Valor Absoluto y Funciones Reales de Una Variable Real y Dos Variables Reales, Apuntes de Matemáticas

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NOTAS DE

MATEM ´ATICAS PARA BIOLOG´IA

Facultad de Biolog´ıa

Universidad de Santiago de Compostela

Curso 2015-

Pr´ologo

Estas notas pretenden ser una gu´ıa de la materia:

MATEM ATICAS PARA BIOLOG´ ´IA

del primer curso del Grado en Biolog´ıa. En ellas se sintetizan las cuestiones te´oricas que abordare- mos a lo largo del cuatrimestre y sobre las cuales propondremos ejercicios en sucesivos boletines.

Se refieren a:

1. Funciones reales de una y varias variables reales: Generalidades, l´ımites y continuidad.
2. Derivada de una funci´on real de variable real. Interpretaci´on geom´etrica: recta tangente. Derivadas de orden superior.
3. Derivadas parciales de una funci´on real de dos variables reales.
4. C´alculo de primitivas de una funci´on real de variable real. Integraci´on de funciones racionales, cambio de variable e integraci´on por partes. La integral definida: Regla de Barrow.
5. Ecuaciones diferenciales: Definiciones y conceptos b´asicos. Problemas de valor inicial.
6. Integraci´on de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: Ecuaciones de variables separadas y ecuaciones lineales.
7. Aplicaciones: Ley de Malthus, ecuaci´on log´ıstica, ley de desintegraci´on radiactiva, ley de en- friamiento de Newton y ecuaci´on de von Bertalanffy.

Confiando en que os ayuden a prepararla,

Los profesores de la asignatura.

iv

Tema 1

FUNCIONES REALES DE UNA

Y VARIAS VARIABLES REALES

1.1. PRELIMINARES

En esta secci´on, se repasan brevemente algunos conceptos que se utilizan frecuentemente en c´alculo.

DEFINICI ´ON: El valor absoluto de un n´umero real a ∈ R se denota por |a| y se define como

|a| =

a si a ≥ 0, −a si a < 0.

El valor absoluto mide la distancia entre dos n´umeros reales, a, b ∈ R, que viene dada por

|a − b|.

Cumple las siguientes propiedades fundamentales:

1. |a| ≥ 0 , ∀a ∈ R,
2. |a| = 0 ⇔ a = 0,
3. |a + b| ≤ |a| + |b|, ∀a, b ∈ R,
4. |a b| = |a| |b|, ∀a, b ∈ R,

y, adem´as,

5. Si ϵ > 0, |a| < ϵ ⇔ −ϵ < a < ϵ.
6. Si ϵ > 0, |a| > ϵ ⇔ a > ϵ o a < −ϵ.
7. a ≤ |a|, ∀a ∈ R,
8. | |a| − |b| | ≤ |a − b|, ∀a, b ∈ R.

Ejemplo. Resolver |x + 5| < 1. Soluci´on: Utilizando la propiedad 5, se tiene

|x + 5| < 1 ⇔ − 1 < x + 5 < 1 ⇔ − 6 < x < − 4.

La soluci´on es, por tanto, el intervalo (− 6 , −4).

Por otra parte, recordamos las razones trigonom´etricas definidas en el c´ırculo unidad de la siguiente forma (ver figura 1.1):

DEFINICI ´ON: Dada una funci´on f de A en R se define la imagen o el conjunto imagen de f , que se denota por f (A) o Im(f ), como sigue:

f (A) = {f (x)/ x ∈ A} = {y ∈ R/ y = f (x) para alg´un x ∈ A} ⊂ R.

DEFINICI ´ON: Dada una funci´on f de A en R se define la gr´afica de f como el siguiente subconjunto de R^2 :

{(x, f (x))/ x ∈ A} = {(x, y) ∈ R^2 / x ∈ A, y = f (x)} ⊂ R^2.

