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Matemáticas II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 263
P ara practicar
Definición de derivada
1 Halla con calculadora el cociente incremental
D f h
para x 0 = 2 y h = 0,1 de:
a) f ( x ) = x b) f ( x ) = x^2 – 5 x + 1 c) f ( x ) = x
Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa 2.
a)
D f h
f f 0 1
f ' ( x ) = 8 ' ( ) , x
f 2
b)
D f h
f f 0 1
2
f ' ( x ) = 2 x – 5 → f ' (2) = 2 · 2 – 5 = –
c)
D f h
f f , (^) , 0 1
f ' ( x ) = 8 ' ( ) , x
(^1) f 2 2
2 =^2 =
2 Halla con calculadora el cociente incremental
D f h
para x 0 = π/3 y h = 0,01 de:
a) f ( x ) = sen x
b) f ( x ) = cos x
c) f ( x ) = tg x
Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa π /3.
a)
D f h
f + 0 0 , 1 – f sen +0 0, 1 – sen
, ,
π π π π
c m c m c m
f ' ( x ) = cos x → f ' π^ cos π , 3 3 c m=^ =0 5
b)
D f h
f + 0 01 , – f cos +0 01, – cos
, ,
π π π π 3 3 0 01 0 01
c m c m c m
f ' ( x ) = – sen x → f ' π^ sen π , 3 3 c m=^ –^ =–^0
c)
D f h
f + 0 01 , – f +0 01, –
, ,
π π π π tg tg
0 0 1
c m c m c m
f ' ( x ) = 8 ' π , cos x π
(^1) f 3 3
2 =^2 =
cos
c m
Matemáticas II
3 Sabemos que
l m
f x f x h
h – í 8 0
0 0 h
= f ' ( x 0 ).
A partir de esta expresión, justifica la validez de esta otra:
( ) ( ) l m x x
f x f x
-
x 8^ í x 0
0 0
= f ' ( x 0 )
Si expresamos la diferencia entre x y x 0 usando la letra h, es decir, h = x – x 0 , obtenemos que x = x 0 + h. Además, cuando x → x 0 , la diferencia x – x 0 → 0, es decir, h → 0. Sustituyendo:
( ) ( ) ( ) ( ) l mí ' ( ) x x
f x f x l m
f x f x f x
h
h – í x 8 x (^) 0 h 8
0 0 0 0 =^00
4 Escribe la expresión de los siguientes límites (se supone que las funciones que intervienen son derivables):
a)
l m x a
g x g a
-
í x 8 a b) l mí h 8 0
f ( ) f ( ) 0 h
h –
c) l mí x 8 0
f ( ) f ( ) x
2 + x – 2 d) l mí x 8 0
x
f 5 – f 5 + x
a)
l m í x a
g x g a
x 8 a =^ g^ '^ ( a )
b) l mí h 8 0
f ( ) f ( ) 0 h
h – = f ' (0)
c) l mí x 80
f ( ) f( ) x
2 + x – 2 = ϕ'(2)
d) l mí x 80
x
f 5 – f 5 + x = l mí x 80
x
f 5 x f 5
e o (^) = – f ' (5)
5 El límite l mí h 8 0
sen ( π ) sen π h
+ h – es la derivada de la función seno en el punto de abscisa π , es
decir, sen' ( π ). Por tanto, el límite es:
sen' ( π ) = cos ( π ) = –
Calcula análogamente, es decir, a partir de las reglas de derivación que ya conoces, los siguientes límites:
a) l mí h 8 0
h
+ h – b) l mí h 8 0
e e h
2 +h– 2
c) l mí x 8 3
x
x x 3
d) l mí x 8 4 x
x 4
a) l mí h 8 0
h
=^1
b) l mí h 8 0
e e h
2 + h – (^2) = e 2
c) l mí x 83
x
x x 3
d) l mí x 84 x
x 4
Matemáticas II
11 a) y = e e
e e x (^) – x
x x
-
b) y = sen x cos x
a) y' = ( )
e e ( ) ( )
e e e e e e
e e e e e
x x
x x x x x x
x x x x 2 x x
2 2 2
2 2 2 2
= +^ =
b) y' = cos x · cos x + ( – sen x ) · sen x = cos^2 x – sen^2 x = cos 2 x
12 a) y = sen x
(^1) b) y = ln ( x (^2) + 1)
a) y' = cos sen x
x 1
13 a) y = arc tg x 3
b) y = cos^2 (2 x – π )
a) y' = ( / ) ( / )
1 x 3 x x
·^3
+ 2 =^ + 2 =^ +^2
b) y' = 2 cos ( 2 x – π) · ( – sen ( 2 x – π)) · 2 = – 4 cos ( 2 x – π) · sen ( 2 x – π) =– 2 cos ( 4 x – 4 π)
14 a) y = sen^2 x b) y = tg x
a) y' = 2 sen x · cosx = sen 2 x b) y' = · ( ) tg x
tg x tg x
tg x 2
15 a) y = sen x^2 b) y = arc tg ( x^2 + 1)
a) y' = cos x^2 · 2 x = 2 x cosx^2 b) y' = ( )
x
x x x
x 1 1
+ 2 + 2 =^4 + 2 +
16 a) y = ( 2 x – 3 )^7 b) y = log (^) 2 x
a) y' = ( x ) · · ( ) x x
7 2 3 2 x 2
- 6 1 = 7 2 – 36 b) y' = · · x ln^ x xln
=^1
17 a) y = sen^2 x^2 b) y = arc tg x
a) y' = 2 sen x^2 · cos x^2 · 2 x = 4 x · sen x^2 · cosx^2 = 2 x · sen ( 2 x^2 )
b) y' = ( / ) ( / )
x x x x
x 1 1
· – –^1 –^1
2 2 2 2
2
e o
18 a) y = cos^5 (7 x^2 ) b) y = 3 x^ + 1
a) y' = 5 cos^4 ( 7 x^2 ) · (^ – sen ( 7 x^2 )) ·^14 x =– 70 x cos^4 ( 7 x^2 )^ sen ( 7 x^2 ) b) y' = 3 x^ ln 3
19 a) y = 3 ( 5 x – 3 )^2 b) y = arc sen x 3
2
a) y' = ( x ) · (^3) x
1 3/ 3
1 –
x
x x
x
x
x
2 2 – 4 –^4
e o
20 a) y = ln (2 x – 1) b) y = tg x 2
2
a) y' = 2 x 1
b) y' = 1 tg x^ x^ x x tg · x 2 2
2 2 2 e (^) + o = +
Matemáticas II
21 a) y = ln ( x^2 – 1) b) y = arc cos 2 x
a) y' = x
x 1
b) y' = (
1 2 x ) x^ x^ · x x x
–^1
22 a) y = ln 1 – x b) y = ( arc tg x ) 2
a) y = ln 1 x ln ( 1 x ) ln ( x ) 2
- = – 1 2/ = 1 1 – b) y' = ( arc tg x ) · x x
arc tg x 2 1
+ 2 =^ +^2
y' = · 2 ( x ) x
23 a) y = log 3 (7 x + 2) b) y = ln tg x
c^3 m
a) y' = · ln 3 ( x ) ( x ) ln
b) y' = / (^) ( / )
tg x
tg x (^) x x tg x
tg x 3
2
d n (^) e o
24 a) y = e^4 x^ b) y = ln ln x
c^1 m
a) y' = 4 e^4 x^ b) y' = ln ( / ) x /^ x^ x x ln ( / ) x
· · (^) e – (^2) o=–
25 a) y = 2 x^ b) y = arc sen x
x 1
c + m
a) y' = 2 x^ · ln 2
b) y' = · ( )
x
x x
x x
x
x x x 1 1
2 2 2 2 2
d n
( x ) ( x ) ( ) (^ )
x 1 1 x x x x x x^ x
26 a) y = 5 tg^3 (3 x^2 + 1) b) y = x + x
a) y' = 15 tg^2 ( 3 x + 1 ) ·[ 1 + tg^2 ( 3 x^2 + 1 )]· 6 x = 90 x tg [^2 ( 3 x^2 + 1 ) + tg^4 ( 3 x 2 + 1 )]
b) y' = x x x^ x x x
x x x x
x 2
e o
27 a) y = tg x^2 b) y = x
x 2
3 –^2
a) y' = ( ) ·
tg x
tg x x tg x
x tg x 2
2
2 2 2
2 2
b) y' = · ( )
x ( )
x x
x x
x
(^3) x x
– –^ – 4
2 3/ (^2 ) 3
2
d = d
n n
( ) (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )
x x
x x^ x^ x^ x 3 2 2
– ·^ –^ –
/
/ 2 2 3
3 2 4 3^3 234
3 ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 )
