Tema 3 - Variable Aleatoria Bidimensional, Apuntes de Ingeniería de Telecomunicaciones

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Tema 3: VARIABLE

ALEATORIA BIDIMENSIONAL

Carlos Alberola López

Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación

Despacho 2D

[email protected], [email protected],

http://www.lpi.tel.uva.es/sar

Juego de dardos:•^

Cada lanzamiento es unexperimento aleatorio.

-^

Los errores (respecto delcentro) en sentido horizontalserían realizaciones de las VA X.

-^

Los errores (respecto delcentro) en sentido verticalserían realizaciones de las VA Y.

Concepto de VA bidimensional • ¿Cuándo será mejor un jugador que otro? Cuando másfrecuentemente (probablemente) alcance mayor puntuación.• Necesitamos pues herramientas bidimensionales ….

Concepto de VA bidimensional

X Y

(^

) Y

X ,

P c: Como norma general no esconocida a partir delconocimiento exclusivo de

P^1

y

P^2

Caracterización de VA bidimensionalA) Función de distribución conjunta

x

y

x

{^

} x

X

y

{^

} y

Y

A) Función de distribución conjunta

x

y

{^

} x

X

{^

} y

S^

×^

Y

1

x

y

Caracterización de VA bidimensional

A) Función de distribución conjunta

x

y

{^

} x

X

{^

} y

S^

×^

Y

1

{^

}^

{^

} y

S

S

x^

×

×

≤^

Y

X^

1 I 2

{^

}^

{^

} y

x^

≤^

Y

X^

I

x

y

Caracterización de VA bidimensional

-^

Es una función de probabilidad acumulada:

Función de distribución conjunta

{^

}^

{^

0

y

x

A^

=^

Y

X^

I

{^

}^

{^

1

y

x

B^

=^

Y

X^

I

(^

)^

(^

1

0 0

,^

y x F y x F^

XY

XY^

pues:

B

A

C

A

B^

=^

U

(^

)^

(^

(^

)^

(^

) D

P

A

P

D A P B P D A B

=^

U

U

x

y

x^2

y

x^1

D

x

y

x^2

y

x^1

A

x

y

x^2

y

x^1 B

(^

)^

(^

)^

(^

) A

P

B

P

D

P^

(^

)^

(^

)^

(^

) y

x F y x F D

P^

,^

1

2

XY

XY^

Función de distribución: usos

B) Función de densidad de probabilidad•^

La función de distribución es poco versátil, pues sólo permitehallar probabilidades de regiones con geometría muy sencilla.

-^

¿Qué sucede si necesitamos calcular la probabilidad de unaregión con geometría arbitraria?

x

y

(^

∑ i

Ri P

Caracterización de VA bidimensional

B) Función de densidad de probabilidad•^

La función de densidad se define de la forma

-^

Y la relación inversa es

-^

De forma que la probabilidad asociada a una región arbitraria Ddel plano es

No negativaVolumenencerrado=

Caracterización de VA bidimensional

Caracterización de VA bidimensionalB) Función de densidad de probabilidad•^

¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define

-^

se puede escribir de forma alternativa

x x^ Δ+ x

x

y^

y y^ Δ+ y

Ejercicio:

(^

)^

( ) x

F

x

P^

X

X^

>^

(^

)^

(^

) y

x F

y x

P^

,^

XY

Y

X^

¡¡NO!!

{^

}^

{^

} y

x

y x

S^

=^

Y

X

Y

X^

U

U

(^

)^

{^

}^

{^

(^

) y

x

y x

P S P^

=^

Y

X

Y

X^

U

U

(^

)^

(^

) y

x

P y x

P^

=^

Y

X

Y

X^

U

(^

)^

(^

) y

x

P

y x

P^

>^

Y

X

Y

X^

U

(^

)^

(^

)^

(^

)^

(^

) y

x P y P x P y x

P^

≤^

Y

X

Y

X

Y

X^

I

U

(^ )

(^

)^

(^

(^

) y

x F y F x F^

XY

Y

X^

Funciones de distribución marginales•^

Para obtener

hay que definir el suceso

a

partir del caso 2D. Para ello escribimos

-^

Es decir, que en el suceso compuesto la segunda variable nosuponga restricción alguna. Por ello

-^

De la misma forma

(^ ) x F X^

(^

) x

P^

≤ X

(^

)^

{^

(^

S

x

P x

P^

×

≤^

X

X

Funciones de densidad marginales•^

En este caso:

-^

Lo cual se puede escribir de forma compacta como

-^

con

(^

∫^ ∞−

=^

x

d

d dx

(^

)^

(^

dyy

f^

XY