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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Ejercicios
- Resolver
− 3
2
4
− 3
1
2
− 4
− 2
0
3
4
− 3
2
5
− 4
− 3
0
− 3
− 1
3
− 4
6
− 2
− 1
− 3
(− 3 )
− 4
(− 4 )
− 3
− 4
4
− 2
− 3
− 1
− 1
− 3
− 1
− 2
− 3
− 1
− 1
− 3
− 1
2
− 3
− 2
2
− 4
− 1
6
− 1
− 3
5
0
− 2
10
6
∙ 10
− 7
10
− 3
10
8
∙ 10
− 5
10
3
( 3 ∙ 10
− 1
)( 6 ∙ 10
− 2
)
2 ∙ 10
− 4
( 6 ∙ 10
3
)
2
∙ 10
− 3
2 ∙ ( 2 ∙ 10
− 1
)
− 2
( 2 ∙ 10
3
)
− 2
∙ ( 6 ∙ 10
− 2
)
2
( 4 ∙ 10
− 1
)
2
( 2 ∙ 10
2
)
− 3
1
2
4
1
2
4
(− 4 )
6
(− 4 )
− 3
0
− 1
− 3
1
( 3
)
− 4
3
5
2
− 3
2
2
( 2 )
− 3
- x
− 4
∙ x
3
- b
− 5
∙ b
− 3
a
4
a
− 6
y
− 2
y
− 1
t
− 2
− 3
- (2x
2
− 3
2u
3
v
− 2
− 4
- (x
2
y
− 1
− 2
a
2
b
− 1
c
− 4
2
8
− 1
s
− 3
t
0
(2st)
− 5
3x
− 3
y
− 2
z
− 1
2xy
2
z
3
− 1
- a
− 1
− b
− 1
a − b
− 1
s
t
− 1
t
s
− 1
2x
− 1
y
− 1
− 2 x
− 1
a
− 1
+b
− 1
a
− 2
−b
− 2
(x+y)
− 1
x
− 1
+y
− 1
x
− 2
+y
− 2
x
− 2
−y
− 2
2x
− 1
+3xy
− 2
4x
− 2
−9x
2
y
− 4
s
− 3
t−s t
− 2
s
− 1
t−st
− 1
− 1
c
− 1
+c
− 2
− 1
c
− 2
d
2
−cd
− 1
− 3
x
n
∙ x
n+ 1
x
2n− 1
s
n
t
−2n
s
n+ 1
t
1 −2n
x
n+ 1
y
n
x
n
y
2n− 1
a
2n− 1
b
n+ 1
(a
1 −n
b
n
)
3
3a
5
b
− 2
9a
− 4
b
2
(a+b)
− 1
(a−b)
− 1
- (a
− 1
− 1
− 1
- Resolver:
4
3
6
3
3
16
625
4
16
625
5
7
216
125
3
243
100 000
5
4
9
1
27
3
2
1
3
2
5
4
2
7
2
2
4
1
125
3
3
3
3
5
- √16x
16
- √27a
27
3
- √8c
8
3
- √9a
9
- √−27x
10
y
8
3
- √48a
5
b
8
3
- √−96x
25
y
12
3
- √x
8
3
3
3
3
1
3
3
3
- √−6s
2
t
4
3
√9s
5
t
2
3
10
3
a
3
b
5
4
√ 24 a
2
b
3
4
- √2uv √3v
6uv √
12uw
2
11
3
1
9
3
2 √
3
√
5
− 5 √ 2
4 √ 3
2
25
3
La ecuación 𝑥
2
= − 49 no tiene solución real, porque no hay un número real que elevado al cuadrado
dé – 49 , pues el cuadrado de todo número real es un número no negativo.
De manera similar se sigue que no hay raíces cuadradas reales de números negativos. Se ve
entonces que para considerar raíces cuadradas de números negativos se debe tratar con números
distintos de los números reales.
