¡Descarga Derivada de una función en un punto y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Cap´ıtulo 2
C´alculo diferencial de funci´ons dunha
variable real
2.1. Derivada dunha funci´on nun punto
En adiante consideraremos unha funci´on f : (a, b) ⊂ R → R e xo ∈ (a, b). Sabemos que para cada x 6 = xo, o cociente f^ (x x)−−fx^ (ox o)´e a pendente da recta que pasa polos puntos (x, f (x)) e (xo, f (xo)). Na gr´afica podemos observar como var´ıa esa pendente cando x se aproxima a xo.
Se existe l´ım x→xo
f (x) − f (xo) x − xo
, a recta r que pasa por (xo, f (xo)) e ten por pendente dito l´ımite, recibe
o nome de recta tanxente ´a gr´afica de f en (xo, f (xo)).
Definici´on 1. Diremos que a funci´on f e derivable en´ xo se existe o l´ımite l´ım x→xo
f (x) − f (xo) x − xo
En caso de existir, dito l´ımite ch´amase derivada de f en xo e den´otase por f ′(xo) ou (^) dxdf (xo). Diremos que f ´e derivable en (a, b) se f e derivable en cada punto do intervalo´ (a, b).
Observaci´on. Se f ´e derivable en xo, f ′(xo) ´e, pois, a pendente da recta tanxente ´a gr´afica de f en (xo, f (xo)). A ecuaci´on desta recta ´e logo y = f ′(xo)(x − xo) + f (xo).
Exemplos 2. 1. A funci´on f : R → R definida por f (x) = x^2 ´e derivable en R. Vexamos que f ′(xo) = 2xo, para todo xo ∈ R:
l´ım x→xo
f (x) − f (xo) x − xo
= l´ım x→xo
x^2 − x^2 o x − xo
= l´ım x→xo
(x − xo)(x + xo) x − xo
= l´ım x→xo x + xo = 2xo
- A ecuaci´on da recta tanxente ´a gr´afica da funci´on f (x) = x^2 no punto (3, 9) e´ y = f ′(3)(x −
- f (3) = 6(x − 3) + 9, isto ´e y = 6x − 9.
11
12 Grado en ADE: Matem´aticas
- A funci´on f (x) =| x | non ´e derivable en xo = 0 pois l´ım x→xo
f (x) − f (xo) x − xo
non existe.
Proposici´on 3. Se f e derivable en´ xo, ent´on f ´e continua en xo.
Observaci´on. Unha funci´on pode ser continua nun punto e non ser derivable nel, por exemplo f (x) =| x | ´e continua en R e non ´e derivable en 0.
Facendo c´alculos similares os do exemplo 2.1 podemos obter as derivadas das funci´ons elementais seguintes:
Proposici´on 4. Suposto que a ∈ R e un valor determinado.´ Se f (x) = a, ent´on f ′^ (x) = 0 Se f (x) = x, ent´on f ′^ (x) = 1 Se f (x) = ax, ent´on f ′^ (x) = a Se f (x) = (^) x^1 , ent´on f ′^ (x) = − (^) x^12 Se f (x) = xa, ent´on f ′^ (x) = axa−^1 Se f (x) =
x, ent´on f ′^ (x) = 2 √^1 x Se f (x) = ex, ent´on f ′^ (x) = ex^ Se f (x) = ln x, ent´on f ′^ (x) = (^1) x Se f (x) = ax, ( con a > 0), ent´on f ′^ (x) = ax^ ln a Se f (x) = cos x, ent´on f ′^ (x) = − sen x Se f (x) = sen x, ent´on f ′^ (x) = cos x Se f (x) = tg x, ent´on f ′^ (x) = (^) cos^12 x = 1 + tg^2 x Se f (x) = arc tg x, ent´on f ′^ (x) = (^) 1+^1 x 2 Se f (x) = arcsen x, ent´on f ′^ (x) = √ 11 −x 2 Se f (x) = arc cos x, ent´on f ′^ (x) = √− 1 −^1 x 2
Proposici´on 5. Se f, g : (a, b) ⊂ R → R son derivables en xo ∈ (a, b), tam´en son derivables as funci´ons f + g, λf (con λ ∈ R), f g e fg (se g(xo) 6 = 0). Ademais:
a) (f + g)′(xo) = f ′(xo) + g′(xo) b) (λf )′(xo) = λf ′(xo) c) (f g)′(xo) = f ′(xo)g(xo) + f (xo)g′(xo) d)
f g
(xo) =
f ′(xo)g(xo) − f (xo)g′(xo) (g(xo))^2
Exemplos 6. 1. Se f (x) = 6x^4 − 3 x + 2, ent´on f ′(x) = 24x^3 − 3 , para todo x ∈ R.
