Valor Absoluto y Funciones Reales, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Valor Absoluto y Funciones Reales y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

NOTAS DE

MATEM ´ATICAS PARA BIOLOG´IA

Facultad de Biolog´ıa

Universidad de Santiago de Compostela

Curso 2013-

Pr´ologo

Estas notas pretenden ser una gu´ıa de la materia:

MATEM ATICAS PARA BIOLOG´ ´IA

del primer curso del Grado en Biolog´ıa. En ellas se sintetizan las cuestiones te´oricas que abordare- mos a lo largo del cuatrimestre y sobre las cuales propondremos ejercicios en sucesivos boletines.

Se refieren a:

1. Funciones reales de una y varias variables reales: Generalidades, l´ımites y continuidad.
2. Derivada de una funci´on real de variable real. Interpretaci´on geom´etrica: recta tangente. Derivadas de orden superior.
3. Derivadas parciales de una funci´on real de dos variables reales.
4. C´alculo de primitivas de una funci´on real de variable real. Integraci´on de funciones racionales, cambio de variable e integraci´on por partes. La integral definida: Regla de Barrow.
5. Ecuaciones diferenciales: Definiciones y conceptos b´asicos. Problemas de valor inicial.
6. Integraci´on de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: Ecuaciones de variables separadas y ecuaciones lineales.
7. Aplicaciones: Ley de Malthus, ecuaci´on log´ıstica, ley de desintegraci´on radiactiva, ley de en- friamiento de Newton y ecuaci´on de von Bertalanffy.

Confiando en que os ayuden a prepararla,

Los profesores de la asignatura.

ii

q

sen q

cos q

tan q

x

y

(x,y)

x

y }

Figura 1.1: Razones trigonom´etricas en el c´ırculo unidad.

sen θ = y 1

= y, csc θ =

sen θ

y

cos θ =

x 1

= x, sec θ =

cos θ

x

tan θ =

sen θ cos θ

y x

, cot θ =

tan θ

x y

Se verifica la igualdad siguiente

sen^2 θ + cos^2 θ = 1. Los valores trigonom´etricos m´as comunes se recogen en la tabla 1.1; n´otese que la forma de construir la tabla hace m´as f´acil su reconstrucci´on en caso de olvido.

Tabla 1.1: Algunos valores trigonom´etricos Angulo´ θ 0 π 6

π 4

π 3

π 2 sen θ (^12)

cos θ (^12)

1.2. GENERALIDADES (UNA VARIABLE REAL)

Sean A y B dos subconjuntos de n´umeros reales.

DEFINICI ´ON: Una funci´on f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x del conjunto A un ´unico elemento y del conjunto B. El elemento y se denomina imagen de x mediante f , y se denota por f (x). El conjunto A se denomina dominio (o conjunto de definici´on, o conjunto de partida) de f y el conjunto B conjunto de llegada (o codominio) de f.

Para definir tal funci´on se suele emplear la notaci´on:

f : x ∈ A ⊂ R −→ f (x) ∈ B ⊂ R,

aunque es frecuente escribir simplemente y = f (x), denominando a x variable independiente y a y variable dependiente.

Puesto que tanto A como B son subconjuntos de R, dicha funci´on se denomina funci´on real de una variable real; habitualmente, el conjunto de definici´on A ser´a un intervalo y el conjunto de llegada B ser´a el conjunto de los n´umeros reales R.

DEFINICI ´ON: Dada una funci´on f de A en R se define la imagen o el conjunto imagen de f , que se denota por f (A) o Im(f ), como sigue:

f (A) = {f (x)/ x ∈ A} = {y ∈ R/ y = f (x) para alg´un x ∈ A} ⊂ R.

DEFINICI ´ON: Dada una funci´on f de A en R se define la gr´afica de f como el siguiente subconjunto de R^2 :

{(x, f (x))/ x ∈ A} = {(x, y) ∈ R^2 / x ∈ A, y = f (x)} ⊂ R^2.

