1
Tema 5
Solución inicial y convergencia
Ramón Álvarez-Valdés,
Departament d’Estadística i Investigació Operativa
Universitat de València
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Asignatura: Programació Lineal, Profesor: ramon valdes, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
1 / 27
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Tema 5
Solución inicial y convergencia
Ramón Álvarez-Valdés,
Departament d’Estadística i Investigació Operativa
Universitat de València
2
Obtención de una solución inicial para el algoritmo del Simplex^ •El Método Simplex necesita una solución posible básica inicial•No siempre se dispone de forma sencilla de dicha solución•En este tema desarrollaremos un procedimiento, el
Método de las Dos Fases
que garantiza la obtención de una solución posible básica, a partir de la cualprocederá el algoritmo, o demuestra que no existe ninguna solución y elproblema es imposible•Existen otros métodos:
Método de las Penalizaciones, Método de la única
variable artificial,
que serán introducidos brevemente.
4
Solución posible básica inicial:
Variables artificiales
Introducir variables artificiales
IDEA :
0 0 Ax
b x b
= ≥ ≥
,^
0 0
a a Ax
x^
b
x^
x b
+^
= ≥ ≥
básicas:
(y, quizá, alguna original)
x^ a
Al resolver el problema, si
x^ a
tenemos solución del problema original
V^
VARIABLE ARTIFICIAL
ARIABLE DE HOLGURA
En el ejemplo:
1
2
3
4
1
2
3
5
1
2
3
4
5
+^
,^
,^
,^
,^
,^
x^
x^
x^
x
x^
x^
x^
x
x^
x^
x^
x^
x
−^
−^
+^
−^
=^
−^
+^
+^
+^
=^
≥^
6
x x 6
(^
) 6
5
Base:
,^
,^
B
a^
a^
x^
^
=^
El Método de las Dos Fases
FASE 1 :
(^
)
Resolver el problema:
,^
+^
=^
≥^
a
a
a a
Min
x s a
Ax
x
b^
P
x^ x
partiendo de la SPB inicial formada por
( y quizá alguna variable original) a x
Si en la solución óptima
problema
original imposible
≠^
xa
Si en la solución óptima
pasamos a la Fase 2 con la solución óptima de la
Fase 1
=^
xa
FASE 2 :^ Partiendo de la solución óptima de la Fa
se 1
(^
)^
(^
) 1
,^
con base asociada − = B^
N x^
x^
B^
b^
B
1
1
Resolver el problema:
,^
−^
−
+^
+^
=^
≥^
B^ B
N^ N
B^
N
B^
N
Min c x
c x
s a
x
B^
Nx
B^
b
x^
x
La solución óptima de la Fase 2 es la so
lución óptima del problema original
b1) Eliminar variables artificiales y pasar a Fase 2
1
1
1
-^
B^
N^
a
B^
x^ m
x^
x^
RHS
x^
I^
B^
N^
B^
B^
b
−^
−^
−
1
1
1
1
B^
N^
B
B^
N^
a
B^
x^ m
x^
x^
RHS
x
c B
N
c^
c B
b
I^
B^
N^
B
−^ −
−
−
1
B^
− b
Recuperar
original c
1
j^
j^
B^
j^
j
z^
c^
c B
a
c −
−^
=^
1 B z^
c B
− b
8
Análisis del Método de las Dos Fases \
b2)
Algunas variables artificiales est
án en la base con valor 0
En este caso, no podemos eliminar todaví
a las variables artificiales
1.- Paso directo a la Fase 2
- eliminar las variables artificiales no
básicas
- recuperar la función objetivo original y calcular
y los
− j
j
z^
z^
c
- resolver el problema:
las variables artificiales no pueden tom
ar valores positivos
Si al elegir la variable que entra
,^
0 para alguna variable artificial
esta variable podría hacerse positiva:
∃^
<^ =
k^
rk^
r
r^
rk^ k
x^
y^
x
x^
y^
x
Para evitar esto, elegimos
como vari
able de salida, aunque
r^
rj
x^
y
Si hacemos esto, las demás variables y l
a función objetivo no cambian (ya que
xr
2.- Eliminar primero las variables artif
iciales
si^
sobre el que pivotar, pivota
mos sobre él
sale la variable artific
ial
−^
∃^
≠^
yrk
entra una variable original →
no cambia la solución →
si^
0,^
la restricción es redun
dante y podemos eliminar fila y columna
−^
=^
∀^
y^ rk
k
Ejemplo 1 \
1
2 1
2 1
2 1
2
-^
.^
,^
Min
x^
x
s a
x^
x
x^
x
x^
+ +^ x
+^
(4,0)