- Se f (x) =
6 x^4 − 3 x + 2 x^3 − 4
, ent´on f ′(x) =
(24x^3 − 3)(x^3 − 4) − (6x^4 − 3 x + 2)3x^2 (x^3 − 4)^2
6 x^6 − 90 x^3 − 6 x^2 + 12 (x^3 − 4)^2
- Se f (x) = x^2 sen x, ent´on f ′(x) = 2x sen x + x^2 cos x
- Se f (x) = 4x^3 ex^ + (^2) x , ent´on f ′(x) = 12x^2 ex^ + 4x^3 ex^ − (^) x^22 = (12x^2 + 4x^3 )ex^ − (^) x^22
Exercicio 7. Calcula as rectas tanxentes ´as gr´aficas das seguintes funci´ons no punto indicado: a) f (x) = sen x no punto ( − 2 π , −1) b) f (x) = ln x no punto (1, 0) c) f (x) = 6x^4 − 3 x + 2 no punto (0, 2) d) f (x) = 6 x^4 − 3 x + 2 x^3 − 4 no punto (1, − 35 )
Interpretaci´ons econ´omicas do concepto de derivada
En Econom´ıa, o termo de derivada correspondese co concepto de marxinalidade da funci´on. As´ı, as funci´ons derivadas das funci´ons de coste, de ingreso e de beneficio denominanse, respectivamente, coste marxinal, ingreso marxinal e beneficio marxinal. Outra das aplicaci´ons mais usuais do concepto de derivada ´e a elasticidade da demanda. Su- po˜namos que queremos calcular as unidades que variar´a a demanda dun ben cando o prezo aumenta nunha unidade. O resultado vai depender, en gran medida, do prezo do ben: se o prezo ´e moi pequeno, a variaci´on da demanda ser´a moi grande e, pola contra, se o prezo ´e moi grande, a variaci´on ser´a moi pequena. Interesanos poder comparar directamente as variaci´ons das demandas de duas mercanc´ıas calesqueira en termos relativos. O valor que se obt´en deste xeito, que non depende das unidades en que se miden as cantidades e os prezos, denom´ınase elasticidade da demanda.
14 Grado en ADE: Matem´aticas
- Se f e unha funci´´ on derivable, calcula a derivada das funci´ons: a) h(x) = f (x + 5) b) h(x) = f (x^2 ) c) h(x) = f
(√ 1 − x^2
) d) h(x) = sen f (x) ln x
- Se g ´e unha funci´on derivable, calcula a derivada das funci´ons: a) f (x) = g(x + g(2)) b) f (x) = g(5xg(3)) + g(0)(x − π) c) f (x) = g(x + g(x)) d) f (x) = g(x)(x − 4) e) f (x) = g(x^2 ) − x f) f (x) = g(x^2 − x)
2.3. Teoremas de Rolle e do valor medio
Definici´on 10. Consideremos a funci´on f : A ⊂ R → R.
- Diremos que xo ∈ A e un m´´ ınimo relativo de f se existe r > 0 tal que f (x) ≥ f (xo), para todo x ∈ (xo − r, xo + r) ∩ A.
- Diremos que xo ∈ A e un m´´ aximo relativo de f se existe r > 0 tal que f (x) ≤ f (xo), para todo x ∈ (xo − r, xo + r) ∩ A.
Exemplos 11. 1. f (x) =| x | ten en xo = 0 un m´ınimo porque f (x) =| x |≥ 0 = f (0), para todo x ∈ R.
- A funci´on h(x) = −x^2 + 7 ten en xo = 0 un m´aximo porque h(x) = −x^2 + 7 ≤ 7 = h(0), para todo x ∈ R.
- A funci´on g(x) = −h(x) = x^2 − 7 ten en xo = 0 un m´ınimo porque g(x) = x^2 − 7 ≥ −7 = g(0), para todo x ∈ R. En xeral, xo e un m´´ aximo (resp. m´ınimo) de f se, e s´o se, xo e un m´´ ınimo (resp. m´aximo) de −f.