1.2.1. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

Sea F = {f / f : A ⊂ R −→ R} el conjunto de todas las funciones reales de variable real definidas en un mismo subconjunto A. Sean f y g dos elementos de F y α un n´umero real. Se definen:

a) Suma de funciones:

f + g : x ∈ A ⊂ R −→ (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∈ R.

b) Producto de funciones:

f g : x ∈ A ⊂ R −→ (f g)(x) = f (x)g(x) ∈ R.

c) Producto de un escalar por una funci´on:

αf : x ∈ A ⊂ R −→ (αf )(x) = αf (x) ∈ R.

d) Inversa para el producto: Si f ∈ F es tal que f (x) ̸= 0, ∀x ∈ A, entonces existe la funci´on inversa de f para el producto, que se denota por

f

y se define como:

f

: x ∈ A ⊂ R −→

f

(x) =

f (x)

∈ R.

e) Composici´on de funciones: Si f : A ⊂ R −→ R y g : B ⊂ R −→ R son dos funciones de variable real tales que f (A) ⊂ B se define la composici´on de f y g, que se denota por g ◦ f , como la nueva funci´on:

g ◦ f : x ∈ A ⊂ R −→ (g ◦ f )(x) = g(f (x)) ∈ R.

f) Inversa para la composici´on: Si f : A ⊂ R −→ R es una funci´on inyectiva (tal que elementos distintos tienen im´agenes distintas) existe la funci´on inversa para la composici´on, que se denota por f −^1 , tiene como dominio f (A) y act´ua como sigue:

f −^1 : y ∈ f (A) ⊂ R −→ f −^1 (y) = x ∈ A/ f (x) = y.

Se deducen: (f −^1 ◦ f )(x) = f −^1 (f (x)) = x, ∀x ∈ A,

(f ◦ f −^1 )(y) = f (f −^1 (y)) = y, ∀y ∈ f (A).

Observaciones:

1.2.2. FUNCIONES EXPONENCIALES

A continuaci´on, se consideran unas funciones particularmente importantes en la Biolog´ıa.

DEFINICI ´ON: Dada a > 0, a ̸= 1, una funci´on f se denomina exponencial de base a si:

f (x) = ax,

siendo su dominio R.

PROPIEDADES:

1. ax^ > 0 , ∀x ∈ R.

2. a−x^ =

ax^

, ∀x ∈ R.

1. ax+y^ = axay^ , ∀x, y ∈ R.

2. (ax)y^ = axy^ , ∀x, y ∈ R.

3. La gr´afica de la funci´on exponencial de base a es la siguiente:

Figura 1.2: Funci´on exponencial.

1. Si a > 1, la funci´on exponencial de base a es una funci´on mon´otona estrictamente cre- ciente.

2. Si 0 < a < 1, la funci´on exponencial de base a es una funci´on mon´otona estrictamente decreciente.

3. Si b > 0, b ̸= 1, entonces: (ab)x^ = axbx, ∀x ∈ R. ( (^) a b

)x

ax bx^

, ∀x ∈ R.

1.2.3. FUNCIONES LOGAR´ITMICAS

Puesto que la funci´on exponencial de base a > 0, a ̸= 1, es inyectiva, tiene funci´on inversa que se analiza a continuaci´on.

DEFINICION: Dada a > 0 , a ̸= 1, se denomina funci´on logaritmo en base a, y se denota por loga, a la inversa de la funci´on f (x) = ax, siendo su dominio el intervalo (0, +∞). Entonces:

loga y = x ⇐⇒ ax^ = y.

El logaritmo m´as utilizado es el logaritmo neperiano o natural, cuya base es el n´umero e = 2, 718281... y se denota usualmente por ln en lugar de loge. Tambi´en tiene su relevancia el logaritmo decimal o com´un, que corresponde al logaritmo en base a = 10.

PROPIEDADES:

1. loga 1 = 0.

2. loga a = 1.

3. loga(xy) = loga x + loga y, ∀x, y ∈ (0, +∞).

4. loga

x y

= loga x − loga y, ∀x, y ∈ (0, +∞).

1. loga (xy^ ) = y loga x, ∀x ∈ (0, +∞) , ∀y ∈ R.

2. La gr´afica de la funci´on logaritmo en base a es la siguiente:

Figura 1.3: Funci´on logaritmo.

1. Si a > 1, la funci´on logaritmo en base a es una funci´on mon´otona estrictamente crecien- te.

2. Si 0 < a < 1, la funci´on logaritmo en base a es una funci´on mon´otona estrictamente decreciente.

Adem´as, la funci´on seno es una funci´on impar:

sen x = −sen(−x),

mientras que la funci´on coseno es una funci´on par:

cos x = cos(−x).

La figura 1.6 muestra la gr´afica de la funci´on tangente en el intervalo (− π 2 , π 2 ). N´otese que la funci´on tangente es peri´odica de periodo π e impar:

tan x = tan(x + π),

tan x = −tan(−x).

Figura 1.6: Funci´on tangente. Figura 1.7: Funci´on arco tangente.

1.2.6. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS INVERSAS

N´otese que la funci´on seno es inyectiva en el intervalo [− π 2 , π 2 ], por tanto, existe la inversa del seno, llamada arco seno definida en el intervalo [− 1 , 1], ver figura 1.8, como sigue:

y = arc sen x ⇔ x = sen y.

Figura 1.8: Funci´on arco seno. Figura 1.9: Funci´on arco coseno.

La funci´on coseno es inyectiva en el intervalo [0, π], por tanto, existe la inversa del coseno, llamada arco coseno definida en el intervalo [− 1 , 1], ver figura 1.9, como sigue:

y = arc cos x ⇔ x = cos y.

Por ´ultimo, para invertir la tangente se toma el intervalo abierto (− π 2 , π 2 ) y se define el arco tangente, ver figura 1.7, como sigue:

y = arc tan x ⇔ x = tan y.

1.2.7. FUNCIONES HIPERB ´OLICAS

Se definen a continuaci´on las funciones seno, coseno y tangente hiperb´olicas, definidas para todo x ∈ R, cuyas gr´aficas se presentan en la figura 1.10.

Seno hiperb´olico: Shx = e

x−e−x

Coseno hiperb´olico: Chx = e x+e−x

Tangente hiperb´olica: Thx = ChShxx = e

x−e−x ex+e−x^.

Se verifica la siguiente igualdad:

Ch^2 x − Sh^2 x = 1.

Figura 1.10: Funciones hiperb´olicas.

1.3. GENERALIDADES (DOS VARIABLES REALES)

Sea A un subconjunto de R^2.

DEFINICI ´ON: Una funci´on real de dos variables reales F de A en R es una regla que asigna a cada elemento (x, y) del conjunto A un ´unico elemento z de R. El conjunto A se denomina dominio (o conjunto de definici´on, o conjunto de partida) de F , y el conjunto:

F (A) = {F (x, y)/ (x, y) ∈ A} = {z ∈ R/ z = F (x, y) para alg´un (x, y) ∈ A} ⊂ R,

imagen o conjunto imagen de F.

Para definir tal funci´on se suele emplear la notaci´on:

F : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ F (x, y) ∈ R,

aunque es frecuente escribir simplemente z = F (x, y), denominando a x e y variables indepen- dientes y a z variable dependiente.

DEFINICI ´ON: Dada una funci´on F de A en R se define la gr´afica de F como el siguiente subconjunto de R^3 :

{(x, y, F (x, y))/ (x, y) ∈ A} = {(x, y, z) ∈ R^3 / (x, y) ∈ A, z = F (x, y)} ⊂ R^3.

En este caso, se obtiene una representaci´on bidimensional de la funci´on. N´otese que si las curvas de nivel est´an muy pr´oximas entre s´ı, la funci´on var´ıa r´apidamente, mientras que si est´an muy espaciadas entonces la variaci´on de la funci´on es muy lenta. Las curvas de nivel son las proyecciones de las l´ıneas de contorno sobre el conjunto de definici´on A y, aunque algunas veces se utilizan los dos t´erminos de forma indistinta, de- be quedar claro que las curvas de nivel est´an en el conjunto de definici´on de la funci´on, y por tanto son curvas en el plano, mientras que las l´ıneas de contorno est´an en la superficie, y por tanto son curvas en el espacio (ver figuras 1.17 y 1.18).

Ejemplo. Gr´afica de la funci´on F (x, y) = (^) 1+x^32 +y 2 en el rect´angulo A = (− 3 , 3) × (− 3 , 3) ⊂ R^2.

Figura 1.15: Superficie z = (^) 1+x^32 +y 2. Figura 1.16: Superficie^ z^ =^

3 1+x^2 +y^2 y plano^ z^ = 2 cuya intersecci´on define una l´ınea de contorno.

Figura 1.17: L´ıneas de contorno de la super- ficie z = (^) 1+x^32 +y 2.

Figura 1.18: Curvas de nivel de la funci´on F (x, y) = (^) 1+x^32 +y 2.

Ejemplos:

1. Las isotermas son las curvas de nivel de la funci´on temperatura. Sobre una isoterma, la temperatura se mantiene constante.

