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Acorde con los principios de la NEM
Sexto Semestre
Telebachillerato de Veracruz
Constantino Allende García • Jennifer Alexis Jiménez Valiente
Temas selectos de
de matemáticas
II
Temas selectos de matemáticas II
Constantino Allende García
Jennifer Alexis Jiménez Valiente
Temas selectos de matemáticas II
Dirección General de Telebachillerato
Constantino Allende García
Jennifer Alexis Jiménez Valiente
GOBIERNO DEL ESTADO DE VERACRUZ
Norma Rocío Nahle García Gobernadora del Estado de Veracruz
Claudia Tello Espinosa Secretaria de Educación de Veracruz
David Agustín Jiménez Rojas Subsecretario de Educación Media Superior y Superior
Dirección General de Telebachillerato
Director General Irving Ilhuicamina Mendoza Ruiz
Subdirectora Técnica Piedad Alcira Hernández Pérez
Jefe del Departamento Técnico Pedagógico Noel Abraham Velázquez Viveros
Jefa de la Oficina de Planeación Educativa Ana Flora Angulo Morales
Temas selectos de matemáticas II
Primera edición: 2026 ISBN: 978-607-725-580-
D. R. © 2026. Secretaría de Educación de Veracruz Km 4.5 Carretera federal Xalapa-Veracruz Col. Rubi Animas, C.P. 91193, Xalapa, Veracruz Telebachillerato de Veracruz
Impreso en México
Queda prohibida la reproducción total o parcial de la presente obra.
Equipo editorial
Coordinación editorial Mauro Morales Arellano
Asesoría académica Gonzalo Jácome Cortés
Asesoría pedagógica Jessica Martínez Barreto
Corrección y estilo Bertha Isabel Álvarez Vera
Diseño editorial Greisy del Carmen Ramos de la Cruz
Formación Zaira Zulema Sánchez Hernández
Fotografía de la portada Zaida Ruth García Montes
Presentación
La guía didáctica Temas Selectos de Matemáticas II ha sido elaborada como un recurso de apoyo para el trabajo académico del sexto semestre en el Telebachillerato de Veracruz, con el propósito de fortalecer el razonamiento matemático mediante el estudio y análisis de mo- delos, procesos y comportamientos presentes en distintos fenómenos de la realidad. A lo largo de la guía, el estudiantado profundiza en el uso de las matemáticas como una herramienta para describir, analizar e interpretar situaciones que involucran cambio, creci- miento, regularidad y variación. Los contenidos propuestos favorecen el desarrollo del pen- samiento lógico, la capacidad de abstracción y la interpretación de resultados, a partir de problemas contextualizados y actividades progresivas. La estructura de la guía se organiza en tres módulos que permiten un avance gradual en la comprensión y aplicación de los conceptos matemáticos. En el Módulo I, se promueve la exploración inicial de situaciones problemáticas relacionadas con el cambio y la variación, recuperando saberes previos y fortaleciendo la representación y análisis de patrones mate- máticos. Este módulo sienta las bases para el razonamiento lógico y la modelación de fenó- menos mediante sucesiones y procesos iterativos simples. El Módulo II se centra en el análisis de la antiderivada y el cálculo integral, introduciendo al estudiantado en la comprensión del área bajo la curva como una forma de medir acumulacio- nes. A través del estudio de sumas de Riemann, integrales indefinidas e integrales definidas, se analiza la relación entre derivación e integración como procesos inversos, estableciendo el Teorema fundamental del cálculo. Este módulo fortalece la capacidad de modelar fenó- menos continuos y aplicar el cálculo en contextos reales, como el crecimiento de plantas, el flujo de agua, la energía solar y otros procesos vinculados con el proyecto transversal del huerto hidropónico, apoyándose en recursos tecnológicos para la representación y análisis de funciones. En el Módulo III, el estudiantado aplica los conocimientos adquiridos al análisis de procesos más complejos, como el cálculo de áreas entre curvas, volúmenes de sólidos de revolución y aplicaciones interdisciplinarias del cálculo integral. Mediante la resolución de problemas contextualizados, se consolida la interpretación de la integral como una herramienta para comprender fenómenos físicos, naturales, sociales y productivos, fortaleciendo la toma de decisiones fundamentadas.
