1
Tema 6
Dualidad en Programación Lineal
Ramón Álvarez-Valdés,
Departament d’Estadística i Investigació Operativa
Universitat de València
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Asignatura: Programació Lineal, Profesor: ramon valdes, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
1 / 21
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Tema 6
Dualidad en Programación Lineal
Ramón Álvarez-Valdés,
Departament d’Estadística i Investigació Operativa
Universitat de València
El Problema Dual
- Cada problema lineal tiene asociado otro problema lineal• Este nuevo problema lineal tiene importantes propiedades:
- puede ser utilizado para obtener la solución del problema original• sus variables dan información valiosa sobre la solución del
problema original
•Para distinguir los dos problemas:
- Problema original:
PROBLEMA PRIMAL
- Problema asociado:
PROBLEMA DUAL
- Comenzaremos definiendo el problema dual y sus propiedades.• Estas propiedades nos conducirán a un nuevo algoritmo: DUAL DEL SIMPLEX
Ejemplo de dualidad en forma canónica
(^
)^
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
6
8
2
..
3
4
5
2
3
7
,^
,^
0
P^
Min
x^
x^
x
s a
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x^
x +^
+^
−^
≥
+^
+^
≥ ≥
1
2 1
2 1
2 1
2 1
2
(^
)^
.^
,^
D^
Max
w^
w
s a
w^
w
w^
w
w^
w
w^
w
+^ +^
+^
−^
+^
La forma canónica es útil para demostra
r las propiedades teóricas
−^ En la práctica, no hace falta transform
ar el problema a la forma canónica
para construir el problema dual −
w^1 w^2
5
Dualidad en forma estándar
Una definición equivalente de dualidad e
s:
(^
): P
Min cx
0 x^ ≥
s.a
Ax
b =
(^
) : D
Max wb s.a^
wA
c ≤
no restringido w
(^
)^
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
5
1
2
3
4
5
6
8
2
..^
3
4
5
2
3
7
,^
,^
,^
,^
0
P^
Min
x^
x^
x
s a
x^
x^
x^
x
x^
x^
x^
x
x^
x^
x^
x^
x
+^
+^
−^
−^
=
+^
+^
−^
= ≥
1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2
(^
)^
4
7
.^
3
5
6 2
8 3
(^200)
,^
no restringi
- +^
≤ +^
≤
−^
+^
≤
−^
≤ −^
≤
D^
Max
w^
w
s a
w^
w w^
w w^
w w
w w^
w^
dos
1 2 w w
≥^ ≥
7
Dual del Dual
Consideremos el problema primal en forma
canónica
El problema dual es:
(^
D^
Max wb s a^
wA
c w
¿Cuál es el dual del dual?
- transformemos el problema al formato
del primal:
-^
(-^
.^
(-^
)^
(^
t^
t t
t^
t
t
Min
b^
w s a
A^
w^
c
w
(^
.^
(^
)^
(^
t^
t t^
t^
t
t Max x
c
s a
x
A^
b
x
−^
− −^
Min cx s a
Ax
b ≥ x ≥
PRIMAL !!
:^
"El dual del dual es el primal"
Lema 1
dual
Formas mixtas de dualidad
En la práctica, los problemas combinan t
odo tipo de restricciones y de variables
Teóricamente, esto no supone un problema
y, a partir de ella, construir el dual
Desde un punto de vista práctico, eso es
poco operativo.
Es mejor tener una tabla de conversión p
rimal-dual
1
1 2
2 3
3
Si tenemos el problema:
s.^
Min cx a^
A x
b A x
b A x
b (^0) ≥ x
estándar
1
1
2
2
3
3
s.
