1
Tema 7
Algoritmo Dual del Simplex
Ramón Álvarez-Valdés,
Departament d’Estadística i Investigació Operativa
Universitat de València
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Técnica de la restricción artificial: Solución dual posible - Prof. Valdés, Apuntes de Matemáticas
La técnica de la restricción artificial para obtener una solución dual posible en problemas lineales. Contiene ejemplos con matriz de coeficientes, restricciones y soluciones. Se presentan los pasos para encontrar la solución inicial y aplicar el algoritmo dual del simplex.
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
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Tema 7
Algoritmo Dual del Simplex
Ramón Álvarez-Valdés,
Departament d’Estadística i Investigació Operativa
Universitat de València
Introducción
-^ En este tema describiremos el algoritmo dual del simplex•Resuelve el problema dual sobre la tabla del primal: - en cada iteración nos movemos de una solución dual posible a otra• hasta que lleguemos a la solución óptima
(que coincidirá con la del primal)
- o hasta llegar a la no acotación (y el primal será imposible)
Posibilidad Dual en la Tabla del Simplex \
Esta tabla presenta una solución posible
si
0,^
≥^
b^ i
i^
m
La solución será óptima si
0,^
−^
≤^
=^
j^
j z^
c^
j^
n^
m
1
Definimos
− =^
B w^
c B
1
Si
j^
j^
B^
j^
j^
j^
j
j^
j
j^
j
j^
n^
z^
c^
c B
a
c^
wa
c^
wa
c^
wA
c
z^
c
−^
−^
=^
−^
=^
−^
^
−^
≤^
−^
≤^
^
j^
n
1
1,^
:^
-^
pero
,^
−^
+^
+^
+^
−^
=^
−^
=^
−^
^
≤^
=^
j^
j^
B^
j^
j^
j^
j
j
j^
j^
j
j^
n^
n^
n^
m^
z^
c^
c B
a
c^
wa
c^
w^
w
a^
e^
c
solución posible del Dual w
Por tanto, la posibilidad dual es el cr
iterio de optimalidad primal: 0,^
−^
≤^
=^
j^
j z^
c^
j^
n^
m
1
En la solución óptima,
*^
y^
*^
− =^
=^
B^
B
w^
c B
w^
b^
c b
z
Algoritmo Dual del Simplex
A veces, no es fácil encontrar una soluc
ión posible (
b^ i
sin añadir variables artificiales
Pero, en ocasiones, sí se puede encontra
r una solución dual posible (
−^
j^
j z^
c
En este caso, podemos utilizar una varia
nte del simplex:
Iteraciones que mantengan la posibilitat
dual hasta llegar al óptimo
Consideremos el problema ( Sea la tabla:
): P^
Min cx
x^ ≥
s.a
Ax
b ≥
1
1 1
1 1 1^
1
1
j^
k^
n
j^
j^
k^
k^
n^
n^
B
B^
j^
k
x^
x^
x^
x^
R H S
z^
z^
c^
z^
c^
z^
c^
z^
c^
c b
x^
y^
y^
y
−^
−^
−^
1
1
:^
:^
:^
:^
:^
r
n
B^
r^
rj^
rk^
rn
y^
b
x^
y^
y^
y^
y
1
:^
:^
:^
:^
:^
:^
m
r
B^
m^
m j^
m k^
m n
b m
x^
y^
y^
y^
y^
b
(o a la no acotación)
Algoritmo Dual del Simplex \
Al pivotar de esta manera, la nueva solu
ción se mantiene dual posible
(^
)
La función objetivo :
−^
−^
r
B^
k^
k^
B
b^ rk
c b
z^
c^
c b
y
- Si
0,^
,^
no podemos pivotar para hac
er positivo
≥^
rj^
r
y^
j^
b
1
en la fila
n
rj^
j^
r
j
r^
y x
b
=
∑
1
pero:
0,^
0 en cualquier solución posible
=
≥^
∀^
^
≥^
^
n ∑
rj
rj^
j
j
j
y^
j^
y x
x
PRIMAL IMPOSIBLE !!