(0,4)
(9,0)
(0,6)
Ejemplo 2
1
2 1
2 1
(^22) 1
2
.^
-^
,^
Min
x
x
s a
x^
x
x^
x x
x^
x
−^ +
+^
1
2 1
2
3
1
2
4
2
5
1
2
3
4
5
.^
-^
,^
,^
,^
,^
Min
x
x
s a
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x
x^
x^
x^
x^
x
−^ +
−^
+^
−^
+^
1
2 1
2
3
1
2
4
2
5
1
2
6
7 7
4
5
6
3 2
.^
2
-^
1 3
,^
,^
,^
,^
,^
0 ,
Min
x
x
s a^
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x
x^ x^
x
x
x
x x^
x
x
−^ +
−^
+^
=
+^
−^
+^
=
+^
= ≥
Fase 1:
6
7 1 2
3
6
1
2
4
7
2
5
1
2
3
4
5
6
7
.^
-^
,^
,^
,^
,^
,^
,^
Min
x
x
s a
x^
x^
x^
x
x^
x^
x^
x
x^
x
x^
x^
x^
x^
x^
x^
x
+^ +
−^
+^
+^
−^
+^
+^
4 2 5
-^
0
2
0
0
2
0
-^
1
0
1
1
1
-^
0
0
2
x x x^
0
1
0
1
1
1
2
3
4
5
1 2
0
0
1 2
3 2
0
-5 2
1
0
-1 2
1 2
0
1 2
0
1
-1 2
-1 2
0
3 2
Base
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x x x^5
0
0
1 2
1 2
1
3 2
Ejemplo 2 \
(^423)
-^
0
0
0
-^
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
1
3
x x x^
-^
0
1
0
1
1
Fase 2:
1
2 1
2
3 1
2
4
2
5
2
.^
2
-^
1 3
Min
x
x
s a^
x^
x^
x x^
x^
x
x^
x
−^ +^
−^
=
+^
−^
= +^
=
(^
1 2)
5
1,^
2, 0
3 2
2 3 2
B z^
c b
^
^
=^
=^
−^
= − ^
^
^
(^
) 1
3
3
3
3
3
3
1 2
1
= 1,
2, 0
1 2
2 1 2
B^
B
z^
c^
c B
a
c^
c y
c
−
−^
=^
−^
=^
−^
=
−
^
−^
−^
= ^
^
^
(^
) 1
4
4
4
4
4
4
1 2
3
1,^
2, 0
1 2
2 1 2
B^
B
z^
c^
c B
a
c^
c y
c
−
−^
=^
−^
=^
−
^
^
=^
−^
−^
= ^
^
^
1 2 5
a partir de la solución
^
^
^
^
^
^
=^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
B
x x^
x x
Ejemplo 2 \
1
2 1
2 1
(^22) 1
2 2
.^
-^
,^
Min
x
x
s a
x^
x x^
x x x^
x −
+^
+^
(0,1)^ (0,0)
(1/2,3/2)
(0,3) (0,2)
5 2
4
0
0
2
0
-^
0
8
2
0
0
1
1
-^
0
4
-^
1
0
-^
0
1
x x^73
0
0
2
0
0
1
0
-^
1
4
0
0
1
1
0
0
1
2
x x^12
0
0
0
0
-^ -^
0
0
1
0
0
1 2 1 2
-1 2
0
2
0
1
0 -3 2
1 2
1 2
0
x x^73
2
0
0
0
0
-^1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
2
(^56) x x
0
4
0
-^
0
0
0
8
1
1
0
-^
1
0
0
4
-^
1
0
-^
0
1
x x^73
0
0
0
2
0
-^
0
0
0
4
0
0
1
1
0
0
1
2
x x
1
2
3
4
5
6
7
5
0
4
6
0
0
0
0
20
1
1
1
0
1
0
0
Base
x^
x^
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x^674
6
-^
1
2
0
0
1
0
4
0
2
3
0
0
0
1
10
0
0
1
1
0
x x x^
0
0
2
Ejemplo 3 \
Redundante:
x
Ejemplo 3 \
Fase 2:
1
2
3
1
2
3 1
2
3 2
3 3
4
1
2
3
4
-^
.^
-^
,^
,^
,^
Min
x^
x^
x
s a
x^
x^
x x^
x^
x x^
x x^
x
x^
x^
x^
x
+^
+^
+^
+^
+^
1
2
3
4
1 2
-^4
x^
x^
x^
x^
RHS
x x^3
x
Solución óptima
Técnica de la única variable artificial
(^
Si tenemos una solución básica no posibl
e^
b
1
1
B^
N
Ix^
B^
Nx
B^
b^
b
−^
−
+^
=^
=
- introducimos una variable artificial,
la misma en todas las restricciones
1 B^
N^
a
Ix^
B^
Nx
x^
b
−
+^
−^
{^
}^
(^
1
-^
entra en la base, y sale
tal q
ue
min
≤ ≤
=^
a^
r^
r^
i^ m
i^
r
x^
x^
b^
b^
b
(^
- al pivotar:
0
r^
r
b^
b ′^ = −
≥^ (^
i^
i^
r
b^
b^
b ′^ =
−^
≥
tenemos SPB con 1 variable artificial
Método de las dos fases Método de las penalizaciones
20
1
2
3
4
5
3 4
-^ -^
-^
-^
-^
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x x
Ejemplo
1
2 1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
.^
-^
,^
,^
,^
Min
x^
x
s a
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x^
x^
x
- +^
−^
+^
−^
1
2 1
2 1
2 1
2 2
3
.^
3
-^
2 ,^
0
Min
x^
x
s a
x^
x x^
x x^
- +^ x
≥ +^
≥ ≥
1
2 1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
.^
,^
,^
,^
Min
x^
x
s a
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x^
x^
x
−^
−^
+^
=^
−^
+^
=^
Base no posible
Introducimos una variable artificial:
1
2 1
2
3
1
2
4
1
2
3
4
5 5 5
.^
,^
,^
,^
,^
Min
x^
x
s a
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x^
x
x
x
x
x
−^
−^
+^
=^
−^
+^
=^
5 4
-^
-^
x x
5
3
entra
,^
sale x^
x
SPB inicial (Método de las 2 fases)