1.2.1. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

Sea F = {f / f : A ⊂ R −→ R} el conjunto de todas las funciones reales de variable real definidas en un mismo subconjunto A. Sean f y g dos elementos de F y α un n´umero real. Se definen:

a) Suma de funciones:

f + g : x ∈ A ⊂ R −→ (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∈ R.

b) Producto de funciones:

f g : x ∈ A ⊂ R −→ (f g)(x) = f (x)g(x) ∈ R.

c) Producto de un escalar por una funci´on:

αf : x ∈ A ⊂ R −→ (αf )(x) = αf (x) ∈ R.

d) Inversa para el producto: Si f ∈ F es tal que f (x) ̸= 0, ∀x ∈ A, entonces existe la funci´on inversa de f para el producto, que se denota por

f

y se define como:

f

: x ∈ A ⊂ R −→

f

(x) =

f (x)

∈ R.

e) Composici´on de funciones: Si f : A ⊂ R −→ R y g : B ⊂ R −→ R son dos funciones de variable real tales que f (A) ⊂ B se define la composici´on de f y g, que se denota por g ◦ f , como la nueva funci´on:

g ◦ f : x ∈ A ⊂ R −→ (g ◦ f )(x) = g(f (x)) ∈ R.

f) Inversa para la composici´on: Si f : A ⊂ R −→ R es una funci´on inyectiva (tal que elementos distintos tienen im´agenes distintas) existe la funci´on inversa para la composici´on, que se denota por f −^1 , tiene como dominio f (A) y act´ua como sigue:

f −^1 : y ∈ f (A) ⊂ R −→ f −^1 (y) = x ∈ A/ f (x) = y.

Se deducen: (f −^1 ◦ f )(x) = f −^1 (f (x)) = x, ∀x ∈ A,

(f ◦ f −^1 )(y) = f (f −^1 (y)) = y, ∀y ∈ f (A).

Observaciones:

1. No deben confundirse las inversas para el producto y la composici´on. As´ı, por ejemplo, la funci´on biyectiva de R en R: f (x) = x − 1 , x ∈ R, tiene inversa para la composici´on, dada por:

f −^1 (y) = y + 1, y ∈ R,

mientras que su inversa para el producto, definida en el conjunto R{ 1 }, es la siguiente:

1 f : x ∈ R{ 1 } −→

f (x) =

f (x)

x − 1

∈ R.

Obs´ervese qu´e diferentes son las funciones inversas de una misma funci´on respecto al pro- ducto o a la composici´on. Con el fin de diferenciarlas, a la inversa para el producto se le denominar´a funci´on rec´ıproca y a la inversa para la composici´on se le denominar´a fun- ci´on inversa.

2. El orden en el que se realiza la composici´on de funciones es fundamental. As´ı, por ejemplo, si f y g son las funciones de variable real:

f (x) = x^2 , g(x) = sen x,

se obtiene que: (g ◦ f )(x) = sen (x^2 ) = sen x^2 , mientras que: (f ◦ g)(x) = (sen x)^2 = sen 2 x.

1.2.3. FUNCIONES LOGAR´ITMICAS

Puesto que la funci´on exponencial de base a > 0, a ̸= 1, es inyectiva, tiene funci´on inversa que se analiza a continuaci´on.

DEFINICION: Dada a > 0 , a ̸= 1, se denomina funci´on logaritmo en base a, y se denota por loga, a la inversa de la funci´on f (x) = ax, siendo su dominio el intervalo (0, +∞). Entonces:

loga y = x ⇐⇒ ax^ = y.

El logaritmo m´as utilizado es el logaritmo neperiano o natural, cuya base es el n´umero e = 2, 718281... y se denota usualmente por ln en lugar de loge. Tambi´en tiene su relevancia el logaritmo decimal o com´un, que corresponde al logaritmo en base a = 10.

PROPIEDADES:

1. loga 1 = 0.

2. loga a = 1.

3. loga(xy) = loga x + loga y, ∀x, y ∈ (0, +∞).

4. loga

x y

= loga x − loga y, ∀x, y ∈ (0, +∞).

5. loga (xy^ ) = y loga x, ∀x ∈ (0, +∞) , ∀y ∈ R.

6. La gr´afica de la funci´on logaritmo en base a es la siguiente:

Figura 1.3: Funci´on logaritmo.

7. Si a > 1, la funci´on logaritmo en base a es una funci´on mon´otona estrictamente crecien- te.

8. Si 0 < a < 1, la funci´on logaritmo en base a es una funci´on mon´otona estrictamente decreciente.

1.2.4. FUNCIONES POTENCIALES

DEFINICI ´ON: Una funci´on potencial es de la forma

f (x) = xr,

siendo r un n´umero real. Si x > 0 y r ∈ R \ { 0 } se verifica que y = xr^ = er^ ln^ x. N´otese que si r = 0, se obtiene la funci´on constante y = 1. La gr´afica de la funci´on potencial se presenta en la figura 1.4, en la que puede observarse su comportamiento dependiendo de los valores de r y x.

Figura 1.4: Funci´on potencial.

N´otese que y = xr^ tambi´en est´a definido para x < 0 si r es racional de la forma r = (^2) qp+.

