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TEMA
INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
Queremos saber si el efecto de cuatro plaguicidas es el mismo o no. Para elloplateamos el análisis del factor Plaguicida con 4 niveles o tratamientos (los cuatroplaguicidas) respecto de la variable respuesta Y=porcentaje de hortalizas dañadas.Tomamos una muestra de cada
tratamiento con tamaños muestrales n
=13, n 1
n=7 y n^3
=10. N=39, k=4. Los datos obtenidos son los siguientes: 4
Plaguicida
1
Plaguicida
2
Plaguicida
3
Plaguicida
4
8,^
8,^
9,^
8,
7,^
7,^
8,^
5,
8,^
6,^
6,^
9,
7,^
5,^
9,^
7,
5,^
7,^
7,^
6,
8,^
4,^
3,^
5,
4,^
6,^
8,^
6,
8,^
5,^
6,
8,^
8,^
8,
7,^
5,
8,6 5,3 6,
TEMA
INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
El análisis de la varianza (ANOVA) de un factor o una vía a efectos fijos nospermite contrastar la igualdad de las medias de varias poblaciones, no deúnicamente dos como hemos hecho hasta ahora. Es decir, si tenemos kmuestras provenientes de k poblaciones vamos a plantear el contraste:Para poder utilizar esta técnica es indispensable que las k poblaciones siganuna ley de probabilidad normal y que sean homocedásticas, esto es, quetengan la misma varianza. Es decir, cada i
‐ésima población seguirá una normal
con media
μy desviación típicai^
σ. Si alguno de estos requisitos no se cumplen
no es apropiado utilizar esta técnica y tendríamos que utilizar un contraste noparamétrico equivalente (por ejemplo, Kruskal
‐Wallis).
0 1
2 : : al menos dos son distintos 1
k
H^ μ H
=^
=^ ="
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INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
Cada nivel (esto es, cada muestra proveniente de una población) tendrá unamedia muestral que vendrá dada por:Esto es, la suma de todas las observaciones del nivel (o muestra) i
‐ésimo
entre el número de observaciones n
de dicho nivel. Además podemos definiri^
la media muestral total, esto es, la suma de las medias muestrales de cadanivel entre el número de niveles k:A partir de estas medias muestrales y las observaciones definimos variassumas de cuadrados
n^ i ij^1 j i
Y i Y^
= n
k Yi^1 i Y^
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AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
-^ Suma de cuadrados total o SST. Es la suma de las diferencias al cuadradode cada observación menos la media muestral total: •^ Suma de cuadrados de los tratamientos o SSA. Es la suma de la diferenciaal cuadrado de la media muestral de cada nivel menos la media muestraltotal por el número de observaciones en cada nivel: •^ Suma de cuadrados del error o SSE. Suma de las diferencias al cuadrado decada observación menos la media de su tratamiento:De manera que se cumple que
(^
nk^ i 1 1 ij i^ j SST^
Y^ Y
•• =^ =^ =
(^
k i^^1
i i SSA^
n^ Y^
Y • ••
=^ =
(^
nk^ i 1 1 ij^ i i^ j SSE^
Y^ Y
=^ =^ =
∑∑ SST^ SSA
SSE
=^
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INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
A partir de las sumas de cuadrados anteriores podemos calcular la suma decuadrados media del error (MSE) y de los tratamientos (MSA):Puesto que cada uno de estos cuadrados medios es un estadístico, es tambiénuna^
variable
aleatoria.
Como
tal,
cada
uno
tiene
una
distribución
de
probabilidad y un valor medio o esperado. Estos valores esperados sonparticularmente
importantes
porque
proporcionan
la^
base
lógica
para
contrastar la igualdad de las medias por el procedimiento ANOVA. Se puedeprobar que:
1 , donde 1
k i i
SSE MSE
N^
n
N^ k SSA MSA k
=
=^
(^
) (^
)
(^
)
2
2
2
1
1 , donde 1 k i^
i^
k
i^
i i
E MSE
n
E MSA
k^
k
σ^
μ^ μ
=
=
=^
+^
∑^
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AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
Es^ decir,
MSE
es^ un
estimador
insesgado de
2 σ.^ ¿Qué
sucede
con^
MSA?
Si
consideramos
Hcierta,^0
debe
cumplirse
que:
Y,^ por
lo^ tanto
Y,^ entonces
E(MSA)=
2 σ.^ Es
decir,
bajo
Hcierta,^0
MSA
también
es^ un
estimador
insesgado de
2 σ.^ En
cambio,
si^ H^0
es^ falsa,
MSA
sobreestima
2 a σ
,^ ya^ que
el
término
que
se^ suma
será
siempre
positivo.
1
2
i
μ^ μ
μ^ μ
=^
=^ =
(^
)^
(^
)
2
2
1
1
k^
k i^ i^
i
i^
i n^
n
k^
k
μ^ μ
μ^ μ
=^
= −^
=^
−^
∑^
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INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
En este caso, cuando H
es cierta, este cociente debe estar próximo a 1, 0
mientras que si no es cierta tomará valores superiores a 1. Es decir, valoresmuy grandes de este estadístico nos llevan a rechazar H
y, por lo tanto, el 0
criterio de rechazo que aplicaremos, para un nivel de significación
α, será:
(^
)
(^
) 0
1,
0
Rechazo Ho equivalentementesi^
, se rechaza H
k^ N^ k msaf
f mse
P^ valor
p F
f^
P^ valor
α^
−^ −
⇔^
=^
−^
=^
≥^
⇔^
−^
Los resultados de un análisis de la varianza se suelen presentar en una tablallamada tabla de ANOVA:
Fuente de variación
suma de cuadrados
g.l.^
cuadrados medios
f^
p-valor
Tratamientos
ssa^
k-1^ msa=ssa/(k-1)
msa/mse
p(F≥f)
Error^
sse^
N-k^ mse=sse/(N-k)
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ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
Queremos saber si el efecto de cuatro plaguicidas es el mismo o no. Para elloplateamos el análisis del factor Plaguicida con 4 niveles o tratamientos (los cuatroplaguicidas) respecto de la variable respuesta Y=porcentaje de hortalizas dañadas.Tomamos una muestra de cada
tratamiento con tamaños muestrales n
=13, n 1
n=7 y n^3
=10. N=39, k=4. Los datos obtenidos son los siguientes: 4
Plaguicida
1
Plaguicida
2
Plaguicida
3
Plaguicida
4
8,^
8,^
9,^
8,
7,^
7,^
8,^
5,
8,^
6,^
6,^
9,
7,^
5,^
9,^
7,
5,^
7,^
7,^
6,
8,^
4,^
3,^
5,
4,^
6,^
8,^
6,
8,^
5,^
6,
8,^
8,^
8,
7,^
5,
8,6 5,3 6,
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INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
Prueba de Levene para homogeneidad de varianzas La técnica del ANOVA es muy sensible a la homocedasticidad. Por eso esconveniente comprobar que las varianzas son iguales. Es decir, plantearemosel contraste: Para desarrollar este contraste se utiliza, entre otros, el estadístico W deLevene, definido como:donde
2
2
2
0 1
2 : : al menos dos difieren 1
k
H^ σ H
=^
=^ =…
(^
)^
(^
(^
)^
(^
1
2 1 1
k i^ i
i i nk
ij^ i i^ i^ j N^ k
n^ Z^
Z
W
k^
Z^
•^ •• Z
=
−^
1 1
1
,^
mediana de la iésima clase
1
i^
i
ij^
ij^ i^
i n^
n
k
ij^
i^
ij
i^ j^
ji
Z^
Y^ Y
Y
Z^
Z^
Z^
Z
N^
n
-^
••^
=^ =^
=
=^
−^
=^
^
TEMA
INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
Este estadístico bajo H
cierta sigue una ley F de Fisher con (k 0
‐1) y (N
‐k)
grados de libertad. Entonces el criterio para rechazar H
, con un nivel de 0
significación
α, es:
(^
)(^
)
(^
)(^
)
(^
0
0
se Rechaza H
se Rechaza H
w^ F
k^
N^ k
o si P^
valor
p F
k^
N^ k
w
P^ valor
α
⇔^
≥^
−^
−^
=^
−^
−^ ≥
⇔^
−^
En el ejemplo anterior de los plaguicidas el valor del estadístico w=0.3484. Como
(^ )(^
) (^3) 0.
F^
no^ rechazamos
la^ hipótesis
de^ homocedasticidad.
El^ P‐
valor
sería:
(^ )(^
)
(^
P^ valor
p F −^
=^
≥^
TEMA
INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
EJERCICIO 63
Para investigar si hay diferencias significativas en el efecto producido por cuatro fármacos respecto de una determinada variable fisiológica, se diseñó elsiguiente
experimento.
Se^
tomó
una
muestra
aleatoria
de^
45 pacientes
y^ se
distribuyeron al azar en cinco grupos del mismo tamaño, reservando un grupo paracontrol y administrando cada fármaco a los pacientes de un grupo. Se contrastó lanormalidad y la homocedasticidad
y se aplicó un anova. Para la suma de los
cuadrados de los tratamientos (SSA) se obtuvo el valor 70,856 y para la suma de loscuadrados del error o dentro de los grupos (SSE) el valor 25,395. Describir la tablaanova.
Explicar
razonadamente
si^ debe
aceptarse
o^ rechazarse,
a^ un
nivel
de
significación
α =0,05, la hipótesis "no hay diferencia entre los efectos". Una vez
realizado el contraste y adoptada la decisión consecuente ¿de qué modo debieraprocederse?^ Como
el^ p‐
valor
es^ menor
que^
el^ nivel
de^ significación,
rechazamos
la^ hipótesis
de
que^ no
hay^ diferencia
entre
los^ efectos.
Lo^ que
deberíamos
hacer
ahora
es^ un
contraste
a^ posteriori
(LSD
de^ Fisher
por^ ejemplo)
para
determinar
entre
qué
tratamientos
hay^ diferencias
(^0 1) significativas. :^2 : al menos dos son distintos 1
k
H^ μ H
μ
μ =^ =
="
Fuente^
de^ variación
suma
de^ cuadrados
g.l.^
cuadrados
medios
f^
p‐valor
Tratamientos
70.^
5 ‐^1
17.^ 27.^
4e‐^11
Error^
25.^
45 ‐^5
TEMA
INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
EJERCICIO 64
Interesa comparar la rapidez con que actúan tres analgésicos, se eligen aleatoria e independientemente 18 pacientes se les distribuye al azar en cuatro grupos, demodo que haya 3 en el primero y 5 en cada uno de los otros tres, cuando el paciente declaraestar afectado por dolor de cabeza se le administra el fármaco y se mide el tiempotranscurrido hasta que declara que ha desaparecido el dolor, en unidades de 15 minutosredondeando a la más próxima. Al grupo 1 se le administra un placebo (sin efecto alguno),al 2 el fármaco A, al 3 el fármaco B y al 4 el fármaco C. Los resultados se recogen en lasiguiente tabla:
Vamos a analizar el factor analgésico con 4 niveles: 1 placebo, 2fármaco A, 3 fármaco B y 4 fármaco C, respecto a la variablerespuesta
Y=tiempo
transcurrido
hasta
que
se^
declara
la
desaparición del dolor. N=18 y k=4 (k
‐1=3, N
‐k=14)
Grupo^ 1 Grupo
2 Grupo
3 Grupo
4
7
4
3
3
6
6
4
3
8
5
5
2 4
5
4 5
5
3
Primero contrastamos la homocedasticidad para ver si podemos aplicar un ANOVA. El valordel estadístico de Levene es w=0.1324, y su p
‐valor=0.94. Por lo tanto no rechazamos la
hipótesis nula de igualdad de las varianzas y podemos aplicar el ANOVA.
Fuente^ de
variación
suma
de^ cuadrados
g.l.^
cuadrados
medios
f^
p‐valor
Tratamientos
(entre^ grupos)
30.^
3
10.^ 14.^
Error^ (intra
grupos)
10.^
14
Como el p
‐valor del ANOVA es inferior a
α, rechazamos la hipótesis nula de igualdad entre
las medias de los tratamientos o niveles. Es decir, al menos dos tratamientos tienen mediasdiferentes.
TEMA
INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
EJERCICIO 66 Se ha diseñado un experimento de laboratorio reservando un grupo 0 comogrupo control y tratando a otros dos grupos, I y II; en todos los casos con muestras delmismo tamaño; con diferentes acciones. Los resultados se recogen en el siguiente cuadro:Las medias de los grupos o tratamientos han sido: grupo 0: 22.858, grupo I: 29.57, grupo II:31.638, y
t (12)(0.025)
=2.179. La prueba de Levene ha provocado un
P ‐valor de 0.37. Analizar las
siguientes proposiciones y señalar cuáles son acertadas y cuáles son erróneas: a)^ El
análisis
es^ válido
si^ se ha^ contrastado
normalidad
en^ los
tratamientos.
Cierto
Fuente^
de^ variación
suma
de^ cuadrados
g.l.^
cuadrados
medios
f^
p‐valor
Tratamientos
(entre^ grupos)
2
16.^
Error^ (intra
grupos)
76.^
12
Totales
14
b)^ La
prueba
de^ Levene
no^ induce
al^ rechazo
de^ la
hipótesis
nula,
es^ admisible
la
homocedasticidad de
los^ grupos.
Cierto c) Se^ rechaza
la^ hipótesis
nula
de^ que
las^ medias
de^ las
poblaciones
es^ la
misma
Cierto
para
un^ nivel
de^ significación
α=0.05,
puesto
que^
el^ p‐valor=0.
d)^ p(F
Falso,
este valor
es^ precisamente
el^ P‐
valor=0.
TEMA
INTRODUCCIÓN
AL^
ANÁLISIS
DE
LA^
VARIANZA
e)^ Hay
diferencias
estadísticamente
significativas
entre
los^ grupos
I^ y^ II.
Falso, ya que: f) Hay^
diferencias
estadísticamente
significativas
entre
los^ grupos
0 y^ I.
Cierto, ya que: g) Hay^
diferencias
estadísticamente
significativas
entre
los^ grupos
0 y^ II.
Cierto,
ya^ que: h)^ Se
concluye
que^ las^ dos
acciones
tienen
efecto
y^ que
no^ hay
una^
diferencia
estadísticamente
significativa
entre
ellas
Cierto
(^ )
2 3
2 3
12
1 1
1 1
5 5
y^ y
t
mse^ −^ • • n^ n
− =^
=^
<^
=
⎛^
⎞^
⎛^
⎞+
+^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎝^
⎠
⎝^
⎠
(^ )
1 2
1 2
12
1 1
1 1
5 5
y^ y
t
mse^ −^ • • n^ n
− =^
=^
^
=
⎛^
⎞^
⎛^
⎞+
+^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎝^
⎠
⎝^
⎠
(^ )
1 3
1 3
12
1 1
1 1
5 5
y^ y
t
mse^ −^ • • n^ n
− =^
=^
^
=
⎛^
⎞^
⎛^
⎞+
+^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎝^
⎠
⎝^
⎠
i)^ El
número
total
de^ observaciones
es^14
Falso,
es^15 j)^ Una
estimación
puntual
de^ la
varianza
común
a^ todos
los^ grupos
es^ 6.
Cierto,
se^ trata
de^ mse=6.