Luego se procede ahora a desarrollar un conjunto de números que contenga el conjunto de los
números reales ℝ como subconjunto y también las raíces cuadradas de números negativos. Se denota
tal conjunto de números por ℂ y se llama el conjunto de los números complejos.
El conjunto de todos los números de la forma 𝑎 + 𝑏 𝑖 , donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑖
2
= − 1 se llama el conjunto de
números complejos y se denota por ℂ.
Observaciones
- Para el número complejo 𝑎 + 𝑏 𝑖, el número 𝑎 se llama la parte real, y el número 𝑏𝑖 se llama la
parte imaginaria,
Así: El número − 2 + 5 𝑖 es un número complejo cuya parte real es − 2 y cuya parte imaginaria es
5 𝑖. El número 9 + (− 3 ) 𝑖 es un número complejo cuya parte real es 9 y cuya parte imaginaria es
- Si −𝑝 es un número negativo, entonces el número complejo 𝑎 + (− 𝑝)𝑖 se puede escribir 𝑎 − 𝑝𝑖.
Luego: 9 + (− 3 ) 𝑖 = 9 − 3 𝑖
- El número real 𝑎 es un número complejo y se puede escribir en la forma 𝑎 + 0 𝑖; esto es 𝑎 = 𝑎 +
Es decir: un número real es un número complejo cuya parte imaginaria es 0 𝑖.
- El número 0 + 𝑏𝑖 se puede escribir en forma más simple como 𝑏𝑖; es decir: 𝑏𝑖 = 0 + 𝑏𝑖. El número
𝑏𝑖 se llama un número imaginario puro.
- Cualquier número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑏 ≠ 0 , se llama un número imaginario. El número
complejo − 4 + 5 𝑖 es un número imaginario. El número complejo 6 𝑖 es un número imaginario puro,
El número real − 8 es un número complejo, y se puede escribir como − 8 + 0 𝑖.
- El número real 0 es un número complejo, y se puede escribir como 0 + 0 𝑖.
Dos números complejos 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 se dice que son iguales si y solamente si 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑.
Si 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 son números complejos, entonces:
= (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑) 𝑖 y
Observaciones
- Al sumar dos números complejos el resultado es un número complejo, porque la suma de reales es
un real. Es decir, la adición en ℂ es cerrada o la adición en ℂ es una operación binaria o la adición
en ℂ cumple la propiedad clausurativa.
- Al multiplicar dos números complejos el producto es un número complejo porque el producto y la
suma de reales es un real. Es decir, la multiplicación en ℂ es cerrada o la multiplicación en ℂ es
una operación binaria o la multiplicación en ℂ cumple la propiedad clausurativa.
- No se debe tratar de memorizar las fórmulas para sumar o multiplicar números complejos. Se
deben trabajar los números complejos como si fuera polinomios en 𝑖.
La identidad aditiva en el conjunto de los números complejos ℂ es 0, que se puede escribir como 0 +
0 𝑖. Porque: para todo
El inverso aditivo del número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 es −𝑎 − 𝑏𝑖. Porque:
(𝑎 + 𝑏 𝑖) + (−𝑎 − 𝑏 𝑖) = [𝑎 + (−𝑎)] + [𝑏 + (−𝑏)𝑖] = − 0 + 0 𝑖 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 − (𝑎 + 𝑏 𝑖) = −𝑎 − 𝑏𝑖
Como con los números reales, la sustracción de números complejos se define en términos de la
adición. Así: Si 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 son números complejos, entonces:
(𝑎 + 𝑏 𝑖) − (𝑐 + 𝑑 𝑖) = (𝑎 + 𝑏 𝑖) + [− (𝑐 + 𝑑 𝑖)] = (𝑎 + 𝑏 𝑖) + (− 𝑐 − 𝑑 𝑖) = (𝑎 – 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
Ejemplo
Encontrar la diferencia de los números complejos: 3 − 2 𝑖 y − 5 + 9 𝑖.