2. Las isobaras son las curvas de nivel de la funci´on presi´on atmosf´erica. Sobre una isobara, la presi´on se mantiene constante.

3. Las curvas de los mapas topogr´aficos, utilizados para representar regiones de la superficie terrestre, son las curvas de nivel relativas a la funci´on altura sobre el nivel del mar. Sobre cada una de estas curvas, la altura sobre el nivel del mar se mantiene constante.

1.3.1. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

Del mismo modo que se defin´ıan operaciones entre funciones de una variable real, se pueden definir operaciones entre funciones de dos variables reales. Sea F = {F/ F : A ⊂ R^2 −→ R} el conjunto de todas las funciones reales de dos variables reales definidas en un mismo subconjunto A. Sean F y G dos elementos de F y α un n´umero real. Se definen:

a) Suma de funciones:

F + G : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ (F + G)(x, y) = F (x, y) + G(x, y) ∈ R.

b) Producto de funciones:

F G : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ (F G)(x, y) = F (x, y)G(x, y) ∈ R.

c) Producto de un escalar por una funci´on:

αF : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ (αF )(x, y) = αF (x, y) ∈ R.

d) Inversa para el producto (funci´on rec´ıproca): Si F ∈ F es tal que F (x, y) ̸= 0, ∀(x, y) ∈ A, entonces existe la funci´on inversa de F para el producto, que se denota por

F

y se define como:

F

: (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→

F

(x, y) =

F (x, y)

∈ R.

e) Composici´on de funciones: No tiene sentido considerar la composici´on de dos funciones reales de dos variables reales. No obstante, si F : A ⊂ R^2 −→ R y f : B ⊂ R −→ R son dos funciones tales que F (A) ⊂ B se define la composici´on de F y f , que se denota por f ◦ F , como la nueva funci´on:

f ◦ F : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ (f ◦ F )(x, y) = f (F (x, y)) ∈ R.

Ejemplo: Sean: R+^ = {x ∈ R, x > 0 },

f : x ∈ R+^ −→ f (x) = ln x,

F : (x, y) ∈ R^2 −→ F (x, y) = xy.

Entonces: (f ◦ F )(x, y) = ln(xy).

Puesto que el logaritmo neperiano s´olo se puede calcular para los n´umeros reales positivos, el dominio A de la composici´on f ◦ F , no es todo R^2 , sino el subconjunto formado por aquellos elementos (x, y) ∈ R^2 tales que xy > 0, es decir:

−10−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−

−

−

−

0

2

4

6

8

10

x

Dominio de (f.F)(x,y) = ln(xy)

y

El subconjunto formado por los cua- drantes I y III, o lo que es lo mismo:

A = {(x, y) ∈ R^2 / x > 0 , y > 0 } ∪ {(x, y) ∈ R^2 / x < 0 , y < 0 }.

Ejemplo: Sea la funci´on definida por

f (x) =

x, si x < 0 1 , si x = 0 x + 2, si x > 0.

N´otese que no existe el l´ımite de la funci´on en el punto c = 0. Figura 1.20: Gr´afica de la funci´on f.

La aproximaci´on al punto c puede hacerse por puntos x mayores que c (por la derecha) o por puntos x menores que c (por la izquierda). Tal consideraci´on motiva las definiciones de l´ımites laterales, por la derecha o por la izquierda, de una funci´on f en un punto c.

DEFINICIONES:

a) El l´ımite por la derecha de la funci´on f en el punto c es L, y se escribe l´ımx→c+ f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, x > c, entonces |f (x) − L| < ε,

o equivalentemente:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I ∩ (c, c + δ), entonces f (x) ∈ (L − ε, L + ε).

b) El l´ımite por la izquierda de la funci´on f en el punto c es L, y se escribe l´ımx→c− f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, x < c, entonces |f (x) − L| < ε,

o equivalentemente:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I ∩ (c − δ, c), entonces f (x) ∈ (L − ε, L + ε).

Resulta obvio, de las definiciones anteriores, que el l´ımite de una funci´on f en un punto c existe si y s´olo si existen los l´ımites laterales de dicha funci´on en el punto c y ´estos coinciden.

