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DE MATEMÁTICAS I

GRADO EN ADE

GRADO EN ADE-DERECHO

GRADO EN ECONOMÍA

GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD

GRADO EN TURISMO-ADE

CURSO ACADÉMICO 201 7 - 2018

DE MATEMÁTICAS I

CURSO ACADÉMICO 2017- 2018

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS ELEMENTALES

1.- Simplifica las siguientes expresiones:

(a) 𝑎

3

2

5

𝑏 (b) ( 64 𝑥

3

2 ⁄ 3

(c) 4

2

• 4/

(d) √𝑥

10

5

4

(e)

4 √

√𝑥

6

3

(f)

(√𝑥

2

5

5 ⁄ 3

(g)

𝑥

3

𝑦

5

𝑥

2

𝑦

8

(h)

(𝑥

− 1

)

2

(𝑥

2

)

5

𝑥

3

𝑥

(i)

𝑥

1 ⁄ 3

𝑦

2 ⁄ 3

𝑧

2

3

(j)

𝑥

3

𝑦

4

⁄

𝑥

2

𝑦

3

⁄

(k)

1

(

√ 5 𝑥

− 3

√ 25 𝑥

2

)

2

2.- Efectúa las siguientes operaciones:

(a) ( 3 𝑥

2

3

3

2

𝑦) (b) (𝑥

2

(c) (𝑥

2

3

2

(d)

2

𝑥− 4

𝑥

2

𝑥

2

− 3

(e)

3

𝑥+ 1

4

𝑥− 1

(f)

2

( 𝑥− 3

)

𝑥

2

− 4

𝑥+ 3

𝑥− 2

(g)

3

𝑥+ 1

• 4 (h)

𝑥

𝑥− 2

𝑥

2

− 4

𝑥

3

3.- Realiza la descomposición factorial de los siguientes polinomios, es decir, transfórmalos en

productos de monomios o polinomios de menor grado.

(a) 𝑥

2

(b) 𝑥

2

(c) 𝑥

2

(d) 25 𝑥

2

(e) 𝑥

3

2

(f) 𝑥

4

3

2

4 .- Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) ( 2 𝑥 − 1 )

2

2

1

2

− 4 𝑥) (b) 𝑥 + 2 = √

(c) 𝑥 + 2 = √ 4 𝑥 + 13

(d)

(𝑥+ 1 )

2

𝑥(𝑥− 1 )

(𝑥− 1 )

2

𝑥(𝑥+ 1 )

3 𝑥+ 1

𝑥

2

− 1

(e)

𝑥 = 2 + √𝑥

2

(f) √ 2 𝑥 + 14 − √𝑥 − 7 = √𝑥 + 5

(g)

3 𝑥+ 2

2

−

4

3

(𝑥 − 2 ) = 𝑥 − (

𝑥− 3

2

−

2

7

( 5 − 2 𝑥)) (h) 3 𝑥

2

− 27 = 0 (i)

0 = 3 𝑥

2

− 11 𝑥 + 6

5 .- Resuelve las siguientes inecuaciones:

(a)

5 𝑥− 2

3

𝑥− 8

4

𝑥+ 14

2

− 2 (b)

(c)

𝑥− 4

𝑥

2

− 9

(d)

3 𝑥− 3

5

4 𝑥+ 8

2

𝑥

4

− 3 𝑥 (e)

(f)

2

6 .- Razona si son ciertas estas implicaciones. ¿Son ciertas las implicaciones recíprocas?

(a) 𝑥 = 2 e 𝑦 = 5 implica 𝑥 + 𝑦 = 7 (b) (𝑥 − 1 )(𝑥 − 2 )(𝑥 − 3 ) = 0 implica 𝑥 = 1

(c) 𝑥

2

2

= 0 implica 𝑥 = 0 o 𝑦 = 0 (d) 𝑥𝑦 = 𝑥𝑧 implica 𝑦 = 𝑧

(e) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 implica 𝑥

2

2

= 0 (f) 𝑥 > 𝑦

2

implica 𝑥 > 0

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CURSO ACADÉMICO 2017- 2018

TEMA 1: NOCIONES BÁSICAS DE ÁLGEBRA

Matrices, determinantes, rango y cálculo de la inversa

1.- Calcula:

(a) (

2 − 1 0 7

4 3 2 5

1 2 1 − 3

) + (

1 1 0 − 3

− 6 5 3 4

0 − 1 2 9

) (b) 5 (

(c) 2 (

) (d) (

2 .- Calcula:

(a) (

) (b) (

(c) (

(d) (

(e) (

) (f) (

(g) (

) (h) (

(i) ( 2 1 0 − 1

(j) (

(k) ( 1 2 − 2

) (l)

3 .- Dadas las matrices siguientes, calcula 3 𝐴 + 2 𝐵 y 2 𝐴 + 𝐵:

4 .- Explica las condiciones que debe cumplir una matriz 𝐴 para que exista su determinante.

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5 .- Calcula:

(a)

(b)

(c) |

(d) |

| (e) |

| (f) |

(g) |

| (h) |

| (i) |

(j) |

(k)

(l)

6 .- Calcula el rango de las siguientes matrices:

(a) (

2 − 1 1 0

1 0 3 5

3 1 4 − 1

) (b) (

2 3 4

4 6 8

6

8

9

12

12

16

) (c) (

1 − 1 0

3 2 1

5 0 5

)

(d) (

1

3

4

2 − 1 3

1 0 1

3 1 4

) (e) (

1 2 3

2 4 6

3 6 9

4

8

12

) (f) (

1 − 1

2 1

2 − 2

0 1

4 − 1

1 2

4 − 3

− 2 3

)

(g) (

1 1

2 1

1 0 0

0 1 3

1 0

0 0

− 1 1 3

1 2 4

) (h) (

6 − 9

− 12 14

8 − 7 − 11

− 13 12 − 9

− 12 2

6 − 13

− 4 6 0

11 − 9 9

)

7.- Halla, si existe, la inversa de las matrices siguientes:

(a) (

(b) (

(c) (

(d) (

) (e) (

8 .- Explica las condiciones que debe cumplir una matriz 𝐴 para que exista su matriz inversa y

define la matriz inversa de 𝐴.

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15.- Calcula el valor de 𝑚 para que el sistema

sea compatible.

16 .- Resuelve:

(a)

x 2y 2

3x 2xy 0

2

2

(b)











 

 

3y 12 0

3x 3 0

2

2

(c)











 

 

3y 3x 0

3x 3y 0

2

2

(d)

6x 2y 18

3x 6y 39

2

(e)

4x 2y 0

12x 8xy 0

2

3

(f)











 

 

x y 7

x y 25

2 2

(g)

xy 12

x y 25

2 2

(h)

xy 12

x y z 12

x y z 0

2 2 2

(i)

logx logy 1

3 x 2 y 35

(j)

x y

x y

(k)



















2 2 5

3 2 8

3 x 2 y 3

2 x 3 y 1

(l)











 





logx logy 1

2 128

x 1

(m)

logx logy 2

logx logy 4

(n)

1

2 𝑦

1

2 = 12

17 .- Las funciones de oferta y demanda de un modelo de mercado con 2 mercancías son las

siguientes:

s2 2

s1 1

Q 1 2P

Q 2 3 P

 

 

d2 1 2

d1 1 2

Q 5 P P

Q 10 2 P P

  

  

Se pide calcular los precios de equilibrio (

1

P

~

2

P

~

) y las cantidades de equilibrio (

1

Q

~

2

Q

~

18.- Una empresa fabrica tres productos en cantidades 𝑥, 𝑦, 𝑧. Para ello utiliza tres materias primas

𝑀 1 , 𝑀 2 y 𝑀 3. La cantidad disponible de cada materia prima es 280, 460 y 220 unidades

respectivamente. Para producir una unidad del primer artículo se utilizan 2 unidades de 𝑀 1 , 6 de

𝑀 2 y 8 de 𝑀 3. Para producir una unidad del segundo artículo se utilizan 4 unidades de 𝑀 1 , 11 de

𝑀 2 y 1 de 𝑀 3. Para producir una unidad del tercer artículo se utilizan 8 unidades de 𝑀 1 , 6 de 𝑀 2

y 2 de 𝑀 3. Determina la cantidad a producir de cada artículo si debe usarse exactamente toda la

materia prima disponible.

