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FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Suponga una población cuyo modelo de crecimiento está dado por 𝑃(𝑡) = 4𝑒0,02𝑡^ millones a partir del año 2000. Si quisiéramos saber cuándo la población tendrá 5 millones de habitantes, debemos plantear la ecuación
5 = 4𝑒0,02𝑡
Y obtener el valor de t que satisface esta ecuación. Para resolverla debemos usar el proceso inverso de la exponencial el cual es el logaritmo.
La función logarítmica en base a es la función inversa de la función exponencial en base a. Es claro, viendo la gráfica de la función exponencial, observamos que tiene inversa. Esta función inversa tiene una notación propia: 𝑙𝑜𝑔𝑎. Los valores de esta función vienen dados por log𝑎 𝑥.
Definición.- Sea a>0, a ≠ 1. El logaritmo de x con base a se define como
log𝑎 𝑥 = 𝑦 Si y solo si 𝑥 = 𝑎𝑦
log𝑎 𝑥 = 𝑦 se lee : ‘’logaritmo de x en base a es igual a y’’
Observaciones:
1.- Conviene recordar siempre al log𝑎 𝑥 como el exponente al que hay que elevar la base para que se produzca el número x. Por ejemplo, 32 = 9 entonces 2 es el logaritmo de 9 en base 3:
log 3 9 = 2.
2.-Los logaritmos en base 10 son conocidos como logaritmos decimales, En este caso se suprime el subíndice en la notación, esto es: log 10 𝑥 = log 𝑥 En el caso que la base sea el número e, el logaritmo se escribe como ln 𝑥 para representar el logaritmo en base e de x y se le llama logaritmo natural de x o logaritmo neperiano de x.
3.- El logaritmo sólo está definido para los números estrictamente positivos. El dominio de la función logarítmica log𝑎 𝑥 = 𝑦 es el conjunto (0, ∞). Recuerde que el rango de la función exponencial es (0, ∞).
4.- log𝑎 𝑥 = 𝑦 es conocida como la forma logarítmica y 𝑎𝑦^ = 𝑥 la forma exponencial. En ocasiones es útil pasar de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.
Ejemplo 1.- Convertir las siguientes formas exponenciales en logarítmicas:
a) 25 = 32 ; b) 103 = 1000 ; c) 𝑒^0 = 1
Solución:
Nota: Hay que tener siempre en mente que el logaritmo es el exponente.
a) El exponente es 5, por tanto es el logaritmo, así: log 2 32 = 5
b) En este caso 3 es el exponente, por tanto el logaritmo, así: log 1000 = 3 En este caso la base se suprime por ser decimal.
c) 0 es el exponente y la base es e, por tanto usamos la notación ln para representar el logaritmo en base e: ln 1 = 0
Ejemplo 2.- Convertir las siguientes formas logarítmicas en exponenciales
a) log 16 4 = 12 ; b) log 313 = −1 ; c) log 0,001 = −
Solución: Las respuestas están dadas en la siguiente tabla.
Forma logarítmica Forma exponencial
log 16 4 =
1 (^2) = 4
log 3
= − 1 3 −^1 =
log 0 , 001 = − 3 10 −^3 = 0 , 001
c) log√2 𝑡 = 3
Solución:
Si lo escribimos en forma exponencial queda:
(√2)
3 = 𝑥
Operando la raíz se tiene:
𝑥 = √2^3 = √2^2. 2 = 2√
d) log 5 0,04 = 𝑛
Solución:
5 𝑛^ = 0,04 Escribir en forma exponencial
5 𝑛^ = 1004 escribiendo 0,04 en forma de fracción
5 𝑛^ = 251 simplificando
5 𝑛^ = 512 escribiendo 25 en forma de potencia
5 𝑛^ = 5−2^ porque 1 52 es igual a^5
−
𝑛 = −2 por igualdad de potencias de la misma base
Ejemplo 4.- Sabiendo que log√ 3 𝑘 = 2 encontrar el valor de N en log 3 𝑘 = 𝑁
Solución: De la primera expresión debemos encontrar el valor de k , para lo cual la debemos escribir en forma exponencial quedándonos:
2 = 𝑘 donde 𝑘 = 3
Sustituimos luego el valor de 𝑘 = 3 en la expresión log 3 𝑘 = 𝑁 , quedándonos que:
log 3 3 = 𝑁
3 𝑁^ = 3 Escribir en forma exponencial
𝑁 = 1 Por igualdad de potencias de la misma base
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA:
La gráfica de la función logarítmica la analizaremos para a>1 y para 0<a<
Primer caso para a>
Sea la función logarítmica expresada asi 𝑦 = log 2 𝑥.
Para graficar esta función bastara con determinar y graficar puntos (x,y).Sabemos que 𝑦 = log 2 𝑥 → 𝑥 = 2𝑦. Con 𝑥 = 2𝑦^ construimos una tabla de datos , dándole valores a y para obtener valores de x.
Tabla de 𝑦 = log 2 𝑥 o 𝑥 = 2𝑦
x 1/6 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Tabla de 𝑦 = log (^1) ⁄ 2 𝑥 o 𝑥 = (^12 )
𝑦
x 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/ y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
En la gráfica podemos ver una curva decreciente que pasa por los puntos (0,1) ; (2, -1)
Dom f = (0, +∞) Rgo f = (-∞ , +∞)
𝑦 = log (^1) ⁄ 2 𝑥
0<a<
ACTIVIDAD
- Escribir en forma logarítmica las siguientes expresiones: (3pts)
a) ℎ𝑘^ = 𝑝 b) 72 = 49 c) (^13 )
4 = 811 d) 107 = 10000000
e) (^13 )
−^1 ⁄ 2 = √
- Escribir cada expresión en forma exponencial: (3 pts)
a) log 3 81 = 4 b) log 4641 = −3 c) log√2 16 = 𝑥 d) log 𝑘 = 𝑞
- Escribir cada logaritmo en forma exponencial y determine la incógnita (4 pts)
a) log 2 8 = 𝑥 ; b) log 4 64 = 𝑥 ; c) log𝑎√3 3 = 12 ; d)log 27 𝑏 = − 13 ; e) log (^1) ⁄ 218 = 𝑡
f) log2√2 𝑦 = 2
- Gráfica la función logarítmica en cada caso (4pts)
a) 𝑦 = log 5 𝑥 b)𝑦 = log (^1) ⁄ 3 𝑥
si 𝑚 = log 3 √3 9 y log 4 𝑛 = − 12 evaluar m+n (4 pts)
Sin utilizar la calculadora y aplicando la definición de logaritmo calcula X+Y+Z, sabiendo que : log 10 = 𝑥 , log 0,1 = 𝑦 , log √0,01 = 𝑧 (4 pts)
Investiga que otro nombre se le da a los logaritmos decimales y a los logaritmos naturales y por qué efectúa la deducción matemática del numero e. (3 pts.).
Nota: para resolver los ejercicios es importante repasar las propiedades de la potencia y radicales.
-Por cada 2 errores se le restara 1 pts -Fecha de entrega: martes 12 de mayo