Proposici´on 12. Se f : [a, b] ⊂ R → R e continua en´ [a, b], existen x 1 , x 2 ∈ [a, b] tales que f (x 1 ) ≤ f (x) ≤ f (x 2 ), para todo x ∈ [a, b].
Proposici´on 13. Sexa f : [a, b] ⊂ R → R. Se f ten un extremo en xo ∈ (a, b) e f ´e derivable en xo, ent´on f ′(xo) = 0.
Observaci´on. 1. Este resultado d´anos unha condici´on necesaria para a existencia de extremos, pero non suficiente: a funci´on f (x) = x^3 ´e derivable en xo = 0 e f ′(0) = 0, pero non ten un extremo nese punto.
- ´E fundamental que o punto xo sexa interior, ´e dicir, que xo ∈ (a, b): a funci´on f : [0, 1] ⊂ R → R definida por f (x) = x ten un m´aximo en xo = 1 e f ′(1) = 1 6 = 0.
- A vista das observaci´´ ons anteriores, os posibles extremos dunha funci´on f : [a, b] ⊂ R → R ser´ıan: Aqueles puntos interiores nos que se anula a primeira derivada. Os extremos do intervalo, ´e dicir, a e b. Aqueles puntos do dominio onde a funci´on non ´e derivable.
Teorema 14 (Teorema de Rolle). Sexa f : [a, b] ⊂ R → R unha funci´on continua en [a, b] e derivable en (a, b). Se f (a) = f (b), ent´on existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Exercicio 15. Interpreta xeometricamente este teorema e fixate como afirma que, se a recta que une os puntos (a, f (a)) e (b, f (b)) e paralela ´´ o eixo x, ent´on existe polo menos un punto c ∈ (a, b) tal que a recta tanxente ´a gr´afica de f en (c, f (c)) e, tam´´ en, paralela ´o eixo x.
Teorema 16 (Teorema do valor medio). Se f : [a, b] ⊂ R → R e unha funci´´ on continua en [a, b] e
derivable en (a, b), ent´on existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =
f (b) − f (a) b − a
Curso 2011-2012 15
Demostraci´on.-Considereraremos a funci´on g : [a, b] ⊂ R → R, g(x) = f (x) − f^ (b) b−−fa^ ( a)(x − a). Temos que g(a) = f (a) e g(b) = f (b) − f^ (b) b−−fa^ (a)(b − a) = f (b) − f (b) + f (a) = f (a), e adem´ais g e unha funci´´ on continua en [a, b] e derivable en (a, b). As´ı podemos aplicar o Teorema de Rolle a g en [a, b] e obtemos que existe c ∈ (a, b) tal que g′(c) = 0.
Como g′(x) = f ′(x) − f^ (b b)−−fa^ ( a), este valor c verifica que f ′(c) = f^ (b) b−−fa^ ( a).
Exercicio 17. Interpreta xeometricamente este teorema e fixate como afirma que existe polo menos un punto c ∈ (a, b) tal que a recta tanxente ´a gr´afica de f en (c, f (c)) e paralela ´´ a recta que une os puntos (a, f (a)) e (b, f (b)).
Consecuencia do Teorema do valor medio obtemos os seguintes resultados:
Proposici´on 18. Sexa f : [a, b] ⊂ R → R unha funci´on continua en [a, b] e derivable en (a, b).
- Se f ′(x) = 0, para todo x ∈ (a, b) se, e s´o se, f e constante.´
- f ′(x) ≥ 0 , para todo x ∈ (a, b) se, e s´o se, f e crecente.´
- Se f ′(x) > 0 , para todo x ∈ (a, b), ent´on f e estritamente crecente.´
- f ′(x) ≤ 0 , para todo x ∈ (a, b) se, e s´o se, f e decrecente.´
- Se f ′(x) < 0 , para todo x ∈ (a, b), ent´on f e estritamente decrecente.´
Observaci´on A funci´on f (x) = x^3 ´e estritamente crecente e, nembargantes, f ′(0) = 0. ´E dicir, non se ten o rec´ıproco do apartado 3 (nin, de xeito an´alogo, do 5) da proposici´on.
2.4. Regra de L’Hˆopital
Teorema 19 (Regra de L’Hˆopital). Sexan f, g derivables en (a, b), con g′(x) 6 = 0 para todo x ∈ (a, b).
Se xo ∈ (a, b) e l´ım x→xo f (x) = l´ım x→xo g(x) = 0 , temos que, se existe l´ım x→xo
f ′(x) g′(x)
= `, ent´on
l´ım x→xo
f (x) g(x)
= `.
