los intereses que dicho capital genera en el período “k” y menos el término amortizativo correspondiente.
Por tanto, suponiendo términos amortizativos anuales variables y un tipo de interés efectivo anual “i”, resulta la siguiente expresión:
Ck = Ck-1.^ (1 +i) - ak
que se denomina “ecuación dinámica de la amortización de un capital” y es una expresión sintética de cómo evoluciona, período a período, la deuda pendiente.
4.3.5. Cuadro de amortización
Los valores que van tomando todas las variables relacionadas con la amortización de un préstamo (término amortizativo o pago, cuota de interés, cuota de amortización, y capital pendiente de amortizar o reserva matemática) al final de cada período, se recogen de forma ordenada en un cuadro de amortización, que siempre acompaña al contrato de un préstamo.
− − i
1 ( 1 i) C a
(nk ) k
1 ( 1 0 , 05 ) C 1. 547 , 22
( 86 ) 6 =
(^) − + = ⋅
− −
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Ejemplo
Período Pago Cuota de interés
Cuota de amortización
Capital pendiente
0 1 2 3 4 5 1.385, 1.385, 1.385, 1.385, 1.385,
Todas las variables de un cuadro de amortización de un préstamo están interrelacionadas. En concreto, se cumplen las siguientes relaciones , que puedes comprobar en el ejemplo:
La suma aritmética de todas las cuotas de amortización es igual al principal:
A 1 + A 2 + … + An-1+ An = C 0
La suma aritmética de las cuotas de amortización futuras es igual al capital pendiente de amortizar:
Ak+1 + Ak+2 + … + An-1+ An = Ck
El capital pendiente de amortizar al final de un período es el que había al principio del período menos la cuota de amortización de ese período:
Ck = Ck-1 - Ak
Por lógica amortizativa, el capital pendiente de amortizar es cada vez menor y es nulo en el final de la operación:
C 1 > C 2 > C 3 > ... > Cn-1 > Cn = 0
La magnitud complementaria de “Ck” es “Mk”, es decir, el capital ya amortizado del préstamo hasta una fecha determinada. Como es lógico, siempre se cumple que la suma del capital pendiente de amortizar y del capital ya amortizado es igual al principal. Por tanto:
Ck + Mk = C 0
“Mk” es una variable que no suele figurar en el cuadro de amortización. La suma aritmética de las cuotas de amortización pasadas es igual al capital ya amortizado: A 1 + A 2 + A 3 + ... + Ak-1 + Ak = Mk
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Para ello, se plantea la equivalencia financiera en el origen de la operación entre:
Por tanto, resulta la siguiente igualdad:
de donde se obtiene el pago mensual constante que se entrega al final de cada mes: a 12 = 265,92 €
Por consiguiente, el prestatario pagará 24 mensualidades de 265,92 € cada una de ellas, en concepto de contraprestación por los 6.000 € recibidos en préstamo.
En segundo lugar , se calcula qué parte del término amortizativo corresponde a intereses (cuota de interés) y qué parte amortiza capital (cuota de amortización).
Recuerda que la cuota de interés se calcula multiplicando el capital pendiente de amortizar al principio de cada período por el tipo de interés pactado en el préstamo. Por tanto, la cuota de interés del primer mes se calcula sobre 6.000 € y, a un tipo de interés mensual del 0,5%, resulta el siguiente importe:
6.000. 0,005 = 30 €
Si el prestatario paga 30 € de intereses, el resto de la mensualidad se destina a amortizar capital. Por tanto, la cuota de amortización del primer mes es:
265,92 – 30 = 235,92 €
Esta cuota de amortización minora el capital pendiente de amortizar, de forma que la deuda pendiente transcurrido un mes de la operación es inferior a la que existía al principio: 6.000 - 235,92 = 5.764,08 €
En consecuencia, la cuota de interés del segundo mes se calcula sobre 5.764,08 €, resultando un importe de: 5.764,08. 0,005 = 28,82 €
Si el prestatario paga 28,82 € de intereses, el resto de la mensualidad se destina a amortizar capital. Por tanto, la cuota de amortización del segundo mes es:
− 0 , 005
1 ( 1 0 , 005 )
24 12
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Esta cuota de amortización minora el capital pendiente de amortizar respecto al mes anterior, resultando: 5.764,08 - 237,10 = 5.526,98 €
En tercer lugar , se repite este procedimiento mes a mes, hasta que el capital pendiente de amortizar se extingue definitivamente (C 24 = 0), cuando el prestatario entrega la última mensualidad constante. En la práctica, se utiliza la hoja de cálculo para construir el cuadro de amortización, programando la secuencia descrita.
El cuadro de amortización que resulta de este ejemplo es el siguiente:
Período Pago Cuota de interés
Cuota de amortización
Capital pendiente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Como puedes observar, en el método de amortización francés se cumple que:
Las cuotas de interés son cada vez menores, pues el capital pendiente de amortizar va disminuyendo a medida que avanza la operación.
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Por tanto, resulta la siguiente igualdad:
de donde se obtiene el primer pago mensual variable que el prestatario entrega al final del primer mes: a 12
1 = 210,78 €
Para el cálculo de los restantes pagos mensuales variables de la contraprestación bastará con multiplicar el pago del primer mes por la razón de la progresión geométrica:
a 12
2 = a 12
(^1). q 12 = 210,78.^ 1,02 = 215,00 €
a 12
3 = a 12
(^2). q 12 = 215,00.^ 1,02 = 219,30 €
a 12
4 = a 12
(^3). q 12 = 219,30.^ 1,02 = 223,68 €
…. y así sucesivamente.
En segundo lugar , se calcula qué parte del término amortizativo corresponde a intereses (cuota de interés) y qué parte amortiza capital (cuota de amortización).
La primera cuota de interés se calcula multiplicando el capital pendiente de amortizar al principio del préstamo (principal) por el tipo de interés que se aplica. Por tanto: 6.000. 0,005 = 30 €
Si el prestatario paga 30 € de intereses, el resto de la primera mensualidad variable se destina a amortizar capital. Por tanto, la cuota de amortización del primer mes es: 210,78 – 30 = 180,78 €
Esta cuota de amortización disminuye el capital pendiente de amortizar respecto al inicio de la operación, resultando:
6.000 – 180,78 = 5.819,22 €
La segunda cuota de interés se calcula sobre 5.819, 22 €, resultando:
5.819,22. 0,005 = 29,10 €
1 0 , 005 1 , 02
1 0 , 005
1 , 02 1
24
1 12
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Si el prestatario paga 29,10 € de intereses, el resto de la segunda mensualidad variable se destina a amortizar capital. Por tanto, la cuota de amortización del segundo mes es: 215,00 – 29,10 = 185,90 €
Esta cuota de amortización minora el capital pendiente de amortizar respecto al mes anterior, resultando: 5.819,22 – 185,90 = 5.633,32 €
En tercer lugar , se repite este procedimiento mes a mes, hasta que el capital pendiente de amortizar se extingue definitivamente (C 24 = 0), con la entrega de la última mensualidad variable. En la práctica, se utiliza la hoja de cálculo para construir el cuadro de amortización, programando la secuencia descrita.
El cuadro de amortización que resulta de este ejemplo es el siguiente:
Período Pago Cuota de interés
Cuota de amortización
Capital pendiente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Por tanto, la cuota de amortización mensual constante es de 250 €.
En segundo lugar , se calcula la cuota de interés, multiplicando el capital pendiente de amortizar al principio de cada mes por el tipo de interés pactado. Por tanto, la cuota de interés del primer mes se calcula sobre 6.000 €, resultando un importe de: 6.000. 0,005 = 30 €
Si el prestatario paga 30 € de intereses y 250 € de cuota de amortización, el primer término amortizativo mensual variable se obtiene sumando ambas cuotas:
Al finalizar el primer mes, el capital pendiente de amortizar es:
La segunda cuota de interés se calcula sobre 5.750 €, resultando:
Si el prestatario paga 28,75 € de intereses y 250 € de cuota de amortización, el segundo término amortizativo mensual variable se obtiene sumando ambas cuotas:
En tercer lugar , se repite este procedimiento mes a mes, hasta que el capital pendiente de amortizar se extingue definitivamente (C 24 = 0), con la entrega de la última mensualidad variable. En la práctica, se utiliza la hoja de cálculo para construir el cuadro de amortización, programando la secuencia descrita.
El cuadro de amortización que resulta de este ejemplo es el que figura en la siguiente página. En él puedes comprobar que:
Las cuotas de interés son cada vez menores, pues el capital pendiente de amortizar va disminuyendo a medida que avanza la operación.
Las cuotas de amortización son constantes y, por ello, el capital pendiente de amortizar al final de un período se puede obtener de inmediato, sin más que multiplicar la cuota de amortización constante por el número de períodos amortizativos que faltan para finalizar la operación.
Los términos amortizativos son variables y decrecientes.
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Período Pago Cuota de interés
Cuota de amortización
Capital pendiente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6.1. Carencia de amortización
En un préstamo hay carencia de amortización durante un determinado número de períodos cuando las cuotas de amortización de esos períodos son nulas. En consecuencia, durante ese plazo, el prestatario no amortiza nada y se limita a pagar exclusivamente intereses.
Y, por ello, mientras dura la carencia, el capital pendiente de amortizar no disminuye sino que permanece invariable.
Ejemplo
Banco B@nk concede un préstamo personal de 6.000 € durante 5 años, a un tipo de interés efectivo anual fijo del 5%, con carencia de amortización durante los 2
