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Tema 2: VARIABLE
ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Carlos Alberola López
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D014
http://www.lpi.tel.uva.es/sar
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Tema 2 - Variable Aleatoria Unidimensional, Apuntes de Ingeniería de Telecomunicaciones
Asignatura: Señales Aleatorias y Ruido, Profesor: Carlos Alberola Lopez, Carrera: Ingeniero Sistemas de Telecomunicación, Universidad: UVA
Tipo: Apuntes
2011/2012
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Tema 2: VARIABLE
ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Carlos Alberola López
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D
[email protected], [email protected],
http://www.lpi.tel.uva.es/sar
Concepto de VA unidimensional
•^
Supóngase que se envía una señal pulsada dedos posibles valores (
voltios) y se mide la
tensión recibida cada cierto tiempo.
-^
Si la señal es como la de la figura adjunta,nuestras lectura serán números que respondena fenómenos aleatorios, de forma que lo normales que no coincidan con los valores que cabríaesperar.
-^
Tales números constituyen los valores quepuede tomar la variable aleatoria
tensión
observada
•^
Las conclusiones a las que podremos llegar enrelación con tales variables serán sóloprobabilísticas.
Concepto de VA unidimensional
•^
Distinguiremos tres tipos de VAs1. Discretas: los valores que toman se pueden
indexar mediante un índice entero.
- Continuas: los valores que toman pertenecen a un
rango continuo.
- Mixtas: se mezclan ambas tipos de
comportamiento.
Caracterización de VA unidimensional
•^
La caracterización de una VA consiste en lainformación necesaria para poder hacer cálculosprobabilísticos sobre los valores de la misma.
-^
La caracterización de una VA es pues el enunciado dela ley de asignación de probabilidades a los valores dela misma.
-^
Esta caracterización se puede realizar de formaunificada para todo tipo de variables.
-^
No obstante es mucho más sencillo considerar casosseparados según el tipo de VA.
•^
Caso de VAs continuas: Función de distribución. Sedefine de la forma un ejemplo de la cual sería
Caracterización de VA unidimensional
•^
Comportamiento por la izquierda:
-^
Comportamiento por la derecha
-^
Función acotada
-^
Función no decreciente:Por este motivo a esta función se le denomina tambiénfunción de probabilidad acumulada (o cdf de cumulative distribution function
Función de distribución. Propiedades
pues si^
ya que
•^
Finalmente, podemos escribir:
-^
Lo cual lleva a
Función de distribución
a^
b^
c
pa
pb
pc
b
a^
p
p^
c
b
a^
p
p
p^
(^
) x
F X
x
Función de distribución: variables discretas•
Suponer
X
variable
discreta que puedetomar los valores a, b y ccon probabilidadesrespectivas p
, pa
y pb
.c
•^
Calculamos su funciónde distribución dandorespuesta a laprobabilidad
(^
) x
P
x
F
=^
X
X
•^
Este tipo de variables presentan comportamientoscontinuos y discretos.
-^
Este hecho debe reflejarse en la función dedistribución, la cual debe una cantidad numerable dediscontinuidades finitas. Por ejemplo:
Función de distribución: variables mixtas
Función de distribución: discontinuidades
a^
b^
c
pa
pb
pc
b
a^
p
p^
c
b
a^
p
p
p^
(^
) x
F X
x
•^
Valor que toma lafunción en unpunto: valor quetoma a suinmediatamente asu derecha
Función de distribución: discontinuidades
a^
b^
c
pa
pb
pc
b
a^
p
p^
c
b
a^
p
p
p^
(^
) x
F X
x
•^
Probabilidadasociada a un valorconcreto:•
Zona continua:prob. nula deesos valores.
-^
Probabilidad enpuntos dediscontinuidad:altura dediscontinuidad
Función de distribución: VA continua
(^
) x
F X
x
•^
Probabilidadasociada a un valorconcreto:•
En una VAcontinua todossus valorestienenprobabilidadnula.
-^
Sólo tienesentido hablarpues deintervalos devalores de lavariable.
Función de densidad de probabilidad
•^
Esta función debe cumplir varias propiedades:•
Ser no negativa pues
-^
El área bajo ella deber ser unitaria pues
-^
La probabilidad en un intervalo es sencilla decalcular:
dx
x
f
x
dF
x
x
∫^
∞−
∞−
=^
(^
X
X^
dx
x
f
x
dF
x x
x x^
∫^
=^
(^21)
(^21)
(^
X
X
(^
1
1
2
(^
x x P x F x F
−^
X
X
X^
dx
x
f
x ∫ x
=^
(^21)
( X
Función de densidad de probabilidad
•^
¿Por qué motivo recibe este nombre?:•
Podemos escribir
-^
Y dado que la derivada es el límite de un cocienteincremental
-^
Por ello, esta función es el cociente entre laprobabilidad de un intervalo y su longitud, cuandoésta tiende a cero. Es pues, dimensionalmente, una densidad
de probabilidad (prob/longitud)