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TEMA 6: VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENCIONAL
1.VARIABLE ALEATORIA
Concepto: Los fenómenos aleatorios pueden ser de naturaleza muy diversa, por lo que no siempre es sencillo manipularlos y expresarlos con herramientas matemáticas. Las variables aleatorias son funciones que transforman los resultados de cualquier experimento en números reales haciéndolos fácilmente manipulables mediante operaciones matemáticas. Estas transformaciones deben cumplir ciertas propiedades para que las probabilidades relativas al fenómeno aleatorio original se puedan trasladar a probabilidades en la recta de números reales. Matemáticamente se puede expresar como una aplicación tal que, para cada , se cumple: donde: donde . Sea un espacio probabilístico, una variable aleatoria es una aplicación definida sobre el espacio muestral que toma valores en el cuerpo de los números reales. Probabilidad inducida La probabilidad P definida sobre el espacio probabilístico (Ω, A) seΩ, A) se puede trasladar a la recta real (Ω, A) sedonde se define un σ álgebra denominada de Borel). La probabilidad inducida se denotará por Pξ y se define mediante: donde A es cualquier conjunto de R y así se verifica: Ejemplo
Tome el lanzamiento de una moneda durante 3 repeticiones con la alternativa de obtener cara (Ω, A) sec) o cruz (Ω, A) se+) y construya su posible variable aleatoria. Solución: Una manera sencilla de definir la variable aleatoria consistiría en asignar un valor numérico a cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral. Ejemplo Estipule el resultado para las siguientes condiciones: Solución: De esta forma se puede comprobar que, por ejemplo:
- FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Definición: Sea (Ω, A) seΩ, A, P ) un espacio probabilístico, ξ una variable aleatoria, se denomina función de distribución a la función F : R → R definida por: La función de distribución representa la probabilidad acumulada hasta el valor x, es decir, probabilidad de que el resultado sea menor o igual que dicho valor. Sea(Ω, A) seΩ,A,P)un espacio probabilístico, ξ una variable aleatoria y F su función de distribución asociada, se verifican las siguientes propiedades: Propiedades
Ejercicio Calcular la función de cuantía f(Ω, A) sex) de la siguiente función de distribución F(Ω, A) sex): Solución: f(Ω, A) sex = 0) = 0, f(Ω, A) sex = 1) = 0, f(Ω, A) sex = 2) = 0, Ejercicio Calcular la función de distribución F(Ω, A) sex) de la siguiente función de cuantía f(Ω, A) sex): Solución: F(Ω, A) se0)=P[X =0]=1/ F(Ω, A) se1)=P[X =0]+P[X =1]=3/ F(Ω, A) se2)=P[X =0]+P[X =1]+P[X =2]= Variable Aleatoria Continua Definición: Sea (Ω, A) seΩ, A, P ) un espacio probabilístico, ξ una variable aleatoria, y F su función de distribución asociada, se dice que ξ es una variable aleatoria continua si su función de distribución asociada F es continua, es decir, además de la continuidad por la derecha que ya tenía, también lo es por la izquierda. NOTA: Se deduce así que si F es continua, la probabilidad en un punto cualquiera es nula. Representación
Función de densidad Definición: Sea (Ω, A) seΩ, A, P ) un espacio probabilístico, ξ una variable aleatoria continua y F su función de distribución asociada, se define la función de densidad como una función real no negativa f : R → R tal que verifica F′(Ω, A) sex) = f(Ω, A) sex); ∀x ∈ R. Función de Densidad Vs Distribución Ejercicio Calcular la función de densidad f(Ω, A) sex) de una variable aleatoria continua tiene por función de distribución F(Ω, A) seX): 0 para x < 1 x − 1 para 1 ≤ x < 2 1 para x ≥ 2 Solución:
Ejercicio Partiendo de la siguiente función de distribución F(Ω, A) sex), calcular la función de densidad y la P(Ω, A) se0,5 ≤ x ≤ 0,7): 0 para x < 0 X^2 para0≤x≤ 1 para x ≥ 1 Solución:
- MEDIDAS DE POSICIÓN Esperanza I Definición: Sea (Ω, A) seΩ, A, P ) un espacio probabilístico, ξ una variable aleatoria continua y F su función de distribución asociada, se define la esperanza como el promedio de los posibles valores de la variable aleatoria ξ ponderados por su probabilidad, se designa: (Ω, A) seintegral de Lebesgue). NOTA: La esperanza no siempre existe ya que tanto el sumatorio como la integral de Riemann pueden no converger, para su existencia deben ser absolutamente convergentes es decir: Ejercicio Tomando una variable aleatoria discreta tal que su función de masa es:
Calcular la esperanza de dicha variable aleatoria. Solución: Ejercicio Tomando una variable aleatoria continua tal que su función de densidad es: Calcular la esperanza de dicha variable aleatoria. Solución: Propiedades Cuantiles Definición: Sea (Ω, A) seΩ, A, P ) un espacio probabilístico, ξ una variable aleatoria y F su función de distribución asociada, se define el cuantil de orden p como el valor x de la variable aleatoria ξ tal que se verifican simultáneamente las condiciones P(Ω, A) seξ ≤ x) ≥ p y P(Ω, A) seξ ≥ x) ≥ 1 − p con 0 < p < 1 Tipos: Pudiendo así hablar de cuartiles, deciles y percentiles donde el valor p es: Ejercicio
Propiedades: Ejercicio Tomando una variable aleatoria discreta tal que su función de masa es: Calcular la varianza de dicha variable aleatoria. Solución: Funcion de densidad: Desviación Típica Definición: Sea (Ω, A) seΩ, A, P ) un espacio probabilístico, ξ una variable aleatoria y F su función de distribución asociada, se define la desviación típica como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Ejercicio: Tomando una variable aleatoria discreta tal que su función de masa es: Calcular la desviación típica de dicha variable aleatoria. Solución: Ejercicio: Tomando una variable aleatoria continua tal que su función de densidad es: Calcular la desviación típica de dicha variable aleatoria. Solución:
- MOMENTOS Respecto al origen Sea (Ω, A) seΩ, A, P ) un espacio probabilístico, ξ una variable aleatoria y F su función de distribución asociada, se define el momento de orden r con respecto al origen como: Tipos: NOTA: Los momentos respecto al origen no siempre existe ya que tanto el sumatorio como la integral de Riemann pueden no converger, para su existencia deben ser absolutamente convergentes es decir: Respecto a la esperanza
Desigualdad de Tchebycheff Para una variable aleatoria ξ y una constante k > 0, la probabilidad de que los valores de la variable aleatoria difieran en más en k desviaciones típicas de su media es, como mucho, de. Tambie ́ n puede ser enunciado de la siguiente manera: Para una variable aleatoria ξ y una constante k > 1 la probabilidad de que los valores de la variable aleatoria difieran en menos de en k desviaciones típicas de su media es, al menos,. Este teorema nos permite acotar la probabilidad de que la variable aleatoria ξ tome valores en un intervalo en torno a la media, cuando tan solo conocemos su media y varianza (Ω, A) sedesconocemos su distribución de probabilidad)
Ejercicio: Sabemos de una distribución que su media es 8 y su varianza 4. Calcular la probabilidad que al menos esta ́ contenida entre P (Ω, A) se−4 < x < 20) Solución:
