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ALGEBRA LINEAL
TEMAS DE TEOR´IA DEL SEGUNDO PARCIAL
´Indice
- Endomorfismos diagonalizables. Vectores y valores propios. 1
- Polinomio caracter´ıstico 3
- Primer criterio de diagonalizabilidad: criterio de las multiplicidades 5
- Segundo criterio de diagonalizabilidad: criterio del polinomio anulador 6
- Polinomio m´ınimo 8
- Descomposici´on primaria 9
- Forma de Jordan de una matriz 12
En todo el cap´ıtulo, K denota un cuerpo, E un espacio vectorial sobre K y f un endomorfismo de E. Cuando sea necesario, precisaremos si E tiene dimensi´on finita o si K = C. A denota una matriz cuadrada con coeficientes en K.
- Endomorfismos diagonalizables. Vectores y valores propios.
- Define matrices conjugadas, matriz diagonal, matriz diagonalizable, endomorfis- mo diagonalizable.
- Relaci´on entre matrices diagonalizables y endomorfismos diagonalizables.
- Define vector propio, valor propio, autoespacio relativo a un valor propio, multi- plicidad geom´etrica de un valor propio.
- Caracterizaci´on de los endomorfismos diagonalizables con vectores propios.
Definici´on 1.1. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada tal que todos coefi- cientes que no est´an sobre la diagonal principal son nulos. Si λ 1 , · · · , λn son los es- calares (no necesariamente distintos) de la diagonal principal, la matriz se denota por D(λ 1 ,... , λn),
D(λ 1 ,... , λn) =
λ 1 0 ··· 0 0 λ 2 ··· 0 .. .
0 0 ··· λn
1
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Definici´on 1.2. Si E es de dimensi´on finita, se dice que f es un endomorfismo diagonalizable si existe una base u de E tal que la matriz de f en la base u es una matriz diagonal D(λ 1 ,... , λn), es decir,
f (ui) = λi · ui, ∀i.
Definici´on 1.3. Dos matrices A y B de tipo n × n se llaman conjugadas si existe una matriz invertible U tal que B = U −^1 AU.
La relaci´on de conjugaci´on entre matrices de tipo n × n es una relaci´on de equivalencia.
Proposici´on 1.4. Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial E de dimensi´on finita. Sean A y B las matrices de f en dos bases de E. Las matrices A y B son matrices conjugadas.
Demostraci´on. Sean u y v dos bases de E, A la matriz de f en la base u y B la matriz de f en la base v. Entonces B = U −^1 AU , donde U := Mu(v) es la matriz de cambio de base, por tanto A y B son conjugadas.
Definici´on 1.5. Una matriz cuadrada n × n se llama matriz diagonalizable si es conjugada a una matriz diagonal.
Proposici´on 1.6. (1) Si un endomorfismo f es diagonalizable, para toda base u de E la matriz de f en la base u es diagonalizable.
(2) Una matriz A de tipo n × n es diagonalizable si, y solo si, el endomorfismo LA de Kn^ es diagonalizable
Demostraci´on. Veamos (1). Si f es diagonalizable, existe una base u tal que la matriz D de f en la base u es diagonal. Si v es cualquier otra base, la matriz A de f en la base v es conjugada a D, por tanto A es diagonalizable.
Veamos (2). Supongamos que A = U −^1 DU , con D diagonal y U invertible. Sea u la base de Kn^ tal que U = Me(u). Entonces la matriz de LA en la base u es Mu(e)Me(LA)Me(u) = U −^1 AU = D, por tanto el endomorfismo LA es diagonalizable. Rec´ıprocamente, si LA es diagonalizable, existe una base u de Kn^ tal que la matriz D de LA en la base u es diagonal. Puesto que A es la matriz de LA en la base can´onica, A es conjugada a D, de donde resulta que A es diagonalizable.
Definici´on 1.7. Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial E (no necesariamente de dimensi´on finita).
(1) Un vector no nulo u ∈ E tal que
f (u) = λ · u
se llama un vector propio de f. El escalar λ de la ecuaci´on anterior (que es ´unico) se llama el valor propio de u respecto de f.
(2) Un escalar λ ∈ K se llama un valor propio de f si es el valor propio de alg´un vector no nulo.
Proposici´on 1.8. Un endomorfismo f de un espacio vectorial E de dimensi´on finita es diagonalizable si, y solo si, E tiene una base formada por vectores propios de f.
