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74 FUNCION LOGAR!TMICA 331 7.4 FUNCION LOGARITMICA Definición Llamaremos función logarítmica a la expresión de la forma f(x) = log, x, donde 4a>0, ax1 yen donde e es la base y x, cualquier número rea! positivo. Como x es cualquier número real positivo (ya que el logaritmo de números no positivos no existe) tenemos que el dominio para la función logarítmica elemental es ]0,+w[ En este momento que hemos definido todas las funciones estudiadas en este material, es oportuno hacer mención de algunos elementos que anteriormente no nos era posible, ya que se necesitaba conocimientos previos En algunos textos encontraremos las palabras; algebraico y trascendente que sobre ellas hablaremos tratando de diferenciarlas, En aritmética se había de los húmeros reales algebraicos y trascendentes, de igual manera en el álgebra, tanto de expresiones como de ecuaciones y de funciones algebraicas y trascendentes, Las siguientes definiciones nos ayudarán al respecto. Definición Un número complejo es algebraico si satisface una ecuación de ta forma a,x” + pax a 7d ax + 5 0, dONde 4, M4, 2,2, ==", to SON NÚMETOS enteros Los números algebraicos están definidos en los complejos. Definición Si un número no es algebraico, es llamado trascendente. Recordaremos además que una expresión es algebralca si se puede expresar en términos de un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces conteniendo x”. Como una ecuación es una igualdad, entonces astas expresiones algebraicas al compararlas con cero nos conduce a tener una ecuación algebraica, De igual manera entonces, una función es algebraica, si se puede expresar en términos de un número finita de sumas, diferencias, productos, cocientes y raices conteniendo x”. Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes. El cuadro 1 y cuadro 2 nos presenta algunos ejemplos sobre números, expresiones, ecuaciones y funciones algebraicas y trascendentes respectivamente. números expresiones , ecuaciones funciones AE A TOA Marta ata A ap Dep TR e ap 00 con a, reales y neN con a, reales y neN (ecuación | a reales y meN (función polinomial) polinomial) 2) Py a 20) eo ino mi pin 70 0 ple) Y el) polinomios | f(x) = Py q) polinomios, con g(x) + 0 qa? qa AY a con g(x) + 0 (ecuación racional) polinomios con q(x) +0 (función la(x) con a(x) expresión racional) A Yao =0,a(9, E algebraica algebraica r= NETO (ecuación con radical) a (0. Expresión algebraica 0.£)+0 (función con radical) alx)+ Bl)0 eco a+ Bue) £ (expresión algebraica | f(x)= a(x)+- .Bhgeo (ecuación con radical) Lao B(x) Expresión algebraica cuadro 1 331 CAPITULO VII EXPONENTES Y LOGARITMOS 332 números presionas ecuaciones funciones F0d = Log x, con x» 0 1 Log sx Log s x= 4 (ecuación logarítmica) (función togarima) e Ml , 5* 5*=3* (ecuación exponencial) — | 7()=3% (función exponencial) n Cscx Sen x = 3 fecuaciones | f(x) =cosx Logs 4 trigonométnicas) (funciones Ingenométricas) Cos”'x entra otros Tan" x= 45 (ecuaciones | (a) = | (función valor absoluto) trigonométricas inversas) entra otras - f0)=cot xr tfunciones entre otras trigonometricas nversas) entre otras cuadro 2 Retomando la gráfica de la función exponencial elemental y luego intercambiando las componentes de la misma tenemos Una nueva función. Observemos y comparemos. 1 16) = logo x 1 Ll, “2 ao A AA x Esta función encontrada es la función logarítmica, que es la inversa de la función exponencial De igual manera podemos decir que la inversa de la función logarítmica es la exponencial. Si retomamos la ecuación de la función exponencial elemental tenemos f (x) = y = 2*, si a ésta le aplicamos la equivalencia llegamos a que x= logz y Note que hemos despejado para x« que es el procedimiento algebraico que seguimos para calcular ta inversa de Una función Si ahora intercambiamos las variables obtenemos y = f(x) = log? * Comparando las gráficas Función exponencial; f(x)=4% Función logaritmica; f(x) =l0g, x Siempre tiene l, Siempre tiene L, Dominio def = X Dominio de y =] 0, +<[ Existe A H y=0 Existe A Y x=0 Cóncava hacia amba Céóncava hacia abajo Rango de £ =]0,+w| Rango de $ =R f crece f crece 332 334 CAPITULO VHl EXPONENTES Y LOGARITMOS Ejemplo 1 Graficar cada función indicando dominio, |, |,, asíntota, si crece o decrece y rango 2)f 0) = -2 lOgure (x + 3)-1 b)f 69 = loga (3 - 2x) + 1 Of =-21n (3-0 +1 solución a) f(x) =-2 logia (x + 3) - 1 La función logarítmica está definida si el argumento es positivo, luegox+3>0 6 x >-3 Entonces dominio de f = ]..3,+w[ Existe asíntota vertical, que es la recta x= -3; podernos comprobarlo observando que f(x) +-« cuando xo -3*, L (o a - :): ya que al hacer x = 0, tenemos que y = -2 logyy2 (3) — 1 que cambiando de base para aproximar con la calculadora llegamos al valor descrito .( la ecuación —2 logia (x + 3) — 1 = 0, tenemos: logwz (e + 3) =-2 6 en forma equivalente 3+42, o) ya que haciendo y = 0 y resolviendo y + S)= 2 loque (x+3) 1 a x+3= (+) ? que despejando para x tenemos x=-3+ Y2 4 Si no es suficiente graficar con los interceptos, debemos calcular algunas preimágenes, dado que el rango es el conjunto de los reales y no tendremos problemas de encontrarnos con expresiones no definidas. q PO SS $. " ' e Calculando preimágenes asignándole valores a y Si y = -1, planteamos la ecuación —2 logs (x + 3) - 1 retornando la función y asignándole el valor de 1 a y logus2 (e + 3) =0 despejando para el término logarítmico +3 = (4) — apticandola equivalencia lag, x= 51 y sólo st x= 0* x+3=1 simplificando x=-2 despejando pera x y formamos el punto (-2, -1) 334 73 FUNCION LOGARITMICA 335 Si y= 1, planteamos la ecuación —2 logre (1 + 3) 1 logia (x + 3) retomando la función y asignándole el valor de 1a y. despejando para el término logarltmico -1 x+3= 6) aplicando la equivalencia log, *=y si y sólo sl x= 0" x+3=2 x=-4 simplificando despejando para x y formamos el punto (4, 1) En estas funciones también se pueden calcular imágenes, bajo el entendido que debemos asegurarnos que el valor que le asignamos a x, debe estar en el dominio de la misma, Calculando algunas imágenes S(1) = 2 logia (-1+ 3) — 1 =-2 logs 2 — 1 = 10912 221 = login (4)* —1 = 2-1 =1 F (2) = —2 logra (2 + 3)— 4 = -2 09 5 — 1 sustituyendo » por —1; elemento del dominio simplificando aplicando propiedades de los logantmos; logantmo de una potencia aplicando propiedades de potencias aplicando propiedades de los logartmos; log, 1 =»" simplificando; note que el resultado coincide cuando calculamos la prelmágen de —1 sustituyendo x por 2 simplificando cambiando de base; podrá notar lo incomodo que puede resultar al encontrar la imagen de algún alemento de! dominio f Crece en todo su dominio Rango de f=R b) /(x) = logo (3 2x) +1 La función logarítmica está definida si el argumento es positivo; luego 3—2x>0 Ú x< 3. Entonces dominio de f = ]-0,3| . Existe asintota vertical, cuando x-+ $”. que es la recta x ; podemos comprobarlo observando que f(x) =-w 335 73 FUNCION LOGARITMICA 337 O) fl) =-2 In (3-x) +1 La función logarítmica está definida si el argumento es positivo; luego 3—x>0 Ó x< 3 Entonces dominio de f = ]-:0, 3[ Existe asíntota vertical, que es la recta x= 3 y 1,(0, 1-2 In 3), ya que al hacer x= 0, tenemos que y = —2 In 3 + 1 Be” 0) ya que haciendo y=0 y resolviendo la ecuación —2 In (3-x)+%1= 0, tenemos: InfB=x2)= + á en forma equivalente 3-—x= e? que despejando para x tenemos A f9=-2I(3-x%+1 14 x=3-e $ crece en todo su dominio Rango de f=R En secciones anteriores hemos aprendido como encontrar en forma algebraica la inversa de algunas funciones, ahora veremos como calcularía tanto a las funciones exponenciales como a las logaritmicas. Recordando como resolver tanto una ecuación exponencial como una logarítmica (despejando para la variable x) encontramos la inversa de cualquiera de ellas. Nos daremos cuenta que la inversa de una función exponencial es una logarítmica y viceversa. Ejemplo 2 Encontrar la inversa de cada función . 243 a) f09= eii 1 0. (ps 2 C)f(x) = 2 logs (x- 1) +4 970) ==4 (2 3x)+1 solución a fu=ei: función dada pea intercambiando f(x) por y pri=er? despejando para el término exponencial; note que tenemos una ecuación exponencial In(p+1)= Ine"? base e ng +0=(+3) Ine In +1)=x+3 hnGy+1-3 =x aplicando propiedades de los logaritmos aplicando propiedades de los logaritmos; In e= 1 despejando para x Mu =n(r+1)-3 intercambiando las variables y aplicando simetria 337 o ” 1) aplicando In en ambos lados de la igualdad; dado que ia potencia tene 338 SAPITULO VII Comprobaremos si(fof Ha) =x y (f 4) = x para asegurarnos que una es la inversa de la otra Comprobando si (ff ')ix) O =f (In (x + 1) -3) a gra y =D =x+1-1 =x Comprobando si (ff )(x)= O O= O) et) =in(e"**-1+1)-3 =In(e""*) - 3 = (x+ 3) Ine —- 3 =1+3 -3 =x por definicion sustituyendo f”(x) por In (v + 1)-3 sustituyendo x por In (++ 1-3 en f simplificando en el exponente Y aplicando propiedad de los logaritmos e" =x simplificando por definición sustituyendo f(x) por e**? -1 sustituyendo x pore **%-1enf simplificando aplicando propiedad de los logaritmos Ine" =x Ine=x simplificando In e =1 simplificando Como(f.f YU =x y (4 7ef)x) = x concluimos que una es la inversa de la otra go -)-2 2x3 1091 (1) =1oqu (y 2 (2x + 3) logo $ =logws (y —2) —2x + 3 = logra (y — 2) —2x = logia [y -2)-3 función dada intercambiando f(x) por, despejando para el término exponencial aplicando logs en ambos lados de la igualdad; dado que la potencia tiene base $ aplicando propiedades de los logaritmos aplicando propiedades de los logaritmos; logua += transponiendo término 338 EXPONENTES Y LOGARITMOS 340 CAPITULO Vil EXPONENTES Y LOGARITMOS Ejercicios 7.4 1) Grafique cada función encontrando asintota, intercepto con los ejes Determine domunio, rango e indique si la función crece o decrece a) flo = toga («+ 2) D).£(x) = logue (2x +1) 3 fx) =-2 log (2x3) +4 d) fíx) = logwe (2- 3) — 2 e) /0) = 2 + logs (4x- 5) fx) = log ara (3x— 2) + 1 9) fx) = —2 logs (Sx + 6) 2 f(x) = logz (3 —Bx) -2 07009 = in (xr 4) +2 Df09= -1+ Zin (3x2) 190) =2 + In(1-3xP 2) Determine algebraicamente la inversa de cada función 2 4 2x-1 as 2 1/0) = 97 as ($) 0 eta 0/0)= ata DÍ = 4-2? x-1 5-2 A AE 8) (Go = 3% 2 mf) = gp mf = +2 9) fl =1ogu (x+ 2) DI 0) =-2 log (2x3) +4 0) = l09u (2 -3x) - 2 DA) = log 1s (3x2) + 1 104() = — 2 logs (5x + 6) — w0.f0) = Ein er 4) +2 3L09 = 1+ 2 In (3x2) 340 0. e mf) = 37 DA 377 +2 P) fe) = log (2x +1) 8) f(x) = 2 + l09 an (4x— 5) v) f(x) = log (3 - 5x)- YS09=2+ In(1-3x 