[
]
La identidad multiplicativa en ℂ es 1, que se puede escribir como 1 + 0 1_. Porque: para todo_ 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈
2
Ahora se considera una expresión de la forma:
2
2
2
2
Observe que el cociente de dos números complejos es un número complejo.
Para todo 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂ, excepto 0 + 0 𝑖, existe un único número
2
2
2
2
[(
2
2
2
2
)] = 1
Raíces cuadradas
Un número 𝑏 se dice que es una raiz cuadrada de un número real 𝑎 si y solamente si 𝑏
2
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa, y el número 0 tiene
exactamente una raíz cuadrada, 0. Ahora, sea −𝑝 un número negativo, entonces 𝑝 es un número
positivo y:
2
2
2
Si 𝑝 es un número positivo, entonces la raíz cuadrada principal de −𝑝 se denota por √−𝑝, y se define
por √
ee.
− 2
ff.
− 2
- Simplificar
a. 𝑖
11
b. 𝑖
22
c. 𝑖
33
d. 𝑖
43
e. 𝑖
− 5
f. 𝑖
− 6
g. (𝑖
4
3
2
2
h.
2
3
6
3
i. −𝑖
54
j. −𝑖
33
k. −𝑖
− 25
l. −𝑖
− 13
- Encontrar el valor de la expresión dada para el valor indicado de 𝑥
a. (𝑥
2
b.
2
c.
2
d.
2
e. (𝑥
2
f. (𝑥
2
FUNCIONES LINEALES
Ecuaciones lineales en dos variables
Una ecuación que se puede escribir de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶, donde 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son números reales,
con 𝐴 y 𝐵 no simultáneamente cero, es una ecuación lineal en dos variables.
Todo par ordenado de números reales que convierte una ecuación lineal en dos variables en una
proposición verdadera es una solución de la ecuación.
Ejemplo
Determinar si el par ordenado ( 2 , 1 ) es una solución de la ecuación lineal 5 𝑥 − 2 𝑦 = 8.
Se remplaza 𝑥 = 2 y 𝑦 = 1 en la ecuación 5 𝑥 − 2 𝑦 = 8.
Luego: ( 2 , 1 ) es una solución de la ecuación 5 𝑥 − 2 𝑦 = 8.
Ejercicios
- Determinar si el par ordenado ( 2 , 1 ) es una solución de la ecuación lineal 5 𝑥 – 2 𝑦 = 8.
- Determinar si el par ordenado ( 1 , − 1 ) es una solución de la ecuación lineal 3 𝑥 – 𝑦 = 5.
- Encontrar tres soluciones de 4 𝑥 + 3 𝑦 = 12.
- Resolver para 𝑦, y encontrar las soluciones para 𝑥 = − 1 , 0 , 2 en la ecuación 2 𝑥 + 5 𝑦 = 40.
- Encontrar tres soluciones de 𝑥 = − 5.
- Determinar si cada par ordenado es una solución de la ecuación 2 𝑥 + 𝑦 = 8
a. ( 0 , 8 ) b. ( 4 , 4 ) c. (− 5 , 2 ) d. ( 6 , − 4 ) e. ( 4 , 0 )
- Determinar si el par ordenado es una solución de la ecuación dada
a. 2 𝑥– 3 𝑦 = 6 ; ( 0 , 4 )
b. 𝑥– 5 𝑦 = 2 ; ( 7 , 1 )
c. 𝑥– 2 𝑦 = 4 ; ( 4 , 2 )
d. 2 𝑥– 𝑦 = 4 ; ( 2 , 2 )
e. 4 𝑥 + 3 𝑦 = 12 ; (
3
2
- Encontrar tres soluciones para cada ecuación
a. 𝑥 + 𝑦 = 4
b. 𝑥 + 𝑦 = − 3
c. 2 𝑥– 𝑦 = 5
d. 3 𝑥 − 𝑦 = 7
e. 𝑦 =
2
3
f. 𝑥 = −
1
2
g. 3 𝑥 + 2 𝑦 = 6
h. 5 𝑥 + 4 𝑦 = 20
i. 2 𝑥 + 𝑦 = 7
j. 𝑥 + 2 𝑦 = 5
- Resolver para 𝑦, y luego encontrar soluciones para 𝑥 = − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2
a. 𝑥 + 𝑦 = 7
b. 𝑥 – 𝑦 = 5
c. 3 𝑥 + 𝑦 = 12
d. 5 𝑥 + 𝑦 = 8
e. 3 𝑦 – 12 = 6
f. 2 𝑦 + 2 = 8 𝑥
g.