4 TEMAS DE TEOR´IA DEL SEGUNDO PARCIAL
Omitimos la demostraci´on del resultado anterior.
Definici´on 2.3. El polinomio χA(t) se llama el polinomio caracter´ıstico de A. Si λ es un valor propio de A, la multiplicidad mλ de λ como ra´ız de χA(t) se llama la multiplicidad algebraica de λ como valor propio de A.
Proposici´on 2.4. Si D = λ 1 · (^1) m 1 ⊕ · · · ⊕ λr · (^1) mr es una matriz diagonal, en la cual λ 1 , · · · , λr son escalares distintos, se cumple
χD(t) = (λ 1 − t)m^1 ·... · (λr − t)mr^ ,
y mi es la multiplicidad algebraica de λi, para todo i.
Proposici´on 2.5. Si A y B son dos matrices conjugadas, entonces χA(t) = χB (t).
Demostraci´on. Si B = U −^1 AU , entonces B − tI = U −^1 (A − tI)U , por tanto χB (t) = det(B − tI) = det(A − tI) = χA(t).
Corolario 2.6. (1) Si f es un endomorfismo de E, el polinomio caracter´ıstico de su matriz no depende de la base.
(2) Si A es una matriz diagonalizable, con forma diagonal D, las ra´ıces de χA(t) y sus multiplicidades, coinciden con las de χD(t). En particular, la forma diagonal de A est´a determinada por el polinomio caracter´ıstico χA(t).
Demostraci´on. (1) Se deduce de las proposiciones 1.4 y 2.5. (2) se deduce de la proposi- ci´on 2.5
Definici´on 2.7. Si f es un endomorfismo de E, el polinomio caracter´ıstico de su matriz en una base cualquiera se llama el polinomio caracter´ıstico de f.
Corolario 2.8. (Condici´on necesaria de diagonalizabilidad: Descomposici´on del polinomio caracter´ıstico.) Si f es un endomorfismo diagonalizable, los factores irreducibles de su polinomio caracter´ıstico son de grado 1.
Demostraci´on. Si una matriz A es diagonalizable, su polinomio caracter´ıstico coincide con el de su forma diagonal, y por 2.4 este polinomio tiene todos sus factores irreducibles de grado uno.
Proposici´on 2.9. Sean f un endomorfismo de E, λ un valor propio de f , dλ su multi- plicidad geom´etrica, y mλ su multiplicidad algebraica. Entonces
dλ ≤ mλ.
Demostraci´on. Sea {u 1 ,... , ud} una base de Ker (f − λ). Completamos {u 1 ,... , ud} a una base u = {u 1 ,... , ud, ud+1,... , un} de E. La matriz de f en la base u es de la forma ( (^) λ· 1 d C 0 B
para matrices C, B convenientes. Por tanto
χf (t) = (λ − t)d^ · χB (t),
de donde deducimos que d ≤ m.
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- Primer criterio de diagonalizabilidad: criterio de las multiplicidades
En esta secci´on E denota un espacio vectorial (no necesariamente de dimensi´on finita).
- Independencia lineal de los vectores propios.
- Los autoespacios de valores propios diferentes forman suma dirtecta.
- Criterio de diagonalizabilidad por las multiplicidades.
- Si una matriz n × n tiene n valores propios diferentes, es diagonalizable.
Teorema 3.1. (Lema clave) Sea f un endomorfismo de E. Sean u 1 ,... , ur, r vectores propios de f de valores propios λ 1 ,... , λr diferentes. Entonces u 1 ,... , ur son linealmente independientes.
Demostraci´on. Razonamos por inducci´on sobre r. Si r = 1 el resultado es trivial. Supongamos r ≥ 2 y que el resultado es cierto hasta r − 1. Sean α 1 ,... , αr escalares tales que α 1 u 1 + · · · + αrur = 0.
Podemos escribir esta ecuaci´on en la forma
αrur = −α 1 u 1 − · · · − αr− 1 ur− 1.
Aplicando f y teniendo en cuenta que los ui son vectores propios, obtenemos
f (αrur) = f (−α 1 u 1 − · · · − αr− 1 ur− 1 ) = −α 1 f (u 1 ) − · · · − αr− 1 f (ur− 1 ) = −α 1 λ 1 u 1 − · · · − αr− 1 λr− 1 ur− 1 f (αrur) = αrf (ur) = αrλrur = λr(−α 1 u 1 − · · · − αr− 1 ur− 1 )
por tanto
−α 1 λ 1 u 1 − · · · − αr− 1 λr− 1 ur− 1 = λr(−α 1 u 1 − · · · − αr− 1 ur− 1 ).
