DERIVADA LOGARITMICA, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga DERIVADA LOGARITMICA y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ÁREA DE CIENCIAS

Matemática Aplicada

a los Negocios

➢ Funciones exponenciales

➢ Funciones logarítmicas

➢ Derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas

➢ Aplicaciones

✓ Aplicar las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas

Contenido de la clase

Objetivo de la clase

ÁREA DE CIENCIAS

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Definición

Algunas características

ÁREA DE CIENCIAS

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Sea 𝑎 ∈ ℝ , 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1 , la función 𝑔 𝑥 = log

𝑎

𝑥, 𝑥 > 0 , es llamada función logarítmica de base 𝑎.

Esta función es la función inversa de la función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎

𝑥

y su dominio es 0 ; +∞

1. Si 𝑎 > 1 , 𝑔 𝑥 = log

𝑎

𝑥 es creciente,

lim

𝑥→+∞

log

𝑎

𝑥 = +∞ y lim

𝑥→ 0

log

𝑎

lim

𝑥→+∞

log

𝑎

𝑥 = −∞ y lim

𝑥→ 0

log

𝑎

1. Si 0 < 𝑎 < 1 , 𝑔 𝑥 = log

𝑎

𝑥 es decreciente,

1. 𝑥 = 0 es asíntota vertical.

𝑔 𝑥 = log

𝑎

𝑥 (𝑎 > 1 ) 𝑔 𝑥 = log

𝑎

𝑥 ( 0 < 𝑎 < 1 )

Observación

1. El número de Euler que se representa con 𝑒 es el número 𝑒 = 2,71828182845904523536... (las 20

primeras cifras decimales de 𝑒).

1. A log

e

𝑥, se representa por ln 𝑥 y se denomina logaritmo natural de 𝑥 o logaritmo neperiano de 𝑥.

1. A log

10

𝑥, se representa por log 𝑥 y se denomina logaritmo decimal de 𝑥.

ÁREA DE CIENCIAS

𝑔 𝑥 = log

𝑎

𝑥, 𝑥 > 0

ÁREA DE CIENCIAS

Ejercicios resueltos

Halle el dominio de la función 𝑓 𝑥 = ln(𝑥

3

Condición para hallar el dominio:

Aplicamos el método de los puntos críticos

3

2

0

− 2

− + − +

Solución.

a)

a) 𝑓 𝑥 = 7 ln(𝑥

3

−4𝑥) − 12 log( 3 + 5 𝑥

2

) + 3 log

6

3 𝑥

2

Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones:

b) 𝑔 𝑥 = 5 𝑒

4 𝑥

2

• 3

2

6 𝑥− 5

′

2

3

2

ln 10

4𝑥 + 19 ln 6

3 𝑥

2

)(6𝑥)(ln 5 )

b)

′

4 𝑥

2

• 3

2

6𝑥− 5

2

• 6 ln( 4 𝑥

2

ÁREA DE CIENCIAS

Solución.

a)

a)

Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones:

b) c)

b)

c)

2

30

( )

ln(5 7 )

x

h x

x

=

2

3

4 1

2

( )

x

x

g x

e

=

2 3 1

( ) 5

x

f x x e

=

2

2

7

60 ln(5 7 ) (30 )

5 7

( )

ln (5 7 )

x x x

x

h x

x

 

• −

 

 

 = =

2

2

60 210

ln(5 7 )

(5 7 ) ln (5 7 )

x x

x

x x

−

( )

2 2

2

2 4 1 3 4 1

2

4 1

6 (2 )(8 )

( )

x x

x

x e x x e

g x

e

−

 = = 2

2 4

4 1

6 16

x

x x

e

−

( )

3 1 2 3 1

( ) 10 5 (3)

x x

f x xe x e

 = + =

ÁREA DE CIENCIAS

Solución.

( )

3 1 2

15 10

x

e x x

Calcule el valor de 𝐿, donde

2

2 2

(3 6)

2

3

3 ln( 3) 81

lim

6

log(8 36) 5

x

x

x

x x

L

e

x

x

−

→

 

 

• − −

 

 

• • −

 

 

2

3

2

2

(3 6) (3 6) 2

2

2 3

2

3 (2 ) ln 3 2 ln( 3)

3

lim

18 6 24

(8 36) ln

x

x x

x

x

x x x

x

L

xe e x

x x

− −

→

 

 

• • −

 − 

= =

 

−

 

 

 

46,9816...

2

2

3

2 (2 6) 2

3

ln( 8)

2 64

lim

log( 91) 11

x

x

x

x

x

L

x e x

−

→

 

−

• −

 

 

=

 

• • −

 

 

a) b)

4

2 2

2

2

6

3

2 (2 6) (2 6)

2

2

3 ln( 8)

8

2(2 ) ln 2

lim

2

2 2

( 91) ln

x

x

x x

x

x x

x

x

L

x

x e xe

x

→

− −

 

− −

 

−

 

 

= =

 

 

 

 

 

a)

b)

3, 702...

Los dos límites son de la forma

0

0

, aplicamos la regla de L’Hôpital

ÁREA DE CIENCIAS

Solución.

Un fabricante produce radios a un costo de 5 dólares cada uno y calcula que si se

venden a 𝑥 dólares por unidad, los consumidores comprarán aproximadamente

− 0 , 1 𝑥

radios por semana. ¿A qué precio debería vender cada radio para

maximizar la utilidad semanal? ¿Cuál es la utilidad máxima?

a) La función utilidad:

b)

La utilidad es máxima si cada radio se vende a 15 dólares.

Existe máxima utilidad cuando 𝑥 = 15.

Signo de 𝑈

′

ÁREA DE CIENCIAS

Solución.

− 0 , 1 𝑥

− 0 , 1 𝑥

− 0 , 1 𝑥

′

− 0 , 1 𝑥

− 0 , 1 𝑥

− 0 , 1 𝑥

′

La utilidad máxima semanal es 2231,30 dólares.

La función de demanda de pantalones es 𝑝 = 500 𝑒

− 0 , 01 𝑥

, donde 𝑥 es la cantidad de pantalones que se

demandan al precio unitario de 𝑝 soles.

a) Halle la función ingreso.

b) Halle la función ingreso marginal.

c) Calcule el ingreso marginal cuando se venden 15 pantalones. Interprete el resultado obtenido

d) Estime el ingreso que se obtiene por la venta del décimo pantalón

a) La función ingreso:

b)

El ingreso que se obtiene por la venta del décimo pantalón es de 415,83 soles aproximadamente.

ÁREA DE CIENCIAS

Solución.

− 0 , 01 𝑥

Al vender 15 pantalones, el ingreso aumenta a un ritmo de 365,80 soles por pantalón aproximadamente.

c)

− 0 , 01 𝑥

− 0 , 01 𝑥

− 0 , 01 𝑥

d)

b) 𝑥 = 0 , porque lim

𝑥→ 0

−

Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = ln(𝑥

2

− 𝑥), hallando previamente, su dominio,

las ecuaciones de sus asíntotas, los intervalos de crecimiento, los valores extremos,

los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

c)

𝑓 es creciente en 1 ; +∞

No hay valor extremo.

𝑓 es decreciente en −∞ ; 0

La gráfica de 𝑓 es ∪ en 1 ; +∞.

La gráfica de 𝑓 es ∩ en −∞ ; 0.

No hay punto de inflexión

𝑥 = 1 , porque lim

𝑥→ 1

a) 𝐷𝑜𝑚𝑓 = −∞; 0 ∪ 1 ; +∞

′

2

′′

2

2

2

−

0 1

0

−

1

d)

ÁREA DE CIENCIAS

Solución.

10