1
2
h.
1
2
i. 4 𝑥 + 4 𝑦 = 1
j. 9 𝑥 – 3 𝑦 = 1
Graficas de las ecuaciones lineales en dos variables
La grafica de una ecuación en dos variables es la representación en el plano cartesiano del conjunto
de puntos que corresponden a los pares ordenados que son solución de la ecuación.
Si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son números reales, con 𝐴 y 𝐵 no simultáneamente cero, entonces la gráfica de cualquier
ecuación de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 es una recta.
Para cualesquiera dos puntos en una recta no vertical:
Si 𝑙 es una recta no vertical que contiene los puntos 𝑃
1
1
1
2
2
2
), entonces la pendiente de 𝑙
es igual a:
2
1
2
1
El orden en que se toman los puntos cuando se restan las coordenadas no cambia el valor de la
pendiente. Además, cualesquiera que sean los dos puntos con los que se efectué el cálculo de la
pendiente el valor es el mismo.
El 𝑦 – intersecto de una recta es la coordenada 𝑦 del punto donde interseca el eje y. el 𝑥 – intersecto
es la coordenada x del punto donde la recta intersecta el eje 𝑥.
Como todas las coordenadas 𝑦 de los puntos en una recta horizontal son iguales, la pendiente de
cualquier recta horizontal es cero. No hay 𝑥 – intersecto; la recta es paralela al eje 𝑥.
Como todas las coordenadas 𝑥 de los puntos en una recta vertical son iguales y no se puede dividir
por cero, la pendiente de una recta vertical no está definida. No hay 𝑦 – intersecto porque la recta es
paralela al eje 𝑦.
Forma explícita de la ecuación de una recta
Si una recta tiene pendiente 𝑚, 𝑦 – intersecto 𝑏, y (𝑥, 𝑦) es otro punto de la recta diferente del 𝑦 –
intersecto ( 0 , 𝑏), entonces una ecuación de la recta es:
La forma explícita de la ecuación de una recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. La pendiente es m y el 𝑦 – intersecto es
Si 𝑚 = 0 , la forma explícita de la ecuación lineal 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es 𝑦 = 𝑏. Esta es la ecuación de una
recta horizontal que coincide con el hecho de que las rectas horizontales tienen pendiente 0.
El dominio de una función lineal es el conjunto de los números reales. La grafica de una función lineal
es una recta.
Ejercicios
- Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
a. ( 8 , 6 ); (− 4 , − 1 )
b. ( 5 , 3 ); (− 2 , − 2 )
c. ( 3 , − 7 ); (− 8 , 0 )
d. (− 5 , 7 ); (− 2 , 0 )
e. ( 6 , 5 ); ( 6 , 1 )
f. (− 3 , 4 ); (− 3 , 6 )
g. ( 3 , 5 ); ( 6 , 5 )
h. (− 1 , 2 ); ( 3 , 2 )
i. ( 0 , 0 ); (− 4 , − 6 )
j. ( 0 , 0 ); (− 6 , − 2 )
- Hallar la pendiente, los 𝑥, 𝑦 – intersectos y trazar la gráfica e cada una de las siguientes
ecuaciones:
a. 3 𝑥 + 5 𝑦 = 15
b. − 5 𝑥 – 2 𝑦 = 12
c. 5 𝑥 – 𝑦 = 7
d. 𝑥 + 4 𝑦 = 9
e. 𝑥 = 2 𝑦 + 5
- Trazar la gráfica de la recta que:
a. Pasa por ( 3 , 1 ) y tiene como pendiente −
1
2
b. Pasa por ( 4 , 2 ) y tiene como pendiente −
1
3
c. Pasa por (− 2 , 3 ) y tiene como pendiente
2
3
d. Pasa por (− 3 , 1 ) y tiene como pendiente
3
4
e. Pasa por ( 2 , 4 ) y tiene como pendiente 0
f. Pasa por ( 3 , − 1 ) y tiene como pendiente 0
g. Pasa por ( 4 , 1 ) con pendiente no definida
k. Pasa por (− 2 , − 1 ) con pendiente no definida
l. Tiene 𝑦 – intersecto – 1 y como pendiente 3
m. Tiene 𝑥 – intersecto 2 y como pendiente – 1
- Para cada ecuación, encontrar la pendiente y el 𝑦 – intersecto de la gráfica.