La ´ultima igualdad se puede escribir en la forma
α 1 (λr − λ 1 )u 1 + · · · + αr− 1 (λr − λr− 1 )ur− 1 = 0,
y, puesto que los vectores u 1 ,... , ur− 1 son linealmente independientes por hipotesis de inducci´on, y los escalares λi son distintos, deducimos que αi = 0, para 1 ≤ i < r. Utilizando la primera de las ecuaciones deducimos que αrur = 0, y por tanto que αr = 0.
Corolario 3.2. Sea f un endomorfismo de E. Sean λ 1 ,... , λr, r valores propios difer- entes de f , con multiplicidades geom´etricas d 1 ,... , dr, entonces la suma de los autoespa- cios Ker (f −λi) es directa. Adem´as, si E tiene dimensi´on finita, entonces
i di^ ≤^ dim^ E.
Demostraci´on. Supongamos que 0 = v 1 + · · · + vr, donde vi ∈ Ker (f − λi), ∀i. Los vectores vi son nulos o bien vectores propios de valores propios diferentes. Por el lema clave, vi = 0, para todo i.
Corolario 3.3. Sean f un endomorfismo de un espacio vectorial E de dimensi´on finita y λ 1 ,... , λr, los valores propios diferentes de f. Entonces f es diagonalizable si, y solo si, E = Ker (f − λ 1 ) ⊕ Ker (f − λ 2 ) ⊕ · · · ⊕ Ker (f − λr).
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Teorema 4.2. (Lema clave, versi´on 2) Sea f un endomorfismo de un espacio vectori- al E (no necesariamente de dimensi´on finita). Si Q 1 (t), Q 2 (t),... , Qr(t) son r polinomios coprimos dos a dos, y Q =
i
Qi, entonces
Ker Q(f ) = Ker Q 1 (f ) ⊕ Ker Q 2 (f ) ⊕ · · · ⊕ Ker Qr(f ).
Demostraci´on. Razonamos por inducci´on sobre r.
Supongamos que r = 2. Por la identidad de Bezout existen polinomios A 1 , A 2 tales que
1 = Q 1 A 1 + Q 2 A 2.
Veamos que la suma es directa. Si v ∈ Ker Q 1 (f ) ∩ Ker Q 2 (f ), puesto que 1 = Q 1 A 1 + Q 2 A 2 , se tiene v = A 1 (f )(Q 1 (f )(v)) + A 2 (f )(Q 2 (f )(v)) = 0.
Por tanto v = 0.
Veamos que Ker Q 1 (f ) + Ker Q 1 (f ) = Ker (Q 1 · Q 2 )(f ).
Las inclusiones Ker Qi(f ) ⊂ Ker (Q 1 · Q 2 )(f ), para i = 1, 2, son obvias, por tanto
Ker Q 1 (f ) + Ker Q 1 (f ) ⊂ Ker (Q 1 · Q 2 )(f ).
Rec´ıprocamente, si v ∈ Ker (Q 1 · Q 2 )(f ), se tiene
v = Q 1 (f ) ◦ A 1 (f )(v) + Q 2 (f ) ◦ A 2 (f )(v),
donde Q 2 (f )(Q 1 (f ) ◦ A 1 (f )(v)) = 0, Q 1 (f )(Q 2 (f ) ◦ A 2 (f )(v)) = 0,
por tanto v ∈ Ker Q 2 (f ) + Ker Q 1 (f ).
Si r > 2, entonces Q 1 y el producto Q 2 ·... · Qr son coprimos, por el lema de Euclides. En efecto, si P (t) es un polinomio irreducible tal que P |Q 1 , y P |Q 2 ·... · Qr, como los polinomios Q 2 , · · · , Qr son coprimos dos a dos, P ha de dividir a alguno de los Qi, con 2 ≤ i, Por tanto P divide a mcd (Q 1 , Qi) = 1, es decir P = 1.
Teniendo en cuenta el caso r = 2, y la hip´otesis de inducci´on para Q 2 ·... · Qr, resulta
Ker Q(f ) = Ker Q 1 (f )⊕Ker (Q 2 ·... ·Qr)(f ) = Ker Q 1 (f )⊕Ker Q 2 (f )⊕· · ·⊕Ker Qr(f ).
