problemes, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga problemes y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Problemas de

Programaci´on Lineal

Curso 2006-

Departamento de Estad´ıstica e Investigaci´on Operativa

Universitat de Val`encia

Tema 2: Conjuntos Convexos Problemas

1. Sea S = { x ∈ IR

n : Ax ≤ b }, con A una matriz m × n y b ∈ IR

m , el conjunto de soluciones

posibles de un problema de Programaci´on Lineal. Demostrar que S es convexo.

1. Demostrar que el conjunto de soluciones ´optimas de un problema de Programaci´on Lineal es un

conjunto convexo.

1. Sea S un conjunto convexo de IR

n y a, b escalares positivos. Demostrar que aS + bS = (a + b)S,

y encontrar un ejemplo que demuestre que la convexidad de S es necesaria.

1. Representar gr´aficamente la envoltura convexa de los siguientes conjuntos de puntos:

a) { (x, y) ∈ IR

2 : y = x

2 }.

b) { (x, y) ∈ IR

2 : y = x

2 , x ≥ 0 }.

c) { (x, y) ∈ IR

2 : y = senx }.

1. Describir algebraicamente la envoltura convexa de S =

1. Sean A, B ⊆ IR

n

. Demostrar:

a) Si A ⊆ B y B convexo, entonces Co(A) ⊆ B.

b) Si A ⊆ B, entonces Co(A) ⊆ Co(B).

c) Co(A) ∪ Co(B) ⊆ Co(A ∪ B).

d) Co(A ∩ B) ⊆ Co(A) ∩ Co(B).

e) Dar ejemplos en los que no se d´e la igualdad de los apartados (c) y (d).

1. Demostrar que la envoltura convexa de un conjunto A ⊆ IR

n acotado es un conjunto acotado.

1. Sea S ⊆ IR

n

. Demostrar que K(S) = K(Co(S)).

1. Dados x

1

, x

2

, x

3

, x

4

y x =

7

4

5

4

. Se comprueba

f´acilmente que

x =

x

1

x

2

x

3

x

4

Utilizar el procedimiento empleado en la demostraci´on del Teorema de Caratheodory para ex-

presar x como combinaci´on convexa de x

1 , x

2 y x

3

. ¿ Se puede obtener otra expresi´on de x

alternativa?.

Tema 4: El M´etodo Simplex. Algoritmo B´asico del Simplex Problemas

1. Resolver el siguiente Problema de Programaci´on Lineal gr´aficamente y utilizando el M´etodo

Simplex. Observar en el dibujo la secuencia de puntos extremos visitados.

Max 5 x 1

• 4 x 2

s.a.: x 1 + 2 x 2 ≤ 6

− 2 x 1 + x 2 ≤ 4

5 x 1 + 3 x 2 ≤ 15

x 1 , x 2 ≥ 0

1. Supongamos que tenemos una soluci´on posible b´asica no degenerada y que hay una variable no

b´asica que puede entrar en la base y mejorar el valor de la funci´on objetivo actual. Demostrar

que si el m´ınimo que determina la variable que sale de la base se alcanza en un ´unico ´ındice,

entonces la nueva soluci´on posible b´asica tambi´en es no degenerada. ¿ Podemos afirmar lo mismo

si la soluci´on posible b´asica de la que se parte es degenerada?

1. Sea

S =

x 1 + 2 x 4 − x 5 − x 6 = 0

x ∈ IR

6 : x 2 − 3 x 4 + x 5 − 2 x 6 = 2 , x ≥ (^06)

x 3 − x 4 + 2 x 5 = 1

Considerando la base B = {a 1 , a 2 , a 3 } analizar desde el punto de vista de la Programaci´on

Lineal qu´e ocurrir´ıa si cada una de las siguientes variables entrase en la base: x 4 , x 5 o x 6. Nota:

Considerar cada caso por separado.

1. Dado el poliedro

S =

x 1

• 2 x 2

x ∈ IR

2 : x 1

− x 2

≤ 4 , x ≥ 0 2

x 2 ≤ 2

Dibujar e identificar la regi´on de soluciones posibles. Si en una iteraci´on del m´etodo simplex

estamos en el punto extremo (x 1

, x 2

t = (4, 0) y pasamos al (

14

3

2

3

), ¿ qu´e variable ha salido de

la base ?, ¿ cu´al ha entrado ?, ¿ a qu´e otro punto podr´ıamos haber llegado?

1. Resolver el siguiente Problema de Programaci´on Lineal utilizando el algoritmo del simplex en

formato tabla. Identificar en cada iteraci´on B y B

− 1 .