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CURSO ACADÉMICO 2017- 2018

19 .- Calcula los precios de equilibrio

1

P

~

2

P

~

3

P

~

y las cantidades de equilibrio

1

Q

~

2

Q

~

3

Q

~

del

modelo de mercado con tres mercancías cuyas funciones de oferta y demanda son las siguientes:

s3 1 3

s2 1 3

s1 1 3

Q 4 P 2P

Q 5 2P P

Q 4 2P P

  

  

  

d3 1 2 3

d2 1 3

d1 1 2

Q 4 P 2P 3P

Q 2 2P 2P

Q 8 P 3P

   

  

  

20 .- Escribe, si es posible, de forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones:

(a)

6x 2y 18

3x 6y 39

2 (b)

4x y 3z 8

x 2y 1

2x y z 2

x y z 1

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4 .- Calcula el dominio de las funciones siguientes y represéntalo gráficamente cuando sea posible.

(a) 𝐹

𝑥+ 1

(𝑥− 2 )(𝑥+ 3 )

(b) 𝐹(𝑥) = √

−𝑥+ 1

2 +𝑥

(c) 𝐹

𝑦+𝑧

, ln

)) (d)

𝐹

2

2

(e) 𝐹(𝑥, 𝑦) = √𝑥

2

3

4

(f) 𝐹

√

𝑥

2 𝑥−𝑦

(g) 𝐹

( 𝑥, 𝑦

) = {

𝑥

2

𝑦

𝑥

2

+𝑦

2

si (𝑥, 𝑦) ≠ ( 0 , 0 )

0 si (𝑥, 𝑦) = ( 0 , 0 )

(h)

𝐹(𝑥, 𝑦) = {

𝑥

2

• 3 𝑦

3

si 𝑥 ≥ 𝑦

√

𝑥𝑦 si 𝑥 < 𝑦

(i) 𝐹(𝑥, 𝑦) = {

2 𝑥𝑦

𝑥− 1

si 𝑥 > 1

√

3 𝑥𝑦 si 𝑥 ≤ 1

(j) 𝐹(𝑥, 𝑦) = {

𝑥 +

√

𝑦

𝑥

2

− 1

si 𝑦 ≥ 0

𝑥

2

− 1 si 𝑦 < 0

(k) 𝐹(𝑥, 𝑦) = ( √

𝑥 + 𝑦, ln(𝑥 − 1 ) , 𝑒

√

𝑦

) (l) 𝐹

ln(𝑥+𝑧)

𝑒

√𝑥−𝑦

(m) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

ln 𝑦

2

𝑒

𝑥

−√𝑧

(n)

𝑒

𝑥

𝑦

ln(𝑥+𝑧)

5 .- Calcula el dominio matemático y económico de las siguientes funciones:

(a) 𝐷(𝐼, 𝑝, 𝑝

′

√𝐼𝑝′

2 𝑝

siendo 𝐷 la función de demanda de un producto, 𝐼 la renta del consumidor,

𝑝 el precio del producto y 𝑝’ el precio de un bien sustitutivo.

(b) 𝐶

3

2

• 36 𝑞 + 20 siendo 𝐶 la función de costes y 𝑞 la producción diaria.

(c) 𝑄

2

2

siendo 𝑄 la función de producción, 𝐾 el capital y 𝐿 el trabajo.

(d) 𝑈

3

4

siendo 𝑈 la función de utilidad de un consumidor, 𝐶 el consumo de chocolate

y 𝐹 el consumo de fresas.

6 .- Estudia la homogeneidad de las siguientes funciones. En caso afirmativo, halla su grado.