De manera transversal, Temas Selectos de Matemáticas II integra actividades que fomentan el aprendizaje activo, el trabajo colaborativo y la reflexión crítica, vinculando el conocimiento matemático con situaciones cercanas al entorno del estudiante. En conjunto, los contenidos de esta guía ofrecen una base sólida para el cierre del trayecto formativo en matemáticas del nivel medio superior, contribuyendo al desarrollo de compe- tencias académicas fundamentales para la continuidad de estudios y la formación integral de las y los estudiantes del Telebachillerato de Veracruz.
Lista de reproducción de los videos educativos de: Temas selectos de
- MÓDULO - MÓDULO Comportamientos fractales
- MÓDULO Contenido
- Comportamientos fractales
- Sistemas dinámicos discretos.................................
- La tienda
- Herradura de Smale
- Atractor de Lorenz
- Sucesiones
- Aritméticas
- Geométricas
- Fibonacci
- Series
- Geométricas
- Convergentes........................................................
- MÓDULO
- Análisis de la antiderivada
- Área bajo la curva
- Suma de Riemann.................................................
- Integral indefinida
- Interpretación geométrica
- Antiderivadas o primitivas de una función
- de las antiderivadas Teoremas fundamentales
- Integrales de funciones lineales y cuadráticas
- integral indefinida Propiedades básicas de la
- Integrale inmediatas o comunes
- Integral definida
- el paso previo a integrar...................................... La primitiva o antiderivada:
- de manera sencilla El modelo matemático explicado
- aplicaciones Teorema fundamental del cálculo y sus
- Aplicaciones de la integral definida
- Volumen de sólidos de revolución
- Método del anillo (o arandela)
- integral definida Aplicaciones interdisciplinares de la
- MÓDULO
- Procesos iterativos
- Ecuaciones diferenciales........................................
- Método presa-depredador
- El modelo matemático
- Puntos de equilibrio (solución algebraica)
- de osciliadores Módelo de Kuramoto: sincronización
- Módelo matemático...........................................
- Representación de las fases en un círculo
- Métodos numéricos (iterativos)...........................
- Método de aproximaciones sucesivas
- El modelo matemático explicado
- Método de Newton-Raphson
- El modelo matemático explicado
- Matemáticas para un equilibrio sostenible Acciones por nuestro planeta:
- Referencias bibliográficas
Comportamientos fractales
Módulo 1
MÓDULO
Ciencias naturales, experimentales y tecnología Temas selectos de matemáticas II
MÓDULO 1
Sistemas dinámicos discretos
Sucesiones
Comportamientos
fractales
Series
y
Introducción
Durante tu formación, has tenido la oportunidad de conocer las diversas formas de expresar algún fenómeno que se presente en tu entorno, y así, a través de las matemáticas, puedes modelar una función que describa tal comportamiento. Has aprendido a identificar fenómenos físicos, químicos y/o económicos; con la intención de estudiar, analizar y predecir una gran variedad de situaciones en tu vida diaria. En este primer módulo, nos enfocaremos en el estudio de la Teoría de los sistemas dinámicos discretos que nos ayudan a modelar fenómenos que cambian en saltos o intervalos discretos, como el crecimiento poblacional, economía o propagación de información; así también en la construcción de fractales y cálculos numéricos. Además, estudiaremos los conceptos de se- ries y sucesiones que te ayudarán a identificar estructuras en tu entorno que posean patrones o comportamientos repetitivos o fractales.
Esquema 1. Mapa conceptual del módulo1.
Nota. Elaboración propia.
Resolución de problemas en la vida cotidiana
Para
Para
Se apoyan de
MÓDULO 1 Comportamientos fractales
MÓDULO 1
Exploro mis saberes
Responde las siguientes preguntas.
- ¿Qué es una función?
- ¿Qué entiendes por sistema dinámico?
- ¿Qué es una sucesión aritmética?
- ¿Qué es una serie aritmética?
- Resuelve el siguiente ejercicio:
Si f ( ) x = x^2 y g x ( )^^ =^ x +^3 , encuentra la función compuesta (^ f^ ^ g^ )( ) x.
MÓDULO 1 Comportamientos fractales
MÓDULO 1
III. Con base en lo investigado realizarán en forma colectiva el diseño técnico (en dibujo o GeoGebra): realizar el plano o boceto del sistema hidropónico. Fase 2 I. Construirán en forma colectiva, con botellas PET o tubos PVC un mini sistema de cultivo hidropónico (NFT o de goteo). y elijan 1 o 2 cultivos según su clima local. II. Llevarán a cabo la germinación de las semillas y un registro fotográfico diario, que debe incluir: la medida de altura, número de hojas y tamaño de raíz. Y realizar el cálculo fractal: comparar patrones de hojas o tallos, calcular relación entre hojas nuevas y viejas, proporción de tamaños y simetría. III. Entrega a tu profesor la investigación con lo siguiente: a) Bitácora científica ilustrada con observaciones y mediciones. b) El boceto del sistema hidropónico. c) El modelo fractal del crecimiento vegetal. d) Una infografía que muestre la importancia de los cultivos hidropónicos en el mundo.
Figura 1. Hidroponia.
Nota. Elaboración propia por IA de Canva.
Nota. Elaboración propia.
Fase 1 I. Realizarás de forma individual, un trabajo de investigación que responda a los siguientes planteamientos:
- ¿Qué es la hidroponía y cómo funciona?
- Tipos de sistemas hidropónicos (NFT, raíz flotante, goteo).
- ¿Qué plantas crecen mejor en sistemas hidropónicos según el clima local?
- Principios de geometría fractal en la naturaleza.
II. Formarán equipos de trabajo para la recolección de materiales reciclados: botellas PET, tubos PVC, mangueras, bombas de pecera, cinta y sellador.
Tabla 1.1 Cultivos recomendados (por región de Veracruz).
Región Clima predominante Cultivos hidropónicos viables Características Norte (Papantla, Poza Rica)
Cálido-húmedo Lechuga, albahaca, espinaca Requieren sombra parcial, rápido crecimiento.
Centro (Xalapa, Córdoba) Templado-húmedo Fresa, acelga, jitomate cherry Buen rendimiento con control de humedad.
Sur (Coatzacoalcos, Minatitlán)
Cálido-tropical Cilantro, pepino, chile
Alta producción en sistemas NFT (Técnica de película nutritiva) o DWC (Cultivo en aguas profundas).
Construye tu proyecto transversal
Ciencias naturales, experimentales y tecnología Temas selectos de matemáticas II
MÓDULO 1
Sistemas dinámicos discretos
Empecemos recordando que un sistema es un conjunto de partes o elementos interrelacionados que funcionan de ma- nera coordinada para cumplir un objetivo común, donde el todo es más que la suma de sus partes; pero el cambio en un componente puede afectar a todo el conjunto. Un claro ejemplo de sistema es un ecosistema, el cual estudiaste en la Unidad de Aprendizaje Curricular de Ecosistemas: in- teracciones, energía y dinámica, así como los biomas y la importancia de las redes tróficas, por ejemplo, en la figura 1.1 observamos un bioma e identificamos qué elementos forman parte ese sistema.
El término dinámico, se refiere a movimiento, transformación y cambio a lo largo del tiempo. Entonces, un sistema dinámico es aquel en el que sus componentes se transforman para producir cambios conforme transcurre el tiempo. La forma en la cual los elementos o variables del sistema cambian con el tiempo se deno- mina comportamiento del sistema. Por ejemplo, el flujo de un líquido, el crecimiento de cierta población, los cambios y movi- mientos atmosféricos o el comportamiento de una neurona.
Figura 1. Poza “La Junta” en Zozocolco de Hidalgo, Ver. Ejemplo de Bioma Cálido.
Nota. Elaboración propia.
Como ya observaste en la Figura 1.3, su comportamiento está descrito por la dinámica que se produce como conse- cuencia de los cambios de los factores como luz solar, tem- peratura, precipitación, humedad, población (nacimientos y muertes), entre otros.
También, los sistemas dinámicos pueden utilizarse para analizar cómo pequeños cambios en una parte del sistema, pueden afectar al comportamiento del sistema completo. Por ejemplo, en el ecosistema podemos analizar el impacto de la baja precipitación que generará baja afluencia, y/o el impacto que tendrá en alguna especie o población animal, si esta es eliminada afectara a una cadena alimenticia y pos- teriormente a una red trófica.
Al graficar el comportamiento de un sistema dinámico, ob- tendremos órbitas y curvas. Al estudiarlas, se puede decir que las orbitas convergen o divergen.
La rama de la matemática a la que compete el estudio de estos sistemas es la de Sistemas dinámicos, entendiendo el comportamiento y naturaleza de las órbitas, además de estudiar y comprender los conjuntos de órbitas periódicas, eventualmente periódicas, asintóticas, etcétera.
Figura 1. Sistemas dinámicos.
Nota: Adaptado de “Sistemas Dinámicos,” por Instituto de Matemá- tica y Ciencias Afines, 2022 (http://imca.edu.pe/es/area-de-inves- tigacion/sistemas-dinamicos). Obra de Dominio Público.
Ciencias naturales, experimentales y tecnología Temas selectos de matemáticas II
MÓDULO 1
Con ello, vemos cómo el monto crece cada mes de acuerdo con la función compuesta consigo, es decir, que el comportamiento es de un sistema dinámico discreto.
Formalmente, veamos cómo se comporta un sistema dinámico.
Sea f : X → X función continua en un espacio métrico x . Un sistema dinámico
discreto se define como el par ( X , f ) donde se considera la composición de una
función consigo misma.
Para k^ ∈^ N , se define la k^ ésima iteración de f consigo misma k^ veces se denotará
como f k. Es decir que:
f^2 = f f
f^3 = f f f
f k^ +^1 = f k f
Veamos, por ejemplo, podemos tomar una calculadora y elegir cualquier valor numérico
inicial x 0 , aplicarle a este, la función coseno reiteradas veces y observar que ocurre,
es decir, realizar las operaciones:
cos (^) ( x 0 )
cos cos( ( x 0 ))
cos cos cos( ( ( x 0 )))
Observamos que este proceso converge al valor 0.739085 sin importar el valor de x 0.
Si analizamos la gráfica de la función coseno, nos damos cuenta de que es una fun-
ción periódica , lo cual significa que la función coseno se repite cada 2 π radianes
(o 360 grados). Debido a esta naturaleza cíclica, diferentes ángulos separados por
múltiplos enteros de 2 π tendrán exactamente el mismo valor de coseno.
Figura 1. Mapa de la función coseno.
Nota. Elaboración propia con Geogebra.
Periódica Es una función que repite sus valores a intervalos regulares. Esto significa que existe un número
positivo T (llamado
período) tal que
f ( x + T ) = f ( ) x
para todo valor de
x en el dominio de
la función.
MÓDULO 1 Comportamientos fractales
MÓDULO 1
Es importante tener en cuenta que, al graficar este tipo de comportamiento de un sistema dinámico, obtenemos órbitas y curvas, las cuales podemos identificar y analizar de forma general a través de su mapa unidimensional. A continuación, estudiaremos sobre las órbitas, puntos fijos y puntos periódicos, que identificamos a través de estos mapas.
Por el momento, nos interesan realizaciones unidimensionales de sistemas diná- micos en los que la variable tiempo es discreta, esto es, ecuaciones en diferencias finitas, relaciones de recursión, mapas iterados, mapas dinámicos o, simplemente,
mapas. Por ejemplo xn^ + 1 =^ cos xn es un mapa unidimensional, pues los puntos xn
pertenecen al espacio (unidimensional) de los números reales. El caso unidimensio- nal general es de la forma
xn (^) + 1 = f ( xn , ) r
donde r es una constante, llamada parámetro de control, que determina el grado de
no-linealidad del mapa, esto es, las propiedades de la secuencia x 0 , x 1 , x 2,,...
Esta secuencia es la trayectoria u órbita correspondiente a la condición inicial x 0^.
Los mapas surgen como modelos de fenómenos naturales en áreas tan dispares como electrónica digital, economía y sociobiología de poblaciones. Es el caso del mapa de
May, que se corresponde con f (. ) x r = rx (1 − x ). Los mapas también surgen como
representaciones discretas de ecuaciones diferenciales, por ejemplo, para facilitar su estudio numérico, puesto que los ordenadores digitales son más adecuados para tratar variables discretas que continuas.
Como sugiere la figura 1.6, el fenómeno puede repetirse: la separación entre las dos ramas tiende a crecer al hacerlo
r , la órbita 2 se hace inestable y bifurca en una órbita estable de
periodo 4, etc. para dinámica de poblaciones, xn^ + 1 =^ rxn^ (1^ − xn )
es un ejemplo de lo que se llama mapa logístico.
Órbita. Sea f un mapa unidimensional cualquiera y x 0 un
punto de su dominio, entonces decimos que la órbita de x 0 en
el mapa f es el conjunto de los puntos:
{ x 0^ ,^ x 1^ =^ f^^ (^ x 0^ )^ ,^ x 2^ =^ f^ (^ f^ (^ x 0^ ))^ ,^ x 3^ = f^ (^ f^ (^ f^ (^ x 0 ))),...}
El punto x 0^ en el que comienza la órbita se llama punto
inicial, valor inicial, condición inicial o semilla de la órbita.
Figura 1. Mapa de May.
Nota. Elaboración propia con IA por Canva.
Mapa unidimensional Son sistemas matemáticos que usan una sola variable para modelar su evolución en el tiempo mediante pasos discretos.