1.2.5. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS

La figura 1.5 muestra la gr´afica de las funciones seno y coseno en [− 2 π, 2 π].

Figura 1.5: Funciones seno y coseno.

N´otese que ambas funciones son peri´odicas de periodo 2π:

sen x = sen(x + 2π), ∀x ∈ R,

cos x = cos(x + 2π), ∀x ∈ R.

La funci´on coseno es inyectiva en el intervalo [0, π], por tanto, existe la inversa del coseno, llamada arco coseno definida en el intervalo [− 1 , 1], ver figura 1.9, como sigue:

y = arc cos x ⇔ x = cos y.

Por ´ultimo, para invertir la tangente se toma el intervalo abierto (− π 2 , π 2 ) y se define el arco tangente, ver figura 1.7, como sigue:

y = arc tan x ⇔ x = tan y.

1.2.7. FUNCIONES HIPERB ´OLICAS

Se definen a continuaci´on las funciones seno, coseno y tangente hiperb´olicas, definidas para todo x ∈ R, cuyas gr´aficas se presentan en la figura 1.10.

Seno hiperb´olico: Shx = e

x−e−x

Coseno hiperb´olico: Chx = e x+e−x

Tangente hiperb´olica: Thx = ChShxx = e

x−e−x ex+e−x^.

Se verifica la siguiente igualdad:

Ch^2 x − Sh^2 x = 1.

Figura 1.10: Funciones hiperb´olicas.

1.3. GENERALIDADES (DOS VARIABLES REALES)

Sea A un subconjunto de R^2.

DEFINICI ´ON: Una funci´on real de dos variables reales F de A en R es una regla que asigna a cada elemento (x, y) del conjunto A un ´unico elemento z de R. El conjunto A se denomina dominio (o conjunto de definici´on, o conjunto de partida) de F , y el conjunto:

F (A) = {F (x, y)/ (x, y) ∈ A} = {z ∈ R/ z = F (x, y) para alg´un (x, y) ∈ A} ⊂ R,

imagen o conjunto imagen de F.

Para definir tal funci´on se suele emplear la notaci´on:

F : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ F (x, y) ∈ R,

aunque es frecuente escribir simplemente z = F (x, y), denominando a x e y variables indepen- dientes y a z variable dependiente.

DEFINICI ´ON: Dada una funci´on F de A en R se define la gr´afica de F como el siguiente subconjunto de R^3 :

{(x, y, F (x, y))/ (x, y) ∈ A} = {(x, y, z) ∈ R^3 / (x, y) ∈ A, z = F (x, y)} ⊂ R^3.

Habitualmente, la gr´afica de una funci´on de una variable real es una curva en el plano, mientras que la gr´afica de una funci´on de dos variables reales es una superficie en el espacio.

Las gr´aficas de funciones F (x, y) con las que se trabaja habitualmente son:

Paraboloide: z = x^2 + y^2 , corresponde a F (x, y) = x^2 + y^2 , ver figura 1.11.

Cono: z =

x^2 + y^2 , corresponde a F (x, y) =

x^2 + y^2 , ver figura 1.12.

Silla de montar: z = x^2 − y^2 , corresponde a F (x, y) = x^2 − y^2 , ver figura 1.13.

Semiesfera: z =

1 − x^2 − y^2 , corresponde a F (x, y) =

1 − x^2 − y^2 , ver figura 1.14.

Figura 1.11: Paraboloide z = x^2 + y^2. Figura 1.12: Cono z =

x^2 + y^2.

Figura 1.13: Silla de montar z = x^2 − y^2. Figura 1.14: Semiesfera z =

1 − x^2 − y^2.

Para visualizar una funci´on de dos variables se puede proceder de dos modos:

1. Representar la superf´ıcie z = F (x, y); para ello suele ser de gran ayuda obtener las l´ıneas de contorno de la superficie z = F (x, y), que son las curvas que se obtienen al cortarla por los planos z = c, donde c es una constante real, ver figura 1.16. El resultado es una representaci´on tridimensional de la funci´on.

2. Hallar las curvas de nivel de la funci´on F , que son las curvas en el conjunto de definici´on sobre las que la funci´on F tiene un valor constante:

Lc = {(x, y) ∈ A/ F (x, y) = c} ⊂ A ⊂ R^2.