(a) 𝑓

2

2

(b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥

2

𝑦𝑧 + 3 𝑥

3

• 3 𝑦

2

(c)

𝑓(𝑥, 𝑦) = sen

𝑥

𝑦

(d) 𝑓

𝛼

1 −𝛼

(e) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

√𝑥

4

𝑦+𝑥

5

3

( 𝑥+ 2 𝑦

)

2

(f) 𝑓

𝑥

2

+𝑦

2

2 𝑥

2

𝑦

(g) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑥

2

+𝑦

2

𝑧

(h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen(𝑥 + 𝑦) (i)

𝑥

𝑦

(j) 𝑓

√𝑥

2

+𝑦

3

4

( 3 𝑥+𝑦)

2

(k) 𝑓

𝑥

𝑥

2

+𝑦

2

√𝑥

2

+𝑦

2

𝑥𝑦

(l) 𝑓

√𝑥𝑦+𝑥

2

3

√

𝑥+𝑦

7 .- Dadas las funciones de producción siguientes:

(a) 𝑄(𝐿, 𝐾) = 𝐴𝐾

𝛼

𝛽

, donde 𝐴, 𝛼 y 𝛽 son parámetros reales y 𝐴, 𝛼, 𝛽 > 0.

(b) 𝑄(𝐿, 𝐾) = 𝐴 + 𝛽 (

𝐾

𝐿

𝛼

, donde 𝐴, 𝛼 y 𝛽 son parámetros reales y 𝐴, 𝛼, 𝛽 > 0.

(c) 𝑄(𝐿, 𝐾) = 𝐴[𝛽𝐾

𝛼

𝛼

]

1

𝛼 , donde 𝐴, 𝛼 y 𝛽 son parámetros reales, 𝐴, 𝛼, 𝛽 > 0 y

Estudia si son homogéneas o no en función de sus parámetros. Y en caso afirmativo indica el tipo

de rendimientos a escala (crecientes, constantes o decrecientes) que presenta una empresa con dicha

función de producción.

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CURSO ACADÉMICO 2017- 2018

8 .- El coste total de una empresa en € viene dado por la función

2

2

donde 𝑥 e 𝑦 representan las horas empleadas de mano de obra y de máquina, respectivamente.

Sabemos que las horas empleadas de mano de obra y máquina dependen de la cantidad producida

del producto final (𝑧) según las siguientes funciones

2

Escribe el coste total de la empresa como función de la cantidad producida del producto final.

9 .- Calcula (si existen) las funciones compuestas 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔 siendo:

(a) 𝑓

𝑥

𝑦

2

𝑡

(b) 𝑓

2

2

sen 𝑡 , cos 𝑡

(c) 𝑓

2

2

2

1

𝑡

, ln 𝑡)

10 .- Calcula la función compuesta en los siguientes casos:

(a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 + 3 𝑥 − 𝑧

2

(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3 𝑦 − 𝑥

2

(c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑒

𝑥

ln 𝑦

𝑧

𝑥𝑧

en el punto (𝑥, 𝑧) = ( 0 , 1 ).

(d) 𝑡(𝑢, 𝑣) = 𝑢 + 𝑒

𝑣

2

en el punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 2 , 1 , 0 ).

11 .- La función de producción de una empresa es 𝑄(𝐾, 𝐿, 𝑀) = √𝐾𝐿𝑀 donde 𝐾 es el capital, 𝐿 el

número de trabajadores y 𝑀 el número de máquinas.

(a) Escribe la ecuación de la curva de nivel (isocuanta) correspondiente a una producción de 200

unidades. Interprétala.

(b) Calcula la función 𝑀(𝐾, 𝐿) definida implícitamente por dicha ecuación.

(c) Calcula 𝑀( 100 , 10 ) e interpreta el resultado.

12 .- Escribe de forma explícita, si es posible, las funciones definidas implícitamente por las

siguientes ecuaciones:

(a) 𝑥

2

𝑦 + 𝑦𝑥 − 2 + 𝑧 = 0 Calcula 𝑦(𝑥, 𝑧).

(b) 𝑦

2

• ln(𝑥𝑦) − 4 = 0 Calcula 𝑥(𝑦).

(c) 𝑥

2

2

− 9 = 0 Calcula 𝑦(𝑥).

(d) √𝑧𝑥

2

4

5

= 3 Calcula 𝑧(𝑥, 𝑦).

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17 .- Representa gráficamente las siguientes funciones:

(a) 𝐶 = 200 + 0

′

6 𝑌 donde 𝐶 es el gasto del consumidor e 𝑌 representa sus ingresos.

(b) 𝐼 = 80 𝑄 − 0

′

2

donde 𝐼 representa los ingresos y 𝑄 la producción.