,^
,^
s
t s^
t
Min cx^ a^
A x
Ix^
b
A x
b
A x
Ix^
b
x x −^^ x
+^
Por tanto, el dual será:
1 1
2 2
3 3
1 1
2 2
3 3
1
3
Max w b
w b
w b
s a
w A
w A
w A
c
w I
w I
+^
+^
+^
−^
≤^ ≤
1 2 3
(^0) ≥ irrestringido^0 ≤ w w w
porque pueden ponerse en forma estándar
Ejemplo de aplicación del cuadro de conversión
1
2 1
2 1
2 1 2
(^
)^
.^
P^
Max
x^
x
s a
x^
x
x^
x
+ −^ x x
+^
w^1 w^2
1
2 1
2 1
2 1 2
(^
)^
.^
0 no restringida
D^
Min
w^
w
s a
w^
w
w^
w
− + w w
−^
+^
11
Relaciones primal-dual
0 :^
"^
solución posible del primal ∀ x
Lema 2
0
solución posible del dual, en forma c
anónica
∀ w
0
0
"
cx
w b ≥
0
0
0
Por ser
posible
,^
≥^
x^
Ax
b^
x
0
0
0
Por ser
posible
,^
≤^
w^
w A
c^
w
0
0
0
0
Multiplicando (1) por
:^
w^
w Ax
w b
0
0
0
0
Multiplicando (2) por
:^
x^
w Ax
cx^
0
0
0
0
cx^
w Ax
w b
≥^
En particular, el valor de la función o
bjetivo en cualquier solución posible de
l
problema de minimización es una cota sup
erior para la solución óptima
del problema de maximización y viceversa
(^
)
0
0
Ejemplo 1:
posible con
=^
x^
cx
(^
)
0
0
posible con
=^
w^
w b
las soluciones óptimas están entre 8.0 y
Teorema fundamental de la dualidad
"Exactamente una de las tres afirmacione
s es cierta:
1.- Ambos problemas tienen solución ópt
ima,
*,
y
*^
=
x^
w^
cx^
w^
b
2.- Un problema es no acotado y el otro
es imposible
3.- Los dos problemas son imposibles" El apartado 1 puede demostrarse directam
ente o por Kuhn-Tucker
(^
)
Supongamos que
, en forma estándar, tien
e solución óptima finita
*, con base
P^
x^
B
1
Definimos
*^
y comprobemos que
*^
es^
solución óptima de (
)
− =^
B w^
c B
w^
D
1
*^
B
w^
A^
c B
− A = 1
Como
- óptima:
0,^
: 1,..,
0
*^
0
*^
- solución po
sible
−
−^
≤^
∀
−^
≤^
→
−^
≤^
→^
≤^
→
j^
j
x^ B
z^
c^
j^
n
c B
A
c
w^
A^
c^
w^
A^
c^
w
1
Además:
*^
*^
*^
solución óptima
− =^
=^
=^
→
B^
B
w^
b^
c B
b
c b
cx^
w
(A la inversa, basta transformar (
) en f
orma estándar) D
Teorema de la holgura complementaria
"^
*,^
*, soluciones posibles de los proble
mas (
) y (
) en forma canónica,
x^^ son soluciones óptimas si y sólo si:
w^
P^
D
(^
*) *^
0,^
1,..,
j^
j^
j
c^
w^
a^
x^
j^
m
−^
=^
∀ =
(^
)
*^
*^
0,^
1, 2,..,
"
i i^
i
w^
a x
b^
i^
n
−^
=^
∀ =
Por ser soluciones posibles:
*^
*^
≤^
≤
w^
b^
w^
Ax
cx
Pero, por ser óptimas:
*^
*^
*^
=^
=
w^
b^
cx^
w^
Ax
Por tanto,
*(^
*^
)^
0,^
(^
*^
) *
0
−^
=^
−^
=
w^
Ax
b^
c^
w^
A x
(^
)
Como
*^
*^
*^
0,^
*^
≥^
^
−^
=^
−^
≥^
i i^
i
w^
w^
a x
b^
i^
m
Ax
b
(^
)
Como
*^
*^
0,^
*^
≥^
^
−^
=^
−^
≥^
^
j^
j^
j
x^
c^
w^
a^
x^
j^
n
c^
w^
A^ *