Observaci´on Se as funci´ons f ′^ e g′^ siguen estando nas condici´ons da regra de L’Hˆopital, esta pode aplicarse de novo a ditas funci´ons.
Exemplos 20. 1. l´ım x→ 0
sen x ln(x + 1)
= 1, porque l´ım x→ 0
cos x 1 (x+1)
- l´ım x→ 0
x tg x
= 1, xa que l´ım x→ 0
1 + tg^2 x
- l´ım x→ 1
ln x x −
x
= 2, pois l´ım x→ 1
1 x 1 − 2 √^1 x
- l´ım x→ 0
2 x^ − 5 x x
= ln 25 , porque l´ım x→ 0
2 x^ ln 2 − 5 x^ ln 5 1
= ln 2 − ln 5 = ln (^25)
Observaci´on. 1. Debemos ser coidadosos ´o aplicar a Regra de L’Hˆopital, xa que se non existe
o l´ım x→xo
f ′(x) g′(x)
, non nos asegura que podamos concluir que non existe l´ım x→xo
f (x) g(x)
. Por exemplo,
o l´ım x→ 0
x^2 sen (^1) x sen x
vale cero pero, se aplicamos a regra de L’Hˆopital a este cociente, o l´ımite do cociente das derivadas non existe.
Curso 2011-2012 17
- Para calcular o l´ımite A = l´ım x→ 1 x ln^3 x aplicamos de novo logaritmos:
ln A = ln
l´ım x→ 1 x ln^3 x^ ) = l´ım x→ 1 ln
x ln^3 x )^ = l´ım x→ 1
ln x
ln x = 3 e as´ı A = e^3.
Exercicios
- Calcula os seguintes l´ımites :
l´ım x→ 1 + (x − 1) ln(x − 1) l´ım x→ 0
sen 2x sen 3x l´ım x→ 0
xex^ cos^2 6 x e^2 x^ − 1 l´ım x→ 0
cos^2 x − 1 x^2
x^ l´ım→ 0
( 1 x −^
1 sen x
) x^ l´ım→ 0
x x + sen x xl´ım→ 0
√ a + 2x −
√ a + x x xl´ım→ 0
arc tg x sen x x
x→^ l´ım+∞ x^
(^1) x xl´→ım π 2
tg 3x tg x l´ım x→ 0 +
ln tg 2x ln tg x x→l´ım+∞
ex^ − 1 ln(ex^ + x)
xl´ım→ 0 (1 +^ x)^
(^1) x xl´→ım π 4
tg 2x ln tg x (^) x→l´ım+∞ x + sen x x + cos x xl´ım→ 0
(2 − x)ex^ − x − 2 x^3
x^ l´ım→ 0
ln(cos ax) ln(cos bx) l´ım x→ 0 + (arc tg x) ln^1 x x→l´ım+∞
x + 5 + sen x x − 5 + cos x x→l´ım+∞
ex^ + sen x ex^ + cos x
2.5. Derivadas de orde superior e extremos relativos
Definici´on 23. Sexa f : (a, b) ⊂ R → R unha funci´on derivable en (a, b). Def´ınese a funci´on derivada de f como a funci´on, f ′^ : (a, b) ⊂ R → R, que a cada x ∈ (a, b) lle fai corresponder o n´umero real f ′(x). Se f ′^ e, ´´ a s´ua vez, derivable en (a, b), def´ınese f ′′^ : (a, b) ⊂ R → R, como a funci´on derivada de f ′, as´ı f ′′(x) = (f ′)′(x) ∈ R, que se denominar´a derivada segunda de f ou derivada de orde 2 de f. E as´ı sucesivamente, ´e dicir, se n ∈ N e f n−1)^ : (a, b) ⊂ R → R e unha funci´´ on derivable en (a, b), def´ınese a funci´on derivada n-´esima de f ou derivada de orde n de f , f n)^ : (a, b) ⊂ R → R , como a funci´on derivada de f n).
Exemplos 24. 1. Se f (x) = x^4 − 8 x^2 − 5 , ent´on f ′(x) = 4x^3 − 16 x, f ′′(x) = 12x^2 − 16 , f ′′′(x) = 24x, f 4)(x) = 24 e f n)(x) = 0, para todo n > 4.
- Se f (x) = ex, ent´on f n)(x) = ex, para todo n ≥ 1.
- Se f (x) = sen x, ent´on f ′(x) = cos x, f ′′(x) = − sen x, f ′′′(x) = − cos x e as´ı sucesivamente.
Definici´on 25. Dise que f : (a, b) ⊂ R → R ´e de clase n en (a, b), para n ∈ N, n ≥ 1 , se f admite derivada de orde n en (a, b) e f n)^ e continua en´ (a, b). O conxunto de t´odalas funci´ons de clase n en (a, b) den´otase por Cn((a, b)). Se f admite derivada de calquera orde en (a, b), dise que f e de clase infinito en´ (a, b), e den´otase por C∞((a, b)) o conxunto de t´odalas funci´ons de clase infinito en (a, b). O conxunto de t´odalas funci´ons continuas en (a, b) den´otase por C^0 ((a, b)).
Exemplos 26. 1. A funci´on f (x) = x^4 − 8 x^2 − 5 e de clase infinito en´ R porque, como vimos anteriormente, admite derivadas de calquera orde.
- Tam´en son de clase infinito en R as funci´ons f (x) = ex^ e h(x) = sen x.
- A funci´on g(x) = ln x ´e de clase infinito en (0, +∞).
18 Grado en ADE: Matem´aticas
Vimos, en secci´ons anteriores, que os posibles extremos dunha funci´on f : [a, b] ⊂ R → R son:
- Aqueles puntos interiores nos que se anula a primeira derivada.
- Os extremos do intervalo, ´e dicir, a e b.
- Aqueles puntos do dominio onde a funci´on non ´e derivable.
Tam´en estudamos, a partir do signo da primeira derivada, o crecemento e decrecemento dunha funci´on o que nos permit´ıa, ´a s´ua vez, localizar extremos dunha funci´on diferenciable. Outro resultado que nos permite asegurar se un punto ´e ou non un extremo dunha funci´on ´e o seguinte:
Proposici´on 27. Sexan f ∈ Cn((a, b)) e xo ∈ (a, b) de xeito que f k)(xo) = 0, para todo k = 1 ,... , n − 1 e f n)(xo) 6 = 0. Ent´on:
- Se n (^) ´e par e f n)(xo) < 0 , f ten un m´aximo relativo en xo.
- Se n ´e par e f n)(xo) > 0 , f ten un m´ınimo relativo en xo.
- Se n ´e impar, xo non ´e un extremo de f.
Exemplos 28. 1. A funci´on g(x) = ex^ + e−x^ + 2 cos x ten un m´ınimo en xo = 0 porque
g′(x) = ex^ − e−x^ − 2 sen x, g′(0) = 0 g′′(x) = ex^ + e−x^ − 2 cos x, g′′(0) = 0 g′′′(x) = ex^ − e−x^ + 2 sen x, g′′′(0) = 0 g4)(x) = ex^ + e−x^ + 2 cos x, g4)(0) = 4 > 0
- Estudemos os extremos de f (x) = x
x(4 − x). O dominio desta funci´on ´e o intervalo [0, 4] e, polo tanto, os posibles extremos son x = 0, x = 4 e aqueles puntos de (0, 4) nos que f ′^ se anula. Como f (x) ≥ 0 = f (0) = f (4), para todo x ∈ (0, 4), x = 0 e x = 4 son m´ınimos da funci´on. Ademais, para cada x ∈ (0, 4),
f ′(x) =
x(4 − x) + x
4 − 2 x 2
x(4 − x)
2 x(3 − x) √ 4 x − x^2
que s´o se anula cando x = 3. Para saber se este punto ´e ou non un extremo de f estudamos o signo da primeira derivada:
Se x ∈ (0, 3), f ′(x) > 0 e, polo tanto, f ´e crecente nese intervalo. Se x ∈ (3, 4), f ′(x) < 0 e, polo tanto, f ´e decrecente nese intervalo.
Ent´on, x = 3 e un m´´ aximo de f.
f ′
−6−1 0 1 2 3 4 5
−
−
−
−
−
0
1
2
3 f (x) = x
p x(4 − x)
−1−1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
6
7
20 Grado en ADE: Matem´aticas
Se as desigualdades anteriores son estritas, estas caracterizan as funci´ons estritamente convexas ou estritamente c´oncavas respectivamente.