(c) 𝐶 = 200 𝑒

0′05𝑇

donde 𝐶 es el capital obtenido al cabo de 𝑇 unidades de tiempo con un interés

del 5%.

18 .- Representa gráficamente las siguientes curvas de nivel:

(a) Curva de nivel 4 de la función 𝑓

2

2

(b) Curva de nivel 0 de la función 𝑓

2

(c) Curva de nivel 1 de la función 𝑓

Conceptos de límite y continuidad

19 .- En los siguientes apartados, di si se trata de un número, un vector, una función o un conjunto.

(a) {( 3 , − 1 ,

1

2

(b) ℝ

4

(c) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)  ℝ

2

(d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦; 𝑓( 1 , 5 ); lim

(𝑥,𝑦)→( 2 , 0 )

20 .- Calcula, si existen, los siguientes límites:

(a)

lim

𝑥→+∞

𝑥

2

• 1

𝑥

(b) lim

𝑥→+∞

ln

1

𝑥

(c) lim

𝑥→+∞

ln

𝑥

2

• 1

𝑥

(d)

lim

𝑥→ 0

𝑥

2

• 1

𝑥

(e) lim

𝑥→ 0

sen

1

𝑥

(f) lim

𝑥→+∞

cos

1

𝑥

(g)

lim

𝑥→+∞

−

𝑥

2

• 1

𝑥

21 .- Calcula, si existen, los siguientes límites:

(a)

lim

(𝑥,𝑦)→( 2 , 0 )

3

( 𝑥− 2

)

2

+𝑦

(b)

lim

(𝑥,𝑦)→( 2 , 0 )

𝑦

𝑥

2

3

22 .- Dada la función:

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

0 si 𝑥 ≥ 𝑦

2

1 si 𝑥 < 𝑦

2

Calcula, si existen, los siguientes límites:

(a)

lim

(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )

(b)

lim

(𝑥,𝑦)→( 1 , 2 )

(c)

lim

(𝑥,𝑦)→( 2 , 1 )

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23 .- Dada la función:

𝑓(𝑥) = {

2 𝑥 − 1 si 𝑥 ≥ 2

1 si 𝑥 < 2

Represéntala gráficamente. Estudia si es continua en los puntos 𝑥 = 2 y 𝑥 = 6.

24 .- Dada la función:

𝑓(𝑥) = {

0 si 𝑥 = 2

3 𝑥 − 1 si 𝑥 ≠ 2

Represéntala gráficamente. Estudia si es continua en el punto 𝑥 = 2.

25 .- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

(a) 𝑓

𝑥+ 2

𝑥

2

− 7 𝑥+ 10

(b)

3 𝑥𝑦

𝑥

2

+𝑦

2

(c) 𝑓

= 𝑥𝑦 + sen

• ln

2

2

) (d)

𝑥𝑦

√𝑥−𝑦

(e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen(𝑥𝑦) ln( √

𝑥 − 𝑦) (f)

1

√

𝑥+𝑦+𝑧

3

(g) 𝑓

𝑥

2

• 2 𝑥+ 1

𝑥

3

• 3 𝑥

2

• 3 𝑥+ 1

en 𝑥 = − 1

(h)

1

𝑦+𝑧

, ln √

(i) 𝑓

𝑥

𝑥− 2

𝑥

𝑥

2

− 3 𝑥+ 2

1

12

26 .- Dada la función:

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

1

𝑥 − 2 𝑦

si (𝑥, 𝑦) ≠ ( 2 , 1 )

0 si (𝑥, 𝑦) = ( 2 , 1 )

Se pide:

(a) Espacio inicial y espacio final.

(b) Dominio de la función.

(c) Calcula, si es posible, dos puntos que sean del dominio y dos que no lo sean.

(d) Estudia la continuidad de la función en los puntos ( 2 , 1 ), ( 0 , 0 ) y ( 1 , 2 ).

27 .- Dada la función:

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

𝑥 + 𝑦 + 7

𝑥 + 1

si 𝑥 < 𝑦 + 1

4 si 𝑥 ≥ 𝑦 + 1

Se pide:

(a) Espacio inicial y espacio final.

(b) Dominio de la función.

(c) Calcula, si es posible, dos puntos que sean del dominio y dos que no lo sean.

(d) Estudia la continuidad de 𝑓 en los puntos ( 1 , 0 ), ( 2 , 1 ), (− 0. 5 , 1 ), (− 1 , − 2 ) y (− 1 , 3 ).

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TEMA 3: DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

Definición e interpretación económica de derivada de una función real. Cálculo de

derivadas

1.- Estudia la derivabilidad en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 de la función 𝑓(𝑥) = {

2

− 1 si 𝑥 < 0

2

− 1 si 𝑥 ≥ 0

2 .- Estudia la derivabilidad de 𝑓(𝑥) = {

2

3 .- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

(a) 𝐹(𝑥) = 1 −

1

√𝑥

2

• 2 𝑥

(b) 𝐹(𝑥) =

1 −𝑥

− 1

1 −𝑥

(c) 𝐹(𝑥) = ln

𝑥

2

− 4

2 𝑥

(d)

𝑥

√𝑥

2

• 2 𝑥

(e)

𝑥+ 1

𝑥− 1

(f) 𝐹(𝑥) = sen

2

2

(g) 𝐹(𝑥) = 3

𝑥

2

• 2 𝑥+ 1

(h) 𝐹(𝑥) = 4 𝑥

1

2

⁄

− 1

2

⁄

(i) 𝐹

2

4 −𝑥

2

4 .- Sea 𝐶(𝑥) = 𝑥

2

• 3 𝑥 + 100 la función de costes de una empresa. Prueba que la tasa media de

variación cuando 𝑥 varía de 100 a 100 + ℎ es

𝐶

( 100 +ℎ

) −𝐶( 100 )

ℎ

= 203 + ℎ (ℎ ≠ 0 ). ¿Cuál es el

coste marginal 𝐶

′

5 .- Si el ahorro total de un país (𝑆) es una función del producto nacional (𝑌), entonces 𝑆’(𝑌) se

llama propensión marginal al ahorro (PMA). Encuentra la PMA para las funciones siguientes:

(a) 𝑆

(b) 𝑆

2

6 .- Supongamos que la relación entre la renta bruta 𝑌 y el total de impuestos 𝑇 sobre la renta de los

contribuyentes con renta entre 80.000 y 120.000 € viene dada por la ecuación

𝑝

donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑝 y 𝑘 son constantes positivas.

(a) Encuentra la expresión del tipo marginal del impuesto 𝑑𝑇 ⁄𝑑𝑌.

(b) Un estudio empírico dedujo las estimaciones siguientes de las constantes anteriores: 𝑎 =

0 , 000338 ; 𝑏 = 0 , 81 ; 𝑐 = 6. 467 ; 𝑝 = 1 , 61 ; 𝑘 = 0 , 053. Utiliza estas cantidades para

encontrar los valores de 𝑇 y 𝑑𝑇 𝑑𝑌

cuando 𝑌 = 100. 000.

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CURSO ACADÉMICO 2017- 2018

7 .- La función de coste total de un artículo determinado es 𝐶(𝑥) = 30 + 10 𝑥 + 2 𝑥

2

,valorada en

euros, y el precio unitario del artículo viene dado por la expresión 𝑝(𝑥) = 60 − 2 𝑥 donde 𝑝 viene

expresado en euros. Determina:

(a) Los dominios de definición de las dos funciones.

(b) El coste marginal.

(c) La función de ingresos.

(d) La función de beneficios 𝐵 = 𝐼 − 𝐶.

(e) El ingreso marginal.

(f) El beneficio marginal.