El dual es no acotado:
si a la primera fila le restamos la fi
la^
multiplicada por
r^
M
(^
)^
(^
)^
0,^
solución dual posible
−^
=^
−^
−^
≤^
−^
≤^
∀^
j^
j^
j^
j^
rj^
j^
j
z^
c^
z^
c^
y M
z^
c^
j
1
tan grande como queramos
no acotado
−
−^
B^
r
z^
c B
b M
Esquema del algoritmo Dual del Simplex
1
:^
Encontrar
tal que
Inicialización
−
−^
=^
−^
j^
j^
B^
j^
j
B^
z^
c^
c B
a
c
1
Si
solución óptima
STOP
Paso 1:
−^
=^
≥^
B^
b^
b
{^
}
En otro caso, seleccionar fila
con
m
in^
:^
=^
r^
i
r^
b^
b^
i^
m
Si
0,^
Dual no acotado, Primal i
mposible
STOP
Paso 2:
≥^
∀^
y^ rj
j
En otro caso, seleccionar columna
tal
que
k
min
:^
j^
j
k^
k^
rj
rk^
rj
z^
c
z^
c^
y
y^
y
^
−^
^
=^
^
^
^
Pivotar sobre Volver al Paso 1
Pas 3:
yrk
10
3 1 5
-^
-^
x x x^
1
2
3
4
5
3 4
-^
Base
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x x^5
x
Ejemplo 1 \
3 1 2
-^
-^
-^
x x x^
4
sale
x
entra
min
,^
x
−^
^
^ =
^
−^
^
5
sale
x^2
entra
x
óptimo:
*^
(^
,^
),^
*^
=^
x^
z
Ejemplo 1 \
1
3
3
3
3
3
3
1
2
3
1
(^
,^
,^
)^
B
z^
c^
c B
a
c^
wa
c^
w^
w^
w^
w
−
^
^
−^
=^
−^
=^
−^
=^
−^
=^
^
^
^
4
4
4
4
1
2
3
2
0
(^
,^
,^
) 1
0
2
0
z^
c^
wa
c^
w^
w^
w^
w
^
^
−^
=^
−^
=^
−^
=^
= −
^
^
^
5
5
5
5
3
z^
c^
wa
c^
w
−^
=^
−^
=^
*^
(0,
2, 0)
w^
=^
−
(1)
(2)
(3)
(0,0)
(3,0)
(8/3,1/3)
13
1
2
3
4
5
6
3
-^
Base
x^
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x^56
-^
x x
Ejemplo 2 \
3
3
sale
, ya que
(^0) <
x^
b
1
2
3
4
5
6
4
Base
x^
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x^56
x x
4
4
4
1
14
1
11
3
3
entra
:^
max
:^
0
max
, 1
2
2
j^
j
j
j z^
c
z^
c
x^
y
y^
y ^
−
−^
^
^
^
=^
<^
=^
= −
^
^
^
−^
− ^
^
^
óptimo
Ejemplo 2 \
27 *^
2 z^
w^
b
=^
=
1
3
3
3
3
3
3
1
2
3
1
1
3
(^
,^
,^
)^
0
2
2
2
0
B
z^
c^
c B
a
c^
wa
c^
w^
w^
w^
w
−
^
^
−^
=^
−^
=^
−^
=^
−^
=^
−^
=
^
^
^
5
5
5
5
1
2
3
2
0
(^
,^
,^
)^
1
6
6
0
0
z^
c^
wa
c^
w^
w^
w^
w
^
^
−^
=^
−^
=^
−^
=^
−^
=
^
^
^
6
6
6
6
1
2
3
3
0
(^
,^
,^
)^
0
0
0
1
z^
c^
wa
c^
w^
w^
w^
w
^
^
−^
=^
−^
=^
−^
=^
=
^
^
^
1
7 2 w^
=
2
6 w^
=
7 *^
(^
, 6, 0) 2
w^
=
*^
,^
,^
x^
1
2.- El problema aumentado tiene solució
n y
está en la base x + n
Solución dual posible inicial: Técnica de la restricción artificial \2 - Llegaremos a una de estas tres situac
iones:
1.- El problema primal aumentado es imp
osible
problema primal original imposible →
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
1
Si tuviera solución (
,^
,...,
)^
(^
,^
,...,
,^
)+
→ n^
n^
n
x^
x^
x^
x^
x^
x^
x 0
0
1
1
con
,^
sería solución posible
=^
=^
−^
n ∑
n^
j j^ m
x^
M^
x
Tenemos la solución óptima del problem
a original
→
Si^
es la base óptima del problema au
mentado:
B^ a
1
0 1
a^
B mB
B^
a^
^
=^
^
1
1
1
1
1
1
1
*^
a^
m^
m
B^
B
B^
B^
b
b^
b
x^
B^
M
M
a^
B^
a^
B^
b^
M
−^
−
−
+^
−^
+^
−
^
^
^
^
^
^
=^
=^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
−^
−^
^
^
^
^
^
^
*^1
únicamente
depende de
→
x^ n
M
1
los otros valores
son la solución óp
tima del problema original
−
→
B^
b
1
(donde
son los coeficientes de las var
iables básicas originales en la fila
+^
ma B
m
Solución dual posible inicial: Técnica de la restricción artificial \
1
3.- El problema aumentado tiene solució
n y
no está en la base x + n
1
la restricción artificial se cumple co
n igualdad (
→
= xn
y los valores de las variables básicas d
ependen de
M
Distinguiremos 2 subcasos:^ a) El valor de la función objetivo depe
nde de
M
cuando →
→ +∞
⇒
a → −∞
M
z
problema primal original posible no acot
ado
b) El valor de la función objetivo no d
epende de
M 1
cuando
,^
el hiperplano
se desplaz
a paralelamente a sí mismo
=^
→
→ +∞
= n ∑
j j^ m
M^
x^
M
y la solución se desplaza a lo largo de
una arista del conjunto de soluciones
Pero como
no depende de
,^
el hiperp
lano
=^
contiene esta arista
a z
M^
z^
cx
Existe una SPB del problema original, co
rrespondiente al origen de la arista
que se obtiene haciendo decrecerhasta que una de las variables que de
pende de
se anule
M
M
19
3 4
M -
x^
M
x^
M
(^51)
-^
-^
x^
M
x^
M
1
2
3
4
5
6
3 4
-^
-^
Base
x^
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x x^56
-^
x x^
M
Ejemplo 1 \
(^
)
1
pivotar en
(max
j^
j
x^
z^
c −
5
sale
x
entra
min
,^
x
−^
^
^ =
^
−^
^
20
1
2
3
4
5
6
3 4
0
-^
0
0
-^
0
- 2
0
-^
1
0
1
0
3
Base
x^
x^
x^
x^
x^
x^
RHS
x x^61
0
-^
0
1
1
1
- 1
0
3
0
0
-^
1
1
-^
0
0
1
0
2
x^
M
x
Ejemplo 1 \
3 2 6
5
1
4
0
0
0
-^ -^
0
3
3
3 10
1
2
0
0
1
-^
0
3
3
3
1
1
1
0
1
0
-^ -^
0
3
3
3
0
x x x^1
0
0
1
0
1
-3 8
2
1
1
0
0
-^
0
3
3
3 M
x
4
sale
x
2
entra
x
(^
óptima:
*^
,^
,^
=^
x^
M
en el problema original:
*^
(^
,^
x^
- x 6