Observaci´on. Tendo en conta que T (y) = f (x) + f ′(x)(y − x) ´e a recta tanxente a f no punto (x, f (x)), unha funci´on ´e c´oncava se, e s´o se, para cada y ∈ [a, b] se ten que f (y) ≤ T (y); ´e dicir, se, e s´o se, a recta tanxente ´a f en cada punto queda por derriba da gr´afica de f. Do mesmo xeito, unha funci´on ´e convexa se, e s´o, a recta tanxente ´a f en cada punto queda por debaixo da gr´afica de f.
Proposici´on 34. Sexa f ∈ C^2 ((a, b)). Ent´on
- f ´e convexa en (a, b) se, e s´o se, f ′′(x) ≥ 0 , para todo x ∈ (a, b)
- f ´e c´oncava en (a, b) se, e s´o se, f ′′(x) ≤ 0 , para todo x ∈ (a, b)
- Se f ′′(x) > 0 , para todo x ∈ (a, b), ent´on f e estritamente convexa en´ (a, b).
- Se f ′′(x) < 0 , para todo x ∈ (a, b), ent´on f e estritamente c´´ oncava en (a, b).
Observaci´on O rec´ıproco dos apartados 3 e 4 non se verifica en xeral: a funci´on f (x) = x^4 e estrita-´ mente convexa e f ′′(0) = 0.
Exemplo 35. Estudaremos crecemento, decrecemento, extremos relativos, concavidade, convexidade e puntos de inflexi´on da funci´on f (x) = x^2 e−x. Observamos primeiro que esta funci´on ´e de clase infinito en R, polo que podemos usar todolos resultados que co˜necemos relacionados coa derivaci´on para realizar o estudo pedido. Para atopar os seus extremos, calculamos a derivada de f : f ′(x) = 2xe−x^ − x^2 e−x^ = e−x(2x − x^2 ). Como esta funci´on s´o se anula cando x = 0 e x = 2, os ´unicos posibles extremos de f son estes dous puntos. Estudamos o signo da derivada:
Se x ∈ (−∞, 0), f ′(x) < 0 e, polo tanto, f e decrecente en´ (−∞, 0).
Se x ∈ (0, 2), f ′(x) > 0 e, daquela, f ´e crecente en (0, 2).
Se x ∈ (2, +∞), f ′(x) < 0 e, daquela, f ´e decrecente en (2, +∞).
Xa podemos concluir que f presenta un m´ınimo en (0, 0) e un m´aximo en (2, 4 e−^2 ). Ainda que tam´en poder´ıamos comprobalo vendo que f ′′(0) > 0 e que f ′′(2) < 0 A segunda derivada, f ′′(x) = e−x(x^2 − 4 x + 2), anulase para x = 2 +
2 e para x = 2 −
- As´ı, Estudamos o signo da segunda derivada:
Se x ∈ (−∞, 2 −
2), f ′′(x) > 0 e, polo tanto, f ´e convexa nese intervalo.
Se x ∈ (2 −
2), f ′′(x) < 0 e, daquela, f ´e c´oncava nese intervalo.
Se x ∈ (2 +
2 , +∞), f ′′(x) > 0 e, daquela, f e convexa nese intervalo.´
Podemos concluir que f presenta puntos de inflexi´on para x = 2 +
2 e para x = 2 −
2 , ainda que tam´en poder´ıamos comprobalo vendo que a derivada terceira non se anula nestes puntos. Para mellor esbozar a gr´afica da funci´on f (x) = x^2 e−x, podemos tam´en estudar o seu comporta- mento cando x tende a +∞ e −∞: l´ım x→−∞ x^2 e−x^ = +∞
l´ım x→+∞ x^2 e−x^ = l´ım x→+∞
x^2 ex^ =^ x→l´ım+∞
2 x ex^ =^ x→l´ım+∞
2 ex^ = 0
Curso 2011-2012 21
As´ı a gr´afica de f ser´a:
−1−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−0.
0
1
2
3
f(x)=x^2 e−x
Exercicios
- Debuxa, se ´e posible, a gr´afica dunha funci´on f : (− 1 , 1) → R que non sexa derivable en x 0 = 0 e que te˜na en x 0 = 0 un m´ınimo e un punto de inflexi´on.
- Obt´en os m´aximos, m´ınimos e puntos de inflexi´on das seguintes funci´ons: a) f (x) =
√ |x| b) f (x) = e
x x c) f (x) = ln(1 + x^2 ) d) f (x) = x ln x e) f (x) = 1 x
x^2 2 f) f (x) = 1 x^2 − 1 (x − 1)^2 g) f (x) =
√ x^2 − 1