1.3.1. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

Del mismo modo que se defin´ıan operaciones entre funciones de una variable real, se pueden definir operaciones entre funciones de dos variables reales. Sea F = {F/ F : A ⊂ R^2 −→ R} el conjunto de todas las funciones reales de dos variables reales definidas en un mismo subconjunto A. Sean F y G dos elementos de F y α un n´umero real. Se definen:

a) Suma de funciones:

F + G : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ (F + G)(x, y) = F (x, y) + G(x, y) ∈ R.

b) Producto de funciones:

F G : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ (F G)(x, y) = F (x, y)G(x, y) ∈ R.

c) Producto de un escalar por una funci´on:

αF : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ (αF )(x, y) = αF (x, y) ∈ R.

d) Inversa para el producto (funci´on rec´ıproca): Si F ∈ F es tal que F (x, y) ̸= 0, ∀(x, y) ∈ A, entonces existe la funci´on inversa de F para el producto, que se denota por

F

y se define como:

F

: (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→

F

(x, y) =

F (x, y)

∈ R.

e) Composici´on de funciones: No tiene sentido considerar la composici´on de dos funciones reales de dos variables reales. No obstante, si F : A ⊂ R^2 −→ R y f : B ⊂ R −→ R son dos funciones tales que F (A) ⊂ B se define la composici´on de F y f , que se denota por f ◦ F , como la nueva funci´on:

f ◦ F : (x, y) ∈ A ⊂ R^2 −→ (f ◦ F )(x, y) = f (F (x, y)) ∈ R.

Ejemplo: Sean: R+^ = {x ∈ R, x > 0 },

f : x ∈ R+^ −→ f (x) = ln x,

F : (x, y) ∈ R^2 −→ F (x, y) = xy.

Entonces: (f ◦ F )(x, y) = ln(xy).

Puesto que el logaritmo neperiano s´olo se puede calcular para los n´umeros reales positivos, el dominio A de la composici´on f ◦ F , no es todo R^2 , sino el subconjunto formado por aquellos elementos (x, y) ∈ R^2 tales que xy > 0, es decir:

−10−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−

−

−

−

0

2

4

6

8

10

x

Dominio de (f.F)(x,y) = ln(xy)

y

El subconjunto formado por los cua- drantes I y III, o lo que es lo mismo:

A = {(x, y) ∈ R^2 / x > 0 , y > 0 } ∪ {(x, y) ∈ R^2 / x < 0 , y < 0 }.

1.4. L´IMITES Y CONTINUIDAD (UNA VARIABLE REAL)

Las nociones de l´ımite y continuidad son esenciales para comprender los aspectos conceptuales del c´alculo, as´ı como para analizar el comportamiento de las variables que intervienen en el mo- delado de numerosos problemas relacionados con las ciencias; a continuaci´on se establecen algunas definiciones, reglas y propiedades b´asicas relativas a dichas nociones.

Sean f una funci´on definida en un intervalo abierto I = (a, b), c un punto de I y L un n´umero real.

DEFINICI ´ON: El l´ımite de la funci´on f en el punto c es L, y se escribe l´ımx→c f (x) = L, si:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x − c| < δ, entonces |f (x) − L| < ε,

o equivalentemente:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si x ∈ I ∩ (c − δ, c + δ), x ̸= c, entonces f (x) ∈ (L − ε, L + ε).

c

L

c-d c+d

L-e

L+e

y=f(x)

x

y

x

e f(x)

Figura 1.19: L´ımite de una funci´on en un punto.

Observaciones:

1. En la anterior definici´on se supone, por comodidad, que c ∈ I aunque tal condici´on no es necesaria. Por ejemplo, c podr´ıa ser uno de los extremos del intervalo.

2. Una manera de leer la definici´on de l´ımite es: para cada intervalo abierto de centro L y radio ε, existe un intervalo abierto de centro c y radio δ de forma que si x es un punto de este intervalo y x no es c, entonces f (x) est´a en el primer intervalo, ver figura 1.19. Lo cual se puede traducir tambi´en en los siguientes t´erminos: la variable dependiente f (x) est´a tan pr´oxima a L como se quiera, sin m´as que tomar la variable independiente x suficientemente pr´oxima a c y distinta de c.