Max 3 x 1

• 2 x 2

• x 3

s.a.: 2 x 1

− 3 x 2

• 2 x 3

−x 1

• x 2

• x 3

x 1

, x 2

, x 3

1. Resolver el siguiente Problema de Programaci´on Lineal utilizando la tabla del simplex y comen-

zando con la soluci´on posible b´asica asociada a (x 1 , x 2 )

t = (4, 0).

Min x 1 − 2 x 2

s.a.: 3 x 1 + 4 x 2 = 12

2 x 1

− x 2

x 1

, x 2

Ayuda: Identificar la base inicial y calcular su inversa.

1. Dada la siguiente tabla del simplex en una iteraci´on cualquiera de un problema de minimizaci´on

donde todas las restricciones son del tipo ≤ y las variables x 4

, x 5

y x 6

son de holgura, responder

a las siguientes cuestiones justificando la respuesta:

Base x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

RHS

z - -3 - -1 0 - -

x 3 -

1

2

1

2

x 1

1

2

1

2

x 6

(a) Completar la tabla. Si es una tabla ´optima dar, si es posible, dos soluciones ´optimas del

problema.

(b) Dar la formulaci´on del problema original.

1. En una iteraci´on cualquiera del m´etodo simplex aplicado a un problema de minimizaci´on en el

que todas las restricciones eran del tipo ≤ y en el que se a˜nadieron variables de holgura x 3 , x 4

y x 5 se obtuvo la siguiente tabla:

Base x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS

z 0 a b 0 0 f

x 1

1 -2 4 0 0 c

x 4 0 -1 5 1 0 d

x 5 0 0 7 0 1 e

Suponiendo que a < 0, b ≤ 0, c ≥ 0, d ≥ 0 y e ≥ 0, contestar a las siguientes preguntas:

(a) ¿ Qui´en es B

− 1 ?

(b) ¿ y B?

(c) ¿ Es ´optima la tabla obtenida?

(d) Obtener la tabla original en funci´on de los par´ametros dados.

1. Encontrar una soluci´on del siguiente problema cuyo coste sea menor que -2000.

Min − x 1 − 3 x 2

s.a.: − 2 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2

− x 1 + x 2 − x 3 ≤ 1

x 1

, x 2

, x 3

1. La tabla siguiente corresponde a un problema de programaci´on lineal de maximizaci´on:

Base x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS

c 2 0 0 0 10

x 3

-1 a 1

x 4

a 2

x 5 a 3 3 0 0 1 b

Establecer las condiciones que han de cumplir a 1

, a 2

, a 3

, b y c para que se den las siguientes

situaciones:

(a) La soluci´on es ´optima, con soluciones ´optimas alternativas.

(b) El problema es no acotado (dar la direcci´on extrema correspondiente).

(c) El problema es imposible.

(d) La soluci´on es posible, pero no ´optima. Indicar qu´e variable entrar´ıa en la base y cu´al

saldr´ıa, en funci´on de los valores de a 1 , a 2 , a 3 , b y c.

Tema 6: Teor´ıa de la Dualidad Problemas

1. Dado el problema:

Min 2 x 1

• 3 x 2

• 5 x 3

• 6 x 4

s.a.: x 1

• 2 x 2

• 3 x 3

• x 4

− 2 x 1 + x 2 − x 3 + 3 x 4 ≤ − 3

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0

(a) Formular su dual.

(b) Resolver gr´aficamente el problema dual.

(c) Resolver el problema primal con la informaci´on recopilada en el apartado anterior.

1. Consid´erese el problema

M in{ c

t x : Ax = b, x ≥ 0 },

en el que m = n, c = b y A = A

t

. Demostrar que si existe un punto ¯x cumpliendo A¯x = b con

¯x ≥ 0, entonces ¯x es la soluci´on ´optima del problema.

1. Demostrar que al convertir un problema de maximizaci´on en uno de minimizaci´on cambia el

signo de las variables duales.

1. Un panadero fabrica tres tipos de pan: integral, blanco y panecillos de leche. Para su elaboraci´on

necesita principalmente harina y levadura. Si semanalmente solamente puede disponer de 250

kilos de harina y de 300 gramos de levadura, ¿ c´omo deber´ıa planificar su producci´on semanal

para que el beneficio sea m´aximo? A continuaci´on se dan los precios de venta de los diferentes

tipos de pan y las cantidades de harina y levadura necesarias para su elaboraci´on.

Integral Blanco Panecillos

Harina 1 2 2

Levadura 2 1 3

Precio (ptas.) 20 60 30

(a) Formular y resolver el problema dual.