Corolario 4.3. Sean f un endomorfismo de un espacio vectorial E (no necesariamente de dimensi´on finita) y
P (t) = (t − λ 1 ) · (t − λ 2 ) ·... · (t − λr),
un polinomio de grado r con r ra´ıces distintas λ 1 ,... , λr, entonces,
Ker P (f ) = Ker (f − λ 1 ) ⊕ · · · ⊕ Ker (f − λr).
Corolario 4.4. (Segundo criterio de diagonalizabilidad: Por un polinomio an- ulador con ra´ıces simples.) Sea A una matriz cuadrada n × n. La matriz A es diagonalizable si, y solo si, existe un polinomio P (t) de grado r con r ra´ıces simples tal que P (A) = 0. En tal caso, todo valor propio de A es una ra´ız de P.
8 TEMAS DE TEOR´IA DEL SEGUNDO PARCIAL
Demostraci´on. Si A es diagonalizable, aplicando 4.1 se obtiene P (t). Rec´ıprocamente, si existe P (t) como en el enunciado, entonces se aplica el corolario 4.3 a P (t) y f es diagonalizable por el corolario 3.3. Veamos la segunda parte. Si A es diagonalizable y D = U −^1 AU es la forma diagonal de A, entonces P (D) = U −^1 P (A)U = 0. Por otra parte, si D = D(λ 1 , · · · , λn) entonces P (D) = D(P (λ 1 ), · · · , P (λn)), por tanto P (λi) = 0 para todo i.
- Polinomio m´ınimo
En esta seccı´on K es un cuerpo arbitrario, E es un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre Ky f un endomorfismo de E.
- Define de polinomio anulador y de polinomio m´ınimo de una matriz.
- Prueba que toda matriz tiene un polinomio m´ınimo no nulo.
- Prueba que todos los polinomios anuladores son m´ultiplos del polinomio m´ınimo.
- Prueba que el polinomio m´ınimo y el caracter´ıstico tienen las misma ra´ıces.
Definici´on 5.1. Sea P (t) ∈ K[t] un polinomio. Se dice que P (t) es un polinomio anulador de f si P (f ) = 0.
Proposici´on 5.2. Todo endomorfismo f de E tiene un polinomio anulador distinto de
Demostraci´on. En efecto. Sea n = dim E, y consideremos la familia de endomorfismos f 0 , f, f 2 ,... , f 2 n. Si hay alguno repetido, por ejemplo f p^ = f q^ con p 6 = q, entonces tp^ −tq es un polinomio anulador de f. Si todos son diferentes entonces {f 0 , f, f 2 ,... , f 2 n} es un conjunto linealmente dependiente en el espacio de endomorfismos de E, ya que la dimensi´on de dicho espacio es n^2. Si
∑n 2 i=0 cif^
i (^) = 0, con alg´un ci no nulo, entonces el
polinomio no nulo P (t) =
∑n 2 i=1 cit
i (^) es un polinomio anulador de f.
Un polinomio no nulo se llama normalizado si el t´ermino de mayor grado tiene coeficiente igual a la unidad.
Definici´on 5.3. Sea φf (t) el polinomio anulador no nulo de f , normalizado, de menor grado. El polinomio φf (t) se llama el polinomio m´ınimo de A.
Proposici´on 5.4. El conjunto de polinomios anuladores de f coincide con el conjunto de m´ultiplos del polinomio φf.
Demostraci´on. Si P (f ) = 0, podemos efectuar la divisi´on entera de P (t) entre φf (t),
P (t) = Q(t) · φf (t) + R(t), tal que gr(R) < grφf.
Sustituyendo t por f obtenemos R(f ) = 0, y como φf (t) es un polinomio no nulo de grado m´ınimo que cumple esta propiedad, necesariamente R(t) = 0.
Proposici´on 5.5. Toda ra´ız de χf (t) es una ra´ız de φf (t), y rec´ıprocamente.
10 TEMAS DE TEOR´IA DEL SEGUNDO PARCIAL
donde los Fi son subespacios f -invariantes no nulos. Sean fi la restricci´on de f a Ei, y Bi una base de Fi para 1 ≤ i ≤ r. Entonces
(1) La matriz de f en la base B = B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ Br es de la forma
A = A 1 ⊕ A 2 ⊕ · · · ⊕ Ar =
( A 1 0 ··· 0
0 A 2 ··· 0 .. .
0 0 ··· Ar
donde Ai es la matriz de fi en la base Bi, para i = 1,... , r. (2) Se cumple χf (t) = χf 1 (t) · χf 2 (t) · · · · · χfr (t), φf (t) = mcm (φf 1 (t), φf 2 (t),... , φfr (t)).
Demostraci´on. Para la primera f´ormula basta tomar una base de E que sea reuni´on de bases Bi de Ei. Para ver la segunda, denotemos por M el mcm de los polinomios φfi. Entonces M (f ) = 0, por tanto φf |M. Por otra parte, φf (fi) = 0 , implica que φfi |φf , para todo i, por tanto M |φf.
Proposici´on 6.4. Si P (t) es un polinomio, el subespacio Ker P (f ) es un subespacio f -invariante.
Demostraci´on. Si v ∈ Ker P (f ) entonces P (f )(f (v)) = f (P (f )(v)) = f (0) = 0, por tanto v ∈ Ker P (f ).
Definici´on 6.5. (1) Un polinomio se llama primario si es potencia de un polinomio irreducible. Sobre C los polinomios primarios son de la forma (t − λ)r.
(2) Sea F un subespacio vectorial f -invariante de E. Se dice que F es primario respecto de f si el polinomio m´ınimo de f |F es primario.
Teorema 6.6. (Descomposici´on primaria) Sea E un espacio vectorial de dimensi´on finita∏ n sobre K, f un endomorfismo de E y φf (t) su polinomio m´ınimo. Sea φf (t) = r i=1 Qi(t), la descomposici´on de^ φf^ en factores primarios coprimos dos a dos, y sea Ei = Ker Qi(f ), para todo i.
- Se cumple E = E 1 ⊕ E 2 ⊕ · · · ⊕ Er.
- El polinomio minimo φi de fi := f|Ei es Qi(t). En particular Ei es un subespacio primario.
- Si Qi(t) = (t − λi)si^ , el polinomio caracter´ıstico de fi es (t − λi)mi^. En particular dim Ei = mi.
Demostraci´on. Por la proposici´on 4.2 aplicada al polinomio m´ınimo de f se obtiene la descomposici´on en suma directa. Puesto que Ei = Ker Qi(f ), Qi(t) es un polinomio anulador de Ei, luego el polinomio m´ınimo de fi es un divisor de Qi. Por otra parte, φf = mcm(φi)i, de donde se sigue que φi = Qi. Puesto que χi(t) es de la forma (t − λi)αi y χf (t) =
i χi(t), por 6.2 (2), resulta^ αi^ =^ mi, para todo^ i.^
Definici´on 6.7. Los sumandos de E de la descomposici´on del teorema anterior se llaman componentes primarias de E respecto de f.
ALGEBRA LINEAL 11
Corolario 6.8. Con las notaciones del teorema 6.6, si F es un subespacio invariante, y Fi = F ∩ Ei, entonces F =
i
Fi es la descomposici´on primaria de F (la suma se
extiende solo a los i tales que Fi 6 = 0).
Demostraci´on. ∗^ Sea φf (t) =
Qs i ila descomposici´on de φf (t) en factores primarios coprimos dos a dos, donde los Qi(t) son polinomios irreducibles. Sea g la restricci´on de f a F. Entonces, por 6.2(2), φg divide a φf , por tanto φg =
i Q
ki i , con 0^ ≤^ ki^ ≤^ si, para todo i. Adem´as Fi = Ker Qi(g)ki^ ⊂ Ker Qi(f )si^ ∩ F. Puesto que
F =
i
Fi =
i
Ker Qi(g)ki^ ⊂
i
(Ker Qi(f )si^ ∩ F ) ⊂ F,
resulta Fi = Ker Qi(g)ki^ = Ker Qi(f )si^ ∩ f = Ei ∩ F , para todo i.
Corolario 6.9. ∗(C´alculo del polinomio m´ınimo.) Sean f un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on finita E sobre C, λ un valor propio de f , y s la multiplicidad de λ como ra´ız de φf (t). Entonces el entero s coincide con el m´ınimo de los enteros k tales que dim Ker (f − λ)k^ = m, donde m es la multiplicidad algebraica de λ.
Demostraci´on. ∗^ Puesto que, por el lema anterior, la sucesi´on de dimensiones (dim Ker (f − λi)k)k es monotona creciente, y por el teorema 6.6 est´a acotada por mi y alcanza el val- or mi para k = si, el conjunto de los enteros k tales que dim Ker (f − λ)k^ = mi. tiene un m´ınimo μi ≤ si. Notemos P (t) =
i(t^ −^ λi) μi (^). Veamos que φf (t) = P (t). En
efecto, Ker P (f ) =
i Ker (f^ −^ λi)
μi (^) es una descomposici´on primaria de Ker P (f ), y
dim Ker P (t) =
i dim Ker (f^ −^ λi)
μi (^) = ∑ i mi^ =^ n, por tanto Ker^ P^ (f^ ) =^ E. Es decir, P (t) es anulador y si ≤ μi. En definitiva μi = si para todo i.
Lema 6.10. Sea g un endomorfismo de un espacio vectorial E sobre un cuerpo K.
(1) Para todo entero s ≥ 0, Ker gs^ ⊂ Ker gs+1, y g induce una aplicaci´on lineal ˜g : Ker gs+2/Ker gs+1^ −→ Ker gs+1/Ker gs, [v] 7 → [g(v)] que es inyectiva. En particular, si E es de dimensi´on finita, ns = dim Ker gs, se cumple ns+2 − ns+1 ≤ ns+1 − ns. (2) Sea s un entero s ≥ 0. Si Ker gs^ = Ker gs+1^ entonces Ker gs^ = Ker gp^ para todo p > s.
Demostraci´on. (1) Si gs(v) = 0 entonces gs+1(v) = g(gs(v)) = g(0) = 0, por tanto Ker gs^ ⊂ Ker gs+1. Si v ∈ Ker gs+2^ cumple ˜g[v] = 0, entonces g(v) ∈ Ker gs, por tanto gs+1(v) = gs(g(v)) = 0, es decir [v] = 0 en Ker gs+2/Ker gs+1, lo que prueba que ˜g es inyectiva.
(2) Inducci´on sobre p > s. El caso p = s + 1 es la hip´otesis. Si p > s + 1, por hip´otesis de inducci´on podemos suponer que Ker gs^ = Ker gp−^1. Entonces, Ker gp−^1 /Ker gp−^2 = 0, y,
ALGEBRA LINEAL 13
- Matriz de Jordan primaria. Se llama matriz de Jordan de valor propio λ a toda suma por bloques de bloques de Jordan del mismo valor propio λ. Si (c 1 , c 2 ,... , cm) es una lista de tama˜nos tal que c 1 ≥ c 2 ≥ · · · ≥ cm, notaremos J(λ; c 1 ,... , cm) = Jc 1 (λ) ⊕ Jc 2 (λ) ⊕ · · · ⊕ Jcm (λ).
- Matriz de Jordan general. M´as generalmente, se llama matriz de Jordan a una suma por bloques de matrices de Jordan de diferentes valores propios J = J(λ 1 ) ⊕ J(λ 2 ) ⊕ · · · ⊕ J(λr), donde λk ∈ C son escalares, y cada J(λk) es una matriz de Jordan de valor propio λk.
- Si B es una base de E tal que la matriz de f en la base B es una matriz de Jordan, diremos que B es una base de Jordan de E (respecto de f ).
Proposici´on 7.2. Sea J = J(λ) una matriz de Jordan de un solo valor propio λ,
J(λ) = J(λk; c 1 ,... , cm),
donde c 1 ≥ c 2 ≥ · · · ≥ cm, n = c 1 + c 2 + · · · cm.
Entonces
(1) El polinomio caracter´ıstico de J es χJ (t) = (t − λk)n, y el polinomio m´ınimo de J es φJ (t) = (t − λk)c^1.
(2) Sea δi = dim Ker (J − λ)i/Ker (J − λ)i−^1. La diferencia δi − δi+1 coincide con el n´umero de bloques de Jordan de J de altura i, #{j; cj = i}, para todo i.
Demostraci´on. ∗^ La parte (1) es obvia. Veamos (2). Dividimos la base can´onica B en m partes ordenadas disjuntas, B = B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ Bm, una para cada bloque de Jordan de J. Dentro de cada parte Bj usamos la numeraci´on Bj = (ej,c 1 , · · · , ej, 1 ). Entonces se cumple (J − λ) · ej,i = ej,i− 1 , 1 ≤ i < cj , (J − λ) · ej, 1 = 0.
De aqu´ı se sigue que cada bloque Bj contribuye con i vectores a ni = dim Ker (J − λ)i, si i ≤ cj , y con cj vectores en caso contrario. Por tanto la diferencia δi := ni − ni− 1 indica el n´umero de cajas de altura ≥ i. Por consiguiente, la diferencia νi := δi − δi+ indica el n´umero de bloques de altura i.
Teorema 7.3. ∗^ Sea f un endomorfismo primario de valor propio λ, g = f − λ, y Fm = Ker gm. Si m ≥ 1 y u 1 , u 2 , · · · , ur son vectores de Fm tales que sus clases en Fm/Fm− 1 sean linealmente independientes, entonces existe una base de Jordan Lm de Fm tal que Am = {u 1 , u 2 , · · · , ur} ⊂ Lm.
En particular, si φf (t) = (t − λ)s, y u 1 , · · · , ur son r vectores de E tales que sus clases en Fs/Fs− 1 son una base, existe una base de Jordan B de E tal que {u 1 , · · · , ur} ⊂ B
Demostraci´on. ∗^ La prueba es por inducci´on sobre m. Si m = 1, los vectores linealmente independientes {u 1 , u 2 , · · · , ur} de F 1 se extienden, por el teorema de Steitnitz, a una base de F 1 , que es por tanto una base de F 1 formada por vectores propios de f.
14 TEMAS DE TEOR´IA DEL SEGUNDO PARCIAL
Supongamos que m > 1, y que el teorema es cierto hasta m − 1. Por el teorema de Steitnitz, existen ur+1,... , us de Fm tales que las clases de u 1 ,... , us forman una base de Fm/Fm− 1. Por el lema 6.10, las clases de g(u 1 ),... , g(us) son linealmente independientes en Fm− 1 /Fm− 2. Por la hip´otesis de inducci´on, existe una base de Jordan Lm− 1 de Fm− 1 tal que g(Am) ⊂ {gu 1 ,... , gus} ⊂ Lm− 1.
Por tanto Lm = {u 1 ,... , us} ∪ Lm− 1 es una base de de Fm tal que Am ⊂ Lm. Adem´as, puesto que g(Lm) ⊂ Lm, Lm es una base de Jordan de E respecto de f.
Teorema 7.4. Existencia de bases de Jordan y determinaci´on de la forma de Jordan de una matriz. Sea A es una matriz cuadrada n × n sobre C. Entonces
(1) Existe una base de Jordan de Cn^ respecto de A. La matriz de Jordan J que resulta es ´unica, salvo permutaciones del orden de los valores propios, y se llama la forma can´onica de Jordan de la matriz A. (2) Para cada valor propio λ de A, sean
nλ,i = dim Ker (A − λ)i, δλ,i = nλ,i − nλ,i− 1 , i ≥ 0. Entonces δλ, 1 ≥ δλ, 2 ≥ · · · ≥ δλ,sλ > 0 y el n´umero νλ,i de cajas de Jordan de valor propio λ y tama˜no i × i es νλ,i = δλ,i − δλ,i+1 = 2nλ,i − nλ,i− 1 − nλ,i+1 ≥ 0. (7.1)
Demostraci´on. ∗^ Para ver (1) basta hallar una base de Jordan para cada componente primaria. Podemos suponer que f es un endomorfismo primario de valor propio λ de un espacio vectorial E. Entonces se aplica el teorema anterior.
Por otra parte, teniendo en cuenta que si U −^1 AU = J, entonces dim(A − λ)i^ = dim(J − λ)i, para todo λ ∈ C, i ∈ N, la forma de Jordan J de A queda determinada por A y el n´umero de bloques de Jordan viene dado por la proposici´on 7.2.
Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on n sobre C. Escogiendo una base de Jordan su matriz es una matriz de Jordan J = ⊕iJ(λi), y, para cada p ∈ N se tiene Jp^ = ⊕iJ(λi)p.
Calculemos Jp^ para una matriz n × n de Jordan J = J(λ) de un solo valor propio λ. Sea N = J − λ. Entonces N es nilpotente, N s^ = 0, y adem´as N conmuta con λ 1 , por tanto el c´alculo de las potencias de J = N + λ se puede efectuar usando la f´ormula del binomio de Newton y resulta, para p ≥ s − 1
Jp^ = (λ + N )p^ =
max ( ∑s− 1 ,p)
i=
( pi ) λp−iN i.