Por tanto,
si
>^
j^
j^
j
x^
w^
a^
c
si^
*^
j^
j^
j
w^
a^
c^
x
<^
Si^
i *
i^
i
w^
a x
b
>^
=^ *
si^
*^
i
i^
i
a x
b^
w
>^
16
Interpretación económica del dual
(^
P^
Min cx s a^
Ax
b
x
(^
D^
Max wb s a^
wA
c
w
Consideremos los problemas:
Si^
- es la solución óptima de (
) con b
ase asociada
y costes
B
x^
P^
B^
c
1
*^
B z^
c B
b
w^
b
− =^
=
Por tanto,
*^
- i
z^ i
w
∂^^ b
= ∂
*^ : ritmo de cambio de
- cuando cambia
w^ i
z^
b
*^
es el
(^
) de la restricción i-ésima
w^ i
shadow price
precio dual
(válido si no hay degeneración)
17
Ejemplo de interpretación económica del dual
Se desea transportar 2 productos, A y B,
en un vehículo con
3
capacidad 150 m
y 100 Tm de peso máximo.
El beneficio de transportar una unidad d
e A es 3 y de una unidad de B es 2
3
Una unidad de A ocupa 2 m y pesa 1 Tm
3
Una unidad de B ocupa 1 m y pesa 1 Tm ¿Cuántas unidades transportaremos de cad
a producto para maximizar el beneficio?
.^
(peso)
(volumen)
,^
+^ +^
+^
A^
B A^
B A^
B A^
B
Max
x^
x
s a
x^
x x^
x x^
x
w^1 w^2
Solución óptima:
=^
=^
A^
B
x^
x^
z
(^12)
Precios duales:
w w
precio de una unidad más de peso (
49,
=^
=
A^
B
x^
x
precio de una unidad más de volumen (
51,
=^
=
A^
B
x^
x
19
Interpretación económica global del dual \
Un fabricante ve una posibilidad de nego
cio:
fabricar cápsulas de Vitamina A y de Vit
amina C
El consumidor no las comprará si el prec
io no es competitivo
con el precio de los alimentos:
¿A qué precio podrá vender las cápsulas?
Denotemos por
el precio de una unida
d de Vitamina A
el precio de un
a unidad de Vitamina C
A w wC
Función objetivo del fabricante: maximiz
ar el beneficio
El consumidor tendrá que comprar : 9
(^19) + A^
C
w^
w
Restricciones: no superar el precio de
los alimentos
1
2
Alimento 5:
3
27
+^
≤
w^
w
El problema completo es:
1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 9
.^
,^
Max
w^
w
s a
w
w w^
w w^
w w^
w w^
w w^
- w
+^
+^
+^
+^
PROBLEMA DUAL
6 2
0
-^
44
0
19
399
1 2
0
1
1
1 2
1
-1 2
0
9 2
-^
1
1
x x^
-^
2
0
1
-^
10
1
2
3
4
5
6
7
8
1
0
0
100
50
98
108
88 5
1
0
2
Base
x^
x^
x^
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x^2
2
1
2
-^
0
9
0
1
3
1
3
2
0
-^
19
x
Interpretación económica global del dual \3 1
2
3
4
5
6
1
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
8
35
30
60
50
27
22
.^
2
2
2
9
3
3
2
19
Min z
x^
x^
x^
x^
x^
x
s a
x^
x^
x^
x^
x^
x
x^
x^
x^
x^
x^
x
=^
+^
+^
+^
+^
+^
+^
+^
+^
−^
=
+^
+^
+^
+^
−^
=
6 5
0
0
-^ -^
179
3 4
-1 4
3 4
5 4
0
1
-3 4
1 4
2
-1 2
1 2
1 2
-1 2
1
0
x x^
1 2
-1 2
5