a. 𝑦 = 2 𝑥 – 1
b. 𝑦 = 3 𝑥 – 2
c. 𝑦 =
1
3
d. 𝑦 =
1
5
e. 𝑦 = 2 𝑥 – 0 , 2
f. 𝑦 = − 5 𝑥 + 3
g. 𝑦 = 4 𝑥
h. 𝑦 = − 7 𝑥 + 1
i. 𝑦 = − 7 𝑥
j. 𝑦 = − 9
- Escribir la ecuación de cada recta en la forma explícita
a. 𝑚 = 3 , 𝑏 = 1
b. 𝑚 = 5 , 𝑏 = 4
c. 𝑚 =
1
2
d. 𝑚 =
1
3
e. 𝑚 = − 2 , 𝑏 = 5
f. 𝑚 = − 5 , 𝑏 = 2
g. 𝑚 = 0 , 𝑏 = − 3
h. 𝑚 = 0 , 𝑏 = − 13
i. 𝑚 = 0 , 𝑏 = 0
j. 𝑚 =
2
3
1
3
- Escribir cada ecuación en la forma explícita, indicar la pendiente y el 𝑦 – intersecto de la gráfica.
a. 2 𝑦 – 7 𝑥 = 14
b. 5 𝑥 + 8 𝑦 = 16
c. 6 𝑥 + 2 𝑦 + 8 = 0
d. 7 𝑥 + 5 𝑦 = 10
e. 𝑥 + 𝑦 = 0
f. 𝑦 + 3 = 0
g. 𝑥 – 𝑦 = 0
h. 𝑦 – 1 = 0
- Usar la pendiente y el 𝑦 – intersecto para trazar la gráfica de cada ecuación
a. 𝑦 = 3 𝑥 – 1
b. 𝑦 = 2 𝑥 – 4
c. 𝑥 + 2 𝑦 = − 8
d. 𝑦 – 4 = 0
e. 𝑥 + 3 𝑦 = − 9
f. 𝑦 + 7 = 0
- Encontrar el 𝑦 – intersecto y el 𝑥 – intersecto de cada recta
a. 𝑦 = 3 𝑥 – 9 b. 𝑦 = − 4 𝑥 + 8 c. 𝑥 = 3 𝑦 – 7
1
4 − 7 𝑥
− 4
7
4
2
7
4
Como 𝑚 1
2
− 4
7
7
4
= − 1 , las rectas son perpendiculares.
Ejercicios
- Determinar si las gráficas de cada par de ecuaciones son paralelas, perpendiculares o ni
paralelas ni perpendiculares
a. {
b. {
y = 5x + 7
2x − y = 3
c. {
x = 3 y – 4
1
3
d. {
y = −3x + 8
−9x + 3y = 10
e. {
4x − 5 y = 5
2x + y = 9
- Escribir una ecuación para la recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta dada
a. ( 2 , 4 ); 2 𝑥 − 5 𝑦 = 9
b. ( 4 , 5 ) ; 𝑦 − 1 = 7
c. ( 2 , − 6 ); 2 𝑦 + 4 = 9
d. (− 2 , 5 ); 2 𝑥 − 6 𝑦 = 5
e. ( 4 , − 3 ); 3 𝑥 − 2 𝑦 = 10
- Escribir una ecuación para la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta
dada
a.
b. ( 2 , − 1 ); − 2 𝑥 + 𝑦 = 3
c. ( 1 , 1 ); 𝑥 + 2 𝑦 = − 4
d.
e. ( 10 , − 2 ); 4 𝑥 + 6 𝑦 = 9
Desigualdades lineales en dos variables
La gráfica de toda ecuación lineal de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 es la frontera de dos semiplanos. Las
soluciones de la desigualdad 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 > 𝐶 son las coordenadas de todos los puntos en uno de los
semiplanos. Las soluciones de 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 < 𝐶 son lás coordenadas de todos los puntos en el otro
semiplano.
Observación
Desigualdades tales como 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 > 𝐶 o 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 < 𝐶 también se consideran como desigualdades
lineales en dos variables. Las gráficas de estas desigualdades son semiplanos cerrados, es decir, son
el semiplano junto con la recta frontera.
Ejemplo
Trazar la gráfica de 2 𝑥 − 3 𝑦 < 6.
Solución
Se dibuja la gráfica de la frontera 2 𝑥 − 3 𝑦 = 6.
Se traza la recta punteada para indicar que no hace parte de la desigualdad. Se toma un punto en uno
de los semiplanos y se verifica si sus coordenadas satisfacen la desigualdad. Tome, por ejemplo, el
origen ( 0 , 0 ) que está en semiplano 1:
Como 0 < 6 es verdadero, las coordenadas de todos los puntos en el semiplano
1 son soluciones de la desigualdad. El semiplano sombreado es la gráfica 2 𝑥 −
Ejercicios
- Trazar la gráfica de cada desigualdad:
a. 𝑦 − 𝑥 > 1
b. 2 𝑥 + 3 𝑦 ≤ 8
c. 2 𝑦 − 4 > 1
d. 3 𝑦 + 5 < 12
e. 𝑦 − 𝑥 < − 2
f. 3 𝑥 < 5 𝑦
g. 4 𝑥 > 7 𝑦
h.
4
3
1
2
i. 𝑦 ≤ 4 − 𝑥
j. 𝑦 ≥ 5 + 2 𝑥
k. 𝑥 + 5 ≤ 9
l. 3 𝑥 + 2 𝑦 ≥ 9
m. 𝑥 − 3 ≥ − 6
n.
1
3
o. −
1
2
1
4
p. 𝑥 − 𝑦 < 2
q. 3 𝑥 + 𝑦 ≤ − 1
r. 2 𝑥 + 𝑦 ≥ 1
s. 0 , 8 𝑥 + 0 , 5 𝑦 < 10
t. 𝑥 − 2 𝑦 ≤ 4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un conjunto de ecuaciones lineales se llama un sistema de ecuaciones lineales.
Inicialmente se consideran sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables. La solución de un
sistema lineal de dos ecuaciones en dos variables, es el conjunto de todos los pares ordenados de
números, tales que çada par satisface a todas las ecuaciones del sistema. Las gráficas de las
funciones lineales se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Graficamente la
solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables es el conjunto de todos los pares
ordenados de números correspondientes a los puntos de intersección de las gráficas de las dos
ecuaciones lineales (si estos puntos existen).
Ejemplo
algebraicos. Estos métodos consisten en remplazar el sistema dado por otro sistema que tenga
exactamente el mismo conjunto solución.
Dos sistemas de ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución se dice que son sistemas
equivalentes.
Si cualquier ecuación en un sistema dado se remplaza por una ecuación equivalente, el sistema
resultante es equivalente al sistema dado. Además, si dos ecuaciones cualesquiera de un sistema
dado se intercambian, el sistema resultante es equivalente al sistema dado.
Método de sustitución
Un método para encontrar el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos
variables es el método de sustitución, El método consiste en aplicar el principio de sustitución y
remplazar una de las variables en una de las ecuaciones por su igual de la otra ecuación, de esta
forma se consigue un sistema equivalente.
Ejemplo
Solución
❖ Despejo la ecuación 1
❖ Se remplaza
3
2
𝑥 − 7 en la segunda ecuación.
❖ Efectuar operaciones:
❖ Se operan las 𝑥 y paso el 21 que esta negativo al lado izquierdo de la ecuación, con signo positivo:
❖ Se halla el valor de 𝑥
❖ Se remplaza el valor de 𝑥 en la ecuación despejada, así:
3
2
4
3
❖ La solución del sistema es: (
4
3
La solución gráfica es:
Observaciones
❖ Si al aplicar el método de sustitución se llega a una ecuación
imposible, entonces no hay solución del sistema de
ecuaciones lineales, y por consiguiente el sistema es
inconsistente.
❖ Si al aplicar el método de sustitución se llega a una identidad entonces hay un número infinito de
soluciones y las ecuaciones originales son realmente formas diferentes de la misma ecuación. El
sistema es dependiente.
Ejercicios
3
2
1
2
1
2
1
2
2
2
3
2
6
2
Si pudieron observar que en cualquiera que escoja me da el mismo
valor para y
Por último, realizo la prueba para verificar que estén correctos tanto en la primera como en la segunda
ecuación.
La solución del ejercicio es 𝑆 = ( 2 , − 2 )
Ejercicios
Utilizando el método de igualación solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
𝑥
3
𝑦
4
7
12
𝑥
2
𝑦
3
1
6
𝑥
3
𝑦
4
1
3
Método de reducción o eliminación :
Si el método de eliminación conduce a una ecuación de la forma 0x + 0y = k donde k ≠ 0 , entonces el
sistema no tiene solución. El sistema es inconsistente.
Si el método de eliminación conduce a una ecuación de la forma 0x + 0y = 0 , entonces el sistema
tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones en el sistema son dos formas de la misma ecuación. El
sistema es dependiente.
Ejemplo
x − 2y = 6 ( 1 )
3x + 2y = 2 ( 2 )
Si sumamos el lado izquierdo de las dos ecuaciones obtenemos 4 𝑥, ya que − 2 y + 2y = 0. Si sumamos
el lado derecho de las ecuaciones obtenemos 6 + 2 = 8. Por tanto, la suma de las ecuaciones es 4 𝑥 =
8 , que es una ecuación con una sola variable.
De la ecuación 4 𝑥 = 8 , determinamos que 𝑥 = 2
Ahora podemos sustituir 2 por 𝑥 en cualquiera de las ecuaciones originales para determinar 𝑦.
Sustituiremos 2 por 𝑥 en 𝑥 – 2 𝑦 = 6.
x − 2y = 6
2 − 2y = 6
−2y = 6 − 2
−2y = 4
y =
y = − 2
La solución para el sistema es (2,- 2).
Ejercicios
x + 2y = 6
2x − 3y = 5
x + 2y = 6
4y = 12 − 2x
x = 3
x + y + 5 = 0
2x + 3y = 7
6x − y = 1
y =
1
3
x − 2
x − 3y = 6
3x − 3y = 4
2x + 3y = 5
4x − 5y = − 4
3x = 2y − 3
1
2
x + y = 4
3x +
1
4
y = 6
y = x + 3
y = −x − 5
3x + y = 3
3x + y + 5 = 0
y = 2x − 13
−4x − 7 = 9y
2x + y = 11
y = 4x − 7
x = y + 1
4x + 2y = − 14
3x − y = 14
6x − 2y = 10
3x + 4y = 10
4x + 5y = 14
x + y = − 2
x − y = 0
y = 2x + 4
y = − 2
x −
1
2
y = 6
y = 2x − 12
y = −2x + 5
x + 3y = 0
2x + 3y = 7
5 = y − 3x
4x + 5y = − 6
x −
5
3
y = − 2
Sistemas de ecuaciones lineales en tres variables