Definición e interpretación económica de derivadas parciales de funciones escalares y

vectoriales

8.- Calcula todas las derivadas parciales de las siguientes funciones:

(a)

1

√

𝑦− 2 𝑥

(b) 𝐹

1 −𝑥

− 1

1 −𝑦

(c) 𝐹

= 𝑧 + ln

𝑥

2

− 4 𝑦

2 𝑧

(d) 𝐹

2

𝑥

1 −𝑦

) (e)

𝑥+ 1

𝑦− 1

(f) 𝐹(𝑥, 𝑦) = cos( 4 𝑥

2

(g) 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥

2

• 𝑥𝑦

2

, √

𝑥

2

• 𝑦) (h) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 3

𝑥+ 2 𝑦+ 1

(i)

1

2

• 𝑦𝑧

−

1

2

9.- Calcula las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes:

(a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥

3

𝑦 + 2 𝑥𝑧

2

• 3 𝑥𝑦𝑧 (b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥

3

− 2 𝑥𝑦

4 𝑥+𝑦

2

(c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦

cos 𝑥

(d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen

8

(𝑥

2

• 𝑦

3

) (e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥+ 1

− 𝑒

2 −𝑦

(f)

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑒

𝑦

cos(𝑥+ 2 )

ln(𝑧− 1 )

(g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen(𝑥 + 2 𝑦

2

)

8

(h) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = sen(𝑥𝑦

2

𝑧) (i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln

3

(𝑥/𝑦)

10.- Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones:

(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥

3

• 𝑦

2

(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

cos 𝑦 (c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦

(d) 𝑓

( 𝑥, 𝑦

) = cos

4

( 2 𝑥𝑦

) (e)

𝑓(𝑥, 𝑦) =

ln(𝑥− 3 𝑦)

𝑥

2

√

𝑦

(f)

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥

𝑥

2

+𝑦

2

(g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3

( 5 𝑥− 1

)

sen( 4 𝑦

2

− 2 𝑥) (h) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑥( 2 −cos( 2 𝑦))

𝑥

2

+𝑧

2

(i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥 ln 𝑦

(j) 𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑤) = (𝑢

2

• 𝑣

2

• 𝑤

2

)

−

1

2 (k)

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2 )(𝑦 − 3 ) (l)

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦)

𝑧

(m) 𝑓

( 𝑥, 𝑦

) = 𝑒

𝑥 ln 𝑦

sen

( 𝑥 + 𝑦

) (n)

𝑓(𝑥, 𝑦) =

ln( 2 𝑥− 2 𝑦)

𝑥

1

2

(ñ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (

𝑥

5

• 2 𝑦

𝑦

3

)

6

(o) 𝑓

( 𝑥, 𝑦

)

( 𝑥

2

− 3 𝑦

)

5

• 5

𝑥

2

− 3 𝑦

(p) 𝑓

( 𝑥, 𝑦

) = ln √𝑥 + 𝑒

𝑥+𝑦

(q)

𝑓(𝑥, 𝑦) = ln

𝑦

𝑥

(r) 𝑓

( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡

)

√

𝑦

3

ln 𝑥

• sen

( 𝑧𝑡

) (s)

𝑓

( 𝑥, 𝑦, 𝑧

)

𝑧

sen(

𝑦

𝑥

)

(t) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 𝑧

3

− 3 (𝑥

2

• 𝑦

2

)𝑧 (u) 𝑓

( 𝑥, 𝑦

) = √ 9 − 𝑥

2

− 𝑦

2

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CURSO ACADÉMICO 2017- 2018

18 .- Indica el signo y las unidades de medida que tendrán en condiciones normales las derivadas

siguientes:

(a) El salario de un trabajador respecto del tiempo.

(b) La demanda de un artículo respecto de su precio.

(c) El volumen de ventas de una empresa respecto de su inversión en publicidad.

(d) El ahorro medio de los habitantes de un país respecto del índice de precios.

19 .- Los ingresos impositivos por IVA (en % del PIB) se estiman con la función

donde 𝑥 es el tipo impositivo (en %), actualmente 𝑥 = 18 ; 𝑦 es el peso de la economía sumergida

(en %), actualmente 𝑦 = 20 ; y 𝑧 es el consumo (en % del PIB), actualmente 𝑧 = 76.

(a) Calcula la derivada parcial de los ingresos impositivos por IVA respecto al peso de la economía

sumergida en la situación actual e interpreta económicamente su signo.

(b) Calcula aproximadamente como cambiarían los ingresos impositivos por IVA si el tipo

impositivo aumenta a 𝑥 = 20 desde la situación actual, suponiendo que el resto de variables se

mantienen constantes.

