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Tema 1: Nociones Básicas de
Álgebra
Matrices y operaciones con matricesDeterminante, rango y cálculo de la inversaSistemas de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones no lineales Las referencias al manual del curso (Ivorra y Juan, 2007) corresponden al Apéndice A Referencias Adicionales:
Arya, JC. y Lardner, RW (2009)
Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía.
5ª Edición_._^ Prentice Hall Repaso^ “Matemáticas Elementales”: Encabo, JA.
y^ Moya,^ P.^ (2015)
Matemáticas
aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato.
Textos Marea Verde_._
Introducción
Caso Práctico: Niños/as Exploradores
Caso práctico:
Niños/as Exploradores Niños/as Exploradores
(Arya, JC. y Lardner, RW (2009)
Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía.^ 5ª Edición_._^ pp.
.^ Prentice Hall) En los últimos tres años, cuatro niñas y niños exploradores, Mang, Carolina, Dulce y Benjamín, hantenido^ como misión^ recolectar
fondos^ para^ apoyar^ un
asilo.^ Con^ este objetivo
en^ mente,^ cada
año compraron^ chocolates.
Los adquirieron de tres tipos: blanco, amargo y semiamargo. Cada caja contiene 20 chocolates. Los venden por pieza y los tres últimos años los vendieron todos. Acontinuación se resume la información para el primer año.El segundo y tercer año compraron el mismo número de cajas de chocolate pero el precio por caja parael segundo año fue 10% mayor que el del primero; mientras que para el tercer año las ganancias deMang, Carolina, Dulce y Benjamín fueron 495, 485, 500 y 515$ respectivamente.1.^ Calcula las ganancias de los cuatro niños durante el primer año. ¿Quién gano más? ¿Quiénhizo la menor inversión?2.^ Expresa usando notación científica (matrices, vectores y sumatorios) las ganancias el segundo año.3.^ Expresa matemáticamente cómo se obtiene el precio por caja de cada tipo de chocolate para eltercer año.
Introducción
¿De qué tratan las matemáticas?
Las^ matemáticas^ son
una^ ciencia^ que^ elabora lógicamente un conjunto de esquemas sobre ciertos entes abstractos, no necesariamentevinculados^ con^ la^ realidad,
definidos^ de^ modo
que^ sus^ definiciones
no^ conlleven
contradicciones y que sean útiles para resolver un problema teórico o práctico de interés parala comunidad matemática o científica en general. ¿Qué estudiamos en Matemáticas I y II?
Usamos el lenguaje y resultados matemáticos para describir la Empresa y analizar y/o resolver aquellos problemas prácticos de interés a losque se enfrenta en sus procesos administrativos de planificación, ejecución y control. Enparticular:^ ^ Matemáticas I.
Desarrolla el lenguaje básico de las matemáticas para la descripcióngeneral de los problemas empresariales y estudia los resultados principales sobreanálisis funcional para inferir, bajo unos supuestos específicos y en entornos ciertos, losresultados de acciones estratégicas y operativas básicas. Matemáticas II.^ Estudiamos una disciplina aplicada de las matemáticas que se conocepor Programación Matemática o Investigación Operativa
que trata de la modelización y resolución de problemas en los que se asignan de forma óptima recursos escasos entreusos alternativos.
Álgebra de conjuntos N={0,1,2,…} (Naturales), Z={…, -2, -1, 0, 1, 2,…} (Enteros), Q={a/b, a, b
Z, b≠0} (Racionales), nR=QI (Reales) y R={ x =(x,…,x), xR, i=1,….n} son^1 ni
conjuntos numéricos^ y sus elementos se llaman^ puntos. n^ n^ (R+,^ ^ ), esto es R^ con las operaciones suma de vectores y producto de vector por un escalar (unnúmero real) con sus propiedades asociadas es un
espacio vectorial^ y los elementos se dicen
vectores.
^ Considera los siguientes conjuntos:A={círculos}, B={círculos rojos}, C={cuadrados rojos}Y observa: ,^ A^ “,^ ^ pertenecen
o son elementos de A” pero
B “^ no pertenece
a B”
BA^ “B^ está contenido
en A” AB=B^ “A^ intersección
B es B” (El conjunto intersección contiene los elementos comunes, esto es, que están en A^
y^ en B) AC=^ “A^ intersección
C es el conjunto vacío” (El conjunto vacío no tiene elementos) AB=A^ “A^ unión^ B es A” (El conjunto unión contiene los elementos que están en A
o^ en B)
A – B = {círculos que no son rojos} (Si A es todo nuestro universo, A-B=B
cc^ , Bes el
complementario^ de B)
Plan de DocenciaIntroducciónMatrices y operaciones con matricesDeterminante, rango y cálculo de la inversaSistemas de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones no lineales
Matrices y operaciones con matricesReferencia manual: A.1 Matrices
Matriz.^ Una matriz m
n es una tabla^ A^ de m·n números^ reales^ ordenados
en^ m^ filas^ y^ n columnas. ^ Observa.^ Un punto^ p
n^ R es una matriz n1. ^ Una matriz puede ser:^ ^ cuadrada^ ^ simétrica
^ diagonal ^ triangular^ ^ nula (^0
)^ ^ identidad ( I ) ^ fila / columna (=vector)
aaa1n (^1211) )(aij aaa ^ mnm2m A
Matrices y operaciones con matricesReferencia manual: A.1 Matrices
Plan de DocenciaIntroducciónMatrices y operaciones con matricesDeterminante, rango y cálculo de la inversaSistemas de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones no lineales
DeterminanteReferencia manual: A.2 Determinantes^ Determinante (Continuación).^ - Matrices n
n:^ (Método de adjuntos)donde A es el adjunto del elemento aij
, que seij obtiene^ multiplicando
i+j^ (-1) por^ el determinante^ de^ la^
matriz^ que^ resulta^ al suprimir la fila i y columna j de
A.
Propiedades de los determinantes: ^ Si se permutan dos filas o dos columnas elvalor del determinante cambia de signo. ^ El determinante no varía si a una fila ocolumna le sumamos otra multiplicada porun escalar no nulo. (^
método del pivote) ^ El determinante de una matriz triangular odiagonal es el producto de los elementos dela diagonal principal.
a...aa AAA inini2i2i1i1 a...aa^ AAA njnj2j2j1j1j A ^
Inversa de una matrizReferencia manual: A.4 Matrices inversas Inversa.^ Dada una matriz
A^ cuadrada, se llama matriz inversa de
-1^ A a la matriz A del mismo orden que cumple que:
-1-1^ IAAAA
Teorema.^ Una^ matriz
cuadrada^ tiene inversa (o es invertible) si y sólo si sudeterminante es diferente de cero.
Inversa de una matrizReferencia manual: A.4 Matrices inversas
Cálculo de la inversa por Gauss.
Consiste en obtener a partir de la matriz aumentada( A | I )^ la^ matriz^
-1equivalente ( I | A ) transformando la matriz
A^ en la^ I^ mediante las siguientes operaciones:1) Intercambio de dos filas.2) Multiplicación o división de una fila poruna constante distinta de cero.3) Suma/resta de un múltiplo constante de unafila a otra fila.
Observa.-^ ۷ ۯ ۰^
Método^ ^ de Gaussିۯ ۷ିۯ۰
Inversa de una matrizReferencia manual: A.4 Matrices inversas
Plan de DocenciaIntroducciónMatrices y operaciones con matricesDeterminante, rango y cálculo de la inversaSistemas de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones no lineales
Ecuaciones lineales y no lineales 1 Ecuación de segundo grado: Ecuación:ܽଶ (^) ݔ ݔ ܾ ܿൌ 0,്ܽ^0 Solución:ଶ^ ܾേ ܾെ^ ܿܽ4 െ ൌ ݔܽ2 Ecuación bicuadrada: Ecuación:ܽସ ଶ (^) ݔ ݔ ܾ ܿൌ 0,്ܽ^0 Solución: Convertir la ecuación anterior enଶ^ ecuacióndesegundogrado haciendo ݔ.ݐ ൌ
Ecuaciones polinómicas con unaraízentera: Las^ posibles soluciones enteras de
una ecuación^ polinómica^
son^ divisores^ del término independiente, si es que lo tiene.