3. Si una funci´on tiene l´ımite en un punto, ´este es ´unico; desde luego, cabe la posibilidad de que el l´ımite no exista, como muestra el siguiente ejemplo:

REGLAS PARA EL C ´ALCULO DE L´IMITES:

Si α es un n´umero real y existen:

l´ım x→c f (x) y l´ım x→c g(x),

se cumplen las igualdades siguientes:

1. l´ımx→c(f + g)(x) = l´ımx→c f (x) + l´ımx→c g(x),

2. l´ımx→c(f g)(x) = l´ımx→c f (x) l´ımx→c g(x),

3. l´ımx→c(αf (x)) = α l´ımx→c f (x),

4. l´ımx→c

f (x) g(x)

l´ımx→c f (x) l´ımx→c g(x)

, supuesto que l´ım x→c g(x) ̸= 0,

salvo que se presente alguna de las situaciones siguientes, llamadas indeterminaciones:

, 1 ∞, ∞^0 , 00 ,

en cuyo caso la existencia y valor del l´ımite habr´a de estudiarse con t´ecnicas adecuadas.

Sean f una funci´on definida en un intervalo abierto I = (a, b) y c un punto de I.

DEFINICIONES:

a) La funci´on f es continua en c si existe l´ımx→c f (x) y ´este coincide con f (c).

b) La funci´on f es discontinua en c si no es continua en el punto c.

c) La funci´on f es continua en el intervalo (a, b) si es continua en cada punto de dicho intervalo.

d) La funci´on f es continua por la derecha en x = c si existe l´ımx→c+^ f (x) y ´este coincide con f (c).

e) La funci´on f es continua por la izquierda en x = c si existe l´ımx→c− f (x) y ´este coincide con f (c).

Ejemplo: La funci´on definida por

f (x) =

− 1 , si x < 0 1 , si x ≥ 0.

es continua en R \ { 0 }. En x = 0 la funci´on es discontinua; sin embargo, es continua lateralmente por la derecha, ver figura 1.21.

Figura 1.21: Funci´on definida a trozos.

Ejemplos de funciones continuas en su conjunto de definici´on son las polin´omicas, las racionales, la funci´on valor absoluto, las exponenciales, las logar´ıtmicas, las potenciales, las trigonom´etricas y sus inversas.

PROPIEDADES:

1. La suma, el producto y el cociente (si la funci´on divisor no se anula en el punto) de dos funciones continuas en un punto son funciones continuas en dicho punto.

2. Sea J un intervalo abierto de R:

2.1) Si f : I → R es continua en c ∈ I y g : J → R es continua en f (c) ∈ J, entonces la composici´on g ◦ f es continua en c. 2.2) Si f : I → R tiene l´ımite L en un punto c ∈ I y g : J → R es continua en dicho l´ımite L ∈ J, entonces:

l´ım x→c (g ◦ f )(x) = l´ım x→c g(f (x)) = g( l´ım x→c f (x)) = g(L),

es decir, pueden intercambiarse la funci´on y el l´ımite.

1.5. L´IMITES Y CONTINUIDAD (DOS VARIABLES REALES)

El concepto de l´ımite de una funci´on F de dos variables reales en un punto (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 es an´alogo al de l´ımite de una funci´on de una variable real, es decir, si el l´ımite L existe: la variable dependiente F (x, y) est´a tan pr´oxima a L como se quiera, sin m´as que tomar el punto (x, y) de R^2 suficientemente pr´oximo a (x 0 , y 0 ) y distinto de (x 0 , y 0 ).

Para precisar la idea de proximidad entre puntos de R^2 se define bola abierta.

DEFINICI ´ON: Se denomina bola abierta de centro (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 y radio r > 0 al conjunto:

B((x 0 , y 0 ), r) = {(x, y) ∈ R^2 / d((x, y), (x 0 , y 0 )) < r} = {(x, y) ∈ R^2 /

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 < r} =

= {(x, y) ∈ R^2 / (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 < r^2 },

siendo d la distancia euclidiana en R^2.

Sean F una funci´on definida en un rect´angulo abierto A = (a, b) × (c, d) ⊂ R^2 , (x 0 , y 0 ) un punto de A y L un n´umero real.

DEFINICI ´ON: El l´ımite de la funci´on F en el punto (x 0 , y 0 ) es L, y se escribe l´ım(x,y)→(x 0 ,y 0 ) F (x, y) = L, si:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si (x, y) ∈ A y 0 <

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 < δ, entonces |F (x, y) − L| < ε,

o equivalentemente:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si (x, y) ∈ A ∩ B((x 0 , y 0 ), δ), (x, y) ̸= (x 0 , y 0 ), entonces F (x, y) ∈ (L−ε, L+ε).

Observaciones:

1. Utilizando la definici´on, se prueba inmediatamente que:

l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

x = x 0 , l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

y = y 0.

2. Las observaciones hechas en el caso de una variable real, as´ı como las reglas para el c´alculo de l´ımites, pueden adaptarse a funciones de dos variables.