(c) Calcula la elasticidad respecto al tipo impositivo en la situación actual, es decir, la expresión

𝜕𝐼

𝜕𝑥

𝑥

𝐼

( 18 , 20 , 76 )

(a) Sea 𝐶(𝑥, 𝑦) la función de costes (en €) de una empresa que fabrica 𝑥 unidades de un producto

A e 𝑦 unidades de un producto B. Sabemos que 𝐶

𝜕𝐶

𝜕𝑥

𝜕𝐶

𝜕𝑦

(𝑥, 𝑦) = 𝑥. Con esta información, ¿el coste de fabricación de 40 unidades de A y 28 de B

será aproximadamente de 3090 €, 540 €, 2750 € o 2752’38 €?

(b) Sean 𝑥 e 𝑦 las cantidades que utiliza una empresa de las materias primas A y B respectivamente.

Cuando 𝑥 = 3 , 𝑦 = 7 , las derivadas parciales de la función de costes son

𝜕𝐶

𝜕𝑥

𝜕𝐶

𝜕𝑦

= 15. Con esta información podemos deducir que:

i) Si se utilizan 5 unidades de la materia A sin variar la cantidad consumida de B, el coste

de la empresa aumenta aproximadamente en 10 u.m.

ii) Si se utilizan 6 unidades de la materia B sin variar la cantidad consumida de A, el coste

de la empresa aumenta aproximadamente en 15 u.m.

iii) Si se utilizan 4 unidades de la materia A sin variar la cantidad consumida de B, el coste

de la empresa aumenta aproximadamente en 10 u.m.

iv) Si se utilizan 8 unidades de la materia B sin variar la cantidad consumida de A, el coste

de la empresa aumenta aproximadamente en 10 u.m.

(c) La función de producción de una empresa viene dada por la expresión 𝑄(𝐾, 𝐿) =

0´

0´

, donde 𝐾 es el capital invertido y 𝐿 el número de horas trabajadas. En la

actualidad, 𝐾 = 3125 u.m. y 𝐿 = 32 horas. Si se decide aumentar únicamente el número

de horas trabajadas a 42 horas, ¿el incremento aproximado que experimentará la

producción será de 500 u., 128 u., 2100 u. o 50128 u?

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Derivadas sucesivas de funciones de una o más variables

21 .- Sea 𝑈(𝑥) la función de utilidad de un consumidor, donde 𝑥 es la cantidad consumida de un

bien.

(a) Explica la diferencia de interpretación entre

𝑑𝑈

𝑑𝑥

10

y

𝑑𝑈

𝑑𝑥

1000

(b) ¿Cuál es el signo que cabría esperar en estas dos derivadas?

(c) ¿Cuál de las dos es de esperar que sea mayor?

(d) ¿Cuál es el signo que cabría esperar para

𝑑

2

𝑈

𝑑𝑥

2

10

(e) Si 𝑈( 10 ) = 3’65 y

𝑑𝑈

𝑑𝑥

10

= 0′22, calcula aproximadamente 𝑈(10’5).

22 .- Consideremos las funciones

2

2

2

2

2

2

definidas en 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

(a) Comprueba que

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑔

𝜕𝑦

y que

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑔

𝜕𝑥

(b) Calcula

𝜕

2

𝑓

𝜕𝑥

2

𝜕

2

𝑔

𝜕𝑦

2

y

𝜕

2

𝑔

𝜕𝑥

2

𝜕

2

𝑔

𝜕𝑦

2

23 .- Razona si las siguientes funciones son de clase 𝒞

∞

(a) 𝑓

𝑒

𝑥−𝑡

𝑦

2

• 2 𝑧

(b) 𝑓

3

4

(c) 𝑓(𝑥) = √𝑥

7

3

24 .- Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥𝑦(𝑥

2

−𝑦

2

)

𝑥

2

+𝑦

2

, calcula

𝜕𝑓

𝜕𝑥

( 1 , 1 ) y

𝜕

2

𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

25 .- Dada la función 𝑓

2

sen 𝑦.

(a) Comprueba que verifica el teorema de Schwarz para todo punto de ℝ

2

(b) Calcula

𝜕

3

𝑓

𝜕𝑥

2

𝜕𝑦

(c) Calcula

𝜕

5

𝑓

𝜕𝑥

2

𝜕𝑦

3