(b) Un comercial le ofrece m´as harina y m´as levadura. ¿ Qu´e precio estar´ıa dispuesto a pagar

el panadero por un kilo m´as de harina? ¿ y por un gramo m´as de levadura? Suponer que

los cambios mencionados no provocan un cambio de base ´optima.

(c) ¿ A qu´e precio deber´ıa venderse el panecillo de leche para que resultase interesante pro-

ducirlo?

(d) ¿ y el pan integral?

(e) Justifica razonadamente y desde un punto de vista econ´omico las respuestas anteriores.

1. Dados los problemas:

(P ) M in c

t x (Q) M in c

t x

s.a. : Ax = b s.a. : Ax = b

′

x ≥ 0 x ≥ 0

Demostrar, utilizando la teor´ıa de la dualidad, que si P tiene soluci´on ´optima finita, entonces Q

no puede ser no acotado, para cualquiera que sea el valor de b

′ .

1. Considerar los dos problemas de programaci´on lineal:

(P 1) M in z 1

= c

t x (P 2) M ax z 2

= c

t y

s.a. : Ax ≥ b s.a. : Ay ≤ b

x ∈ IR

n y ∈ IR

n

en donde A es una matriz m × n, b ∈ IR

m y c ∈ IR

n

. Demostrar que:

(a) Si ambos problemas son posibles y uno de ellos tiene soluci´on ´optima, el otro tambi´en la

tiene.

(b) Si ambos problemas son posibles y P 1 es no acotado, entonces P 2 tambi´en es no acotado.

1. Dado el siguiente problema :

Min z = c

t x

s.a.: Ax = b

l ≤ x ≤ u

x ∈ IR

n

en donde A es una matriz m × n, b ∈ IR

m y c, l, u ∈ IR

n .

(a) Escribe su dual.

(b) Demuestra que el problema dual siempre tiene una soluci´on posible. Encuentra una.

(c) Si el problema primal posee una soluci´on posible, ¿ qu´e conclusiones se pueden extraer?

1. Considerar el problema lineal:

Min −x 1

− 2 x 2

• 4 x 3

• 5 x 5

s.a.: x 1

• x 3

− 2 x 4

− x 5

• 2 x 6

x 1

• x 2

− x 4

− 3 x 5

• 3 x 6

• x 7

−x 1

− 2 x 2

− x 3

− x 4

• 5 x 5

− 2 x 6

x 1

, x 2

, x 3

, x 4

, x 5

, x 6

, x 7

Comprobar que x = (3, 4 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0) es una soluci´on ´optima del problema utilizando las condi-

ciones de holgura complementaria.

1. Resolver el siguiente problema lineal a partir de la soluci´on del problema dual y las condiciones

de holgura complementaria.

Max − 4 x 2

• 3 x 3

• 2 x 4

− 8 x 5

s.a.: 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 = 3

x 1 − x 2 + x 4 − x 5 ≥ 2

x 1 , x 2 , x 3 x 4 , x 5 ≥ 0

Cambiar la funci´on objetivo del problema dual de manera que el nuevo problema dual sea no

acotado. ¿Qu´e le pasar´ıa en ese caso al nuevo problema primal?.

Tema 8: An´alisis de Sensibilidad Problemas

1. Considerar el siguiente problema:

Max 2 x 1

• x 2

− x 3

s.a.: x 1

• 2 x 2

• x 3

− x 1 + x 2 − 2 x 3 ≤ 4

x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0

cuya tabla ´optima es:

Base x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS

z 0 3 3 2 0 16

x 1 1 2 1 1 0 8

x 5 0 3 -1 1 1 12

(a) Encontrar la nueva soluci´on ´optima si el coeficiente de x 2 en la funci´on objetivo se cambia

de 1 a 6.

(b) Supongamos que el coeficiente de x 2 en la primera restricci´on se cambia de 2 a

1

4

. Encontrar

la nueva soluci´on ´optima.

(c) Encontrar la nueva soluci´on ´optima si se a˜nade la siguiente restricci´on: x 2 + x 3 ≥ 3.

(d) Supongamos que se considera una nueva variable x 6 con un coeficiente en la funci´on objetivo

igual a 4 y una columna en la matriz de restricciones a 6 = (1, 2)

t

. Encontrar la nueva

soluci´on ´optima.

1. Considerar la siguiente tabla ´optima de un problema de maximizaci´on en donde todas las re-

stricciones son del tipo “≤”(x 6

, x 7

, x 8

son las correspondientes variables de holgura):

Base x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

x 8

RHS

z 0 0 0 2 0 2

1

10

2 θ

x 1

1

2

1

5

x 2

1

2

x 3

3

10

(a) Encontrar el valor objetivo ´optimo θ.

(b) ¿ Se alterar´ıa la soluci´on ´optima si al problema se agrega una nueva variable x 9

con un

coeficiente en la funci´on objetivo igual a 5 y una columna en la matriz de restricciones

a 9

t ?

(c) ¿ En cu´anto puede variar b 1

(el t´ermino independiente de la primera restricci´on) sin violar

la factibilidad?

(d) Supongamos que se a˜nade la siguiente restricci´on: x 1

− x 2

• 2x 3

≤ 10. ¿ Sigue siendo

´optima la soluci´on? En caso negativo, encontrar la nueva soluci´on ´optima.

1. Dado el problema

Min 2 x 1

− x 2

• x 3

s.a.: 2 x 1

− 2 x 2

• x 3

x 1

• x 2

• x 3

x 1

, x 2

, x 3

cuya tabla ´optima es:

Base x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

RHS

x 4 4 0 3 1 2 14

x 2

contestar a cada una de las preguntas siguientes a partir de la tabla ´optima anterior. Indicar,

cuando sea necesario, el algoritmo que se utiliza para obtener la nueva tabla ´optima.

(a) Obtener la soluci´on ´optima si el coeficiente de la funci´on objectivo de x 1 cambia a -2.

(b) ¿En qu´e intervalo ha de estar b 1 para que la base siga siendo ´optima?

(c) Determinar la soluci´on ´optima si se a˜nade la restricci´on x 1

• x 2

− x 3

(d) Determinar la soluci´on ´optima si se sustituye la columna a 2 por a

′

2

1. Considerar el problema lineal:

Max 2 x 1

• 4 x 2

• x 3

• x 4

s.a.: x 1

• 3 x 2

• x 4

≤ 8 (Materia prima 1)

2 x 1

• x 2

≤ 6 (Materia prima 2)

x 2

• 4 x 3

• x 4

≤ 6 (Materia prima 3)

x 1

, x 2

, x 3

x 4

con variables de holgura x 5

, x 6

, x 7

En la soluci´on ´optima del problema las variables b´asicas son: x 1 , x 3 , x 2 y B

− 1 es:

1

5

3

5

1

10

1

20

1

4

2

5

1

5

Construir la tabla del simplex correspondiente a la soluci´on ´optima y utilizarla para contestar

las cuestiones siguientes:

(a) Si pudi´eramos aumentar la disponibilidad de una ´unica materia prima, ¿cu´al ser´ıa la m´as

interesante, considerando los precios duales?

(b) ¿Para qu´e rango de valores de b 1 (disponibilidad de la materia prima 1) la base B contin´ua

siendo ´optima? ¿Cu´al ser´ıa la soluci´on ´optima si b 1 = 19?.

(c) La compa˜n´ıa tiene la opci´on de producir un nuevo producto. Sea x 8 el n´umero de unidades

del nuevo producto, con c 8 = 9 y a 8 = (10, 20 , 12). ¿Interesar´ıa fabricar el nuevo producto?

1. Considerar el problema lineal:

Min 35 x 1 + 30 x 2 + 60 x 3 + 50 x 4 + 27 x 5 + 22 x 6

s.a.: x 1 + 2 x 3 + 2 x 4 + x 5 + 2 x 6 ≥ 9 (Vitamina A)

x 2 + 3 x 3 + x 4 + 3 x 5 + 2 x 6 ≥ 19 (Vitamina C)

x 1 , x 2 , x 3 x 4 , x 5 x 6 ≥ 0

con variables de holgura x 7 , x 8.

Las variables representan las cantidades de 6 alimentos en la dieta de un atleta y las restricciones

son los requerimientos m´ınimos de Vitaminas A i C.

En la soluci´on ´optima del problema las variables b´asicas son: x 5

, x 6

i B

− 1 :

1

2

1

2

3

4

1

4

Construir la tabla del simplex correspondiente a la soluci´on ´optima y utilitzarla para contestar

las cuestiones siguientes:

(a) Supongamos que se puede disponer de un nuevo alimento con un precio de 88, que contiene

2 unidades de Vitamina A y 4 de Vitamina C. ¿Habr´ıa de introducir el atleta este alimento

en su dieta? En caso contrario, ¿cu´anto habr´ıa de bajar el precio para que interesara

introducirlo?

(b) Supongamos que el atleta se entera de que la Vitamina E tambi´en es imprescindible en

la dieta en una cantidad m´ınima de 10 unidades. El contenido de Vitamina E de los 6

alimentos es: 2, 3, 5, 2, 1, 1 unidades. ¿C´omo cambia la soluci´on ´optima?.