CLASIFICACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS
Consideremos la forma cuadrática: , donde A es una matriz cuadrada, de orden n y simétrica.Ahhh t
) )(
Sean D1, D2, ..., Dn los menores principales de A y n
O
O
,...,
1 sus valores propios.
MENORES PRINCIPALES VALORES PROPIOS SIGNO DE LA FORMA
CUADRÁTICA
D1, D2, ..., Dn > 0 n
O
O
,...,
1 > 0 D+
D1 < 0, D2>0, ..., °
¯
°
®
!
!
imparesnsi0
paresnsi0
n
Dn
O
O
,...,
1 < 0 D-
D1, D2, ..., Dnt 0, con Dn = 0
bajo cualquier transformación fila-columna n
O
O
,...,
1t 0 y algún valor propio nulo SD+
D1d 0, D2t0, ..., °
¯
°
®
d
t
imparesnsi0
paresnsi0
n
D
Dn = 0
bajo cualquier transformación fila-columna
n
O
O
,...,
1d 0 y algún valor propio nulo SD-
En otro caso Algún valor propio positivo y algún valor propio negativo Indefinida
NOTAS:
1. Si en la diagonal principal de la matriz hay alternancia de signo, la forma cuadrática es indefinida.
2. Los valores propios de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal principal. Por ello, si la matriz es diagonal, se suele clasificar la
forma cuadrática por el signo de los autovalores.
3. La matriz nula es semidefinida positiva y negativa.