DEFINICIONES:

a) El l´ımite de la funci´on f en el punto c es +∞, y se escribe l´ımx→c f (x) = +∞, si:

∀M > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, entonces f (x) > M.

b) El l´ımite de la funci´on f en el punto c es −∞, y se escribe l´ımx→c f (x) = −∞, si:

∀M > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, entonces f (x) < −M.

c) Si el intervalo I es de la forma (a, +∞), el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a +∞ es L, y se escribe l´ımx→+∞ f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃m > 0 tal que si x ∈ I y x > m, entonces |f (x) − L| < ε.

d) Si el intervalo I es de la forma (−∞, b), el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a −∞ es L, y se escribe l´ımx→−∞ f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃m > 0 tal que si x ∈ I y x < −m, entonces |f (x) − L| < ε.

REGLAS PARA EL C ´ALCULO DE L´IMITES:

Si α es un n´umero real y existen:

l´ım x→c f (x) y l´ım x→c g(x),

se cumplen las igualdades siguientes:

1. l´ımx→c(f + g)(x) = l´ımx→c f (x) + l´ımx→c g(x),

2. l´ımx→c(f g)(x) = l´ımx→c f (x) l´ımx→c g(x),

3. l´ımx→c(αf (x)) = α l´ımx→c f (x),

4. l´ımx→c

f (x) g(x)

l´ımx→c f (x) l´ımx→c g(x)

, supuesto que l´ım x→c g(x) ̸= 0,

salvo que se presente alguna de las situaciones siguientes, llamadas indeterminaciones:

, 1 ∞, ∞^0 , 00 ,

en cuyo caso la existencia y valor del l´ımite habr´a de estudiarse con t´ecnicas adecuadas.

Sean f una funci´on definida en un intervalo abierto I = (a, b) y c un punto de I.

DEFINICIONES:

a) La funci´on f es continua en c si existe l´ımx→c f (x) y ´este coincide con f (c).

b) La funci´on f es discontinua en c si no es continua en el punto c.

c) La funci´on f es continua en el intervalo (a, b) si es continua en cada punto de dicho intervalo.

d) La funci´on f es continua por la derecha en x = c si existe l´ımx→c+^ f (x) y ´este coincide con f (c).

e) La funci´on f es continua por la izquierda en x = c si existe l´ımx→c− f (x) y ´este coincide con f (c).

Ejemplo: La funci´on definida por

f (x) =

− 1 , si x < 0 1 , si x ≥ 0.

es continua en R \ { 0 }. En x = 0 la funci´on es discontinua; sin embargo, es continua lateralmente por la derecha, ver figura 1.21.

Figura 1.21: Funci´on definida a trozos.

1. Para funciones de dos variables reales no tiene sentido considerar l´ımites laterales. Sin em- bargo, s´ı tiene sentido aproximarse al punto (x 0 , y 0 ) por distintas curvas pasando por ´el, lo que conduce a considerar l´ımites direccionales; en particular, tienen especial relevancia los l´ımites en las direcciones x = x 0 e y = y 0.

Sean F una funci´on definida en un rect´angulo abierto A = (a, b) × (c, d) ⊂ R^2 y (x 0 , y 0 ) un punto de A.

DEFINICIONES:

a) La funci´on F es continua en (x 0 , y 0 ) si existe l´ım(x,y)→(x 0 ,y 0 ) F (x, y) y ´este coincide con F (x 0 , y 0 ).

b) La funci´on F es discontinua en (x 0 , y 0 ) si no es continua en el punto (x 0 , y 0 ).

c) La funci´on F es continua en el rect´angulo (a, b) × (c, d) si es continua en cada punto de dicho rect´angulo.

Ejemplos de funciones continuas en su conjunto de definici´on son las polin´omicas y las racio- nales.

PROPIEDADES:

1. La suma, el producto y el cociente (si la funci´on divisor no se anula en el punto) de dos funciones continuas en un punto son funciones continuas en dicho punto.

2. Sea I un intervalo abierto de R:

2.1) Si F : A ⊂ R^2 → R es continua en (x 0 , y 0 ) ∈ A y f : I → R es continua en F (x 0 , y 0 ) ∈ I, entonces la composici´on f ◦ F es continua en (x 0 , y 0 ). 2.2) Si F : A → R tiene l´ımite L en un punto (x 0 , y 0 ) ∈ A y f : I → R es continua en dicho l´ımite L ∈ I, entonces:

l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

(f ◦ F )(x, y) = l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

f (F (x, y)) = f ( l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

F (x, y)) = f (L),

es decir, pueden intercambiarse la funci´on y el l´ımite.