Tema3:
Elementosdecálculomatricial
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Asignatura: Econometría, Profesor: , Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UGR
Tipo: Apuntes
2011/2012
1 / 43
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Tema
Elementos
de
cálculo
matricial
‐^
Traza
y
rango
de
una
matriz.
Propiedades.
‐^
Matrices
particionadas:
determinante
e
inversa.
‐^
Valores
y
vectores
propios
de
una
matriz.
Propiedades.
Caso
de
una
matriz
idempotente.
‐^
Diagonalización de
matrices.
Diagonalización de
matrices
simétricas.
‐^
Formas
cuadráticas.
‐^
Matrices
definidas
positivas.
Propiedades.
‐^
Cálculo
diferencial
en
notación
matricial.
-^
Vector
columna:
Una
matriz
que
consta
de
M
filas
y
sólo
una
columna
se
denomina
vector
columna.
x
-^
Vector
fila:
Una
matriz
que
consta
de
sólo
una
fila
y
N
columnas
se
denomina
vector
fila.
x’
Tipos
de
matrices:
ejemplos
•^
Matriz
cuadrada
•^
Matriz
diagonal
•^
Matriz
triangular
superior
•^
Matriz
triangular
inferior
n=m a^ ij
es 0 para i distinto de j
a^ ij
es 0 para? a^ ij
es 0 para?
-^
Matriz
simétrica
-^
Matriz
idempotente:
A.A=A
-^
Matriz
inversa:
A
‐^1
de
A
si
A.A
‐^1
A
‐^1
.A
I
-^
Vectores
ortogonales
vectores
equidimensionales son
ortogonales
sii x’.y
y’.x
-^
Vectores
normales
o
normalizados
x^
es
normal
si
x’.x
-^
Vectores
ortonormales
n^
vectores
equidimensionales si
x’
.xj =i
-^
Matriz
ortogonal:
si
A’ =
A
‐^1
y
|A|=+
o
a^ ij
= a
ji
A
2
= A
A
n^
1 si i=j0 si no
Operaciones
con
matrices
•^
Suma
•^
Diferencia
(a
) + (bij^
) = (cij^
= aij
- bij^
)ij^
(a
) - (bij^
) = (cij^
= aij
ij^
- b
)ij
Propiedades
- Conmutativa - Asociativa - Elemento neutro: 0
nxm
- Opuesto de A: -A - Elemento simétrico
Propiedades
del
producto
No
es
necesariamente
conmutativo
Un
vector
fila
x
un
vector
columna
escalar
Un
vector
columna
x
un
vector
fila
matriz
Una
matriz
postmultiplicada por
un
vector
columna
es
un
vector
columna
Un
vector
fila
postmultiplicado por
una
matriz
es
un
vector
fila
La
multiplicación
de
matrices
es
asociativa.
La
multiplicación
de
matrices
es
distributiva
con
respecto
a
la
suma.
Traza
y
rango
de
una
matriz
•^
La
traza
de
una
matriz
cuadrada
es
la
suma
de
los
elementos
de
la
diagonal
principal.
Propiedades
de
la
traza
La
traza
del
producto
de
un
escalar
por
una
matriz
se
obtiene
como
el
producto
del
escalar
por
la
traza
de
la
matriz
La
traza
de
una
suma
de
matrices
se
puede
obtener
como
la
suma
de
las
trazas
de
las
matrices
La
traza
de
la
matriz
identidad
es
igual
a
su
orden
La
traza
del
producto
A.B coincide
con
la
traza
del
producto
B.A (propiedad
circular)
La
traza
del
producto
A.B.C no
se
altera
cuando
se
permutan
circularmente
los
factores
de
dicho
producto
Sea
A
una
matriz
cuadrada
de
orden
n
de
variables
aleatorias,
entonces
la
esperanza
matemática
de
la
traza
es
igual
a^
la
traza
de
la
esperanza
matemática
n^1
ii
i
trA
a
=
Matrices
particionadas:
determinante
e
inversa
•^
Determinante
:^
es
una
función
real
de
una
matriz
cuadrada.
Ejercicio:
Cálculo de A
4x
mediante Adjuntos
Propiedades
del
determinante
|A|=|A’|.
Si
se
cambian
de
orden
líneas
paralelas
Î
|A cambiada|=
‐|A|.
Si
A
tiene
líneas
iguales
Î
|A|=
Si
A
tiene
una
línea
de
ceros
Î
|A|=
Sea
A
una
matriz
nxn
Î
|λ
.A|=
λ
n|A|
Si
A
tiene
una
línea
que
es
combinación
lineal
de
otras
líneas
Î
|A|=
Sean
A
y
B
cuadradas
de
igual
orden
Î
|A.B|=|A|.|B|
Sea
A
triangular
o
diagonal
Î
|A|=
Si una matriz tiene determinante cero es
singular. n^1
ii
i
a
∏^ =
-^
Cálculo
de
la
inversa:
Se
sustituye
cada
elemento
por
su
cofactor
o
Adjunto
c
ij
M
ij
es
el
menor
del
elemento
ij
Trasponemos
la
matriz
Dividimos
cada
elemento
por
el
determinante
de
la
matriz
original
ij
j i^
M
c
ij
−
=
) 1 (
1
ij
c
A
A
−
-^
Propiedades
de
la
inversa:
- (A
‐^1
)^
‐^1
=
A
- (AB)
‐^1
=
B
‐^1
.A
‐^1
- (A
‐^1
)’ =
(A’)
‐^1
- |A
‐^1
|=1/|A|
- A
diagonal
(a
)ii^
A
‐^1
=
(1/
a
)ii^
Se les aplica las reglas generales para suma y producto, siempre y cuando las submatrices sean de dimensiones apropiadas.
Determinante
de
una
matriz
particionada
:
-^
Si
A
y/o
A
=
0
y
A
=
I
Î
|A|=|A
|
-^
Si
A
y/o
A
=
0
Î
|A|=|A
|.
|A
|