Matrius i vectors 2009-10, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Matrius i vectors 2009-10 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

MATRIUS I VECTORS

I. LLerena i R. M. Miró-Roig

TARDOR, 2009

• Introducció
• Símbols lògics i de teoria de conjunts
• 1 Matrius i Vectors
  • 1.1 L’espai vectorial Rn
  • 1.2 L’espai vectorial de les matrius
  • 1.3 Producte de matrius
  • 1.4 Matrius per blocs
  • 1.5 Exercicis
• 2 Sistemes d’equacions lineals
  • 2.1 Solucions d’un sistema d’equacions lineals
  • 2.2 Reducció d’una matriu a una forma escalonada
  • 2.3 Rang d’una matriu
  • 2.4 El mètode de Gauss-Jordan
  • 2.5 El Teorema de Rouché-Frobenius
  • 2.6 Exercicis
• 3 Matriu inversa i matrius elementals
  • 3.1 Matriu inversa
  • 3.2 Càlcul de la matriu inversa
  • 3.3 Matrius elementals
  • 3.4 La factorizació LU
  • 3.5 Exercicis
• 4 Determinants
  • 4.1 Definició i exemples
  • 4.2 Propietats dels determinants
  • 4.3 Determinants de les matrius invertibles
  • 4.4 Càlcul de la matriu inversa per adjunts
  • 4.5 Regla de Laplace
  • 4.6 Determinants i rang
  • 4.7 Sistemes d’equacions lineals. Regla de Cramer
  • 4.8 Exercicis
• 5 Bases de Rn
  • 5.1 Independència lineal
  • 5.2 Rang i independència lineal de vectors
  • 5.3 Bases de Rn
  • 5.4 Coordenades d’un vector
  • 5.5 Canvis de base
  • 5.6 Relacions de dependència lineal en bases arbitràries
  • 5.7 Exercicis
• 6 Subespais vectorials
  • 6.1 Subespais vectorials de Rn
  • 6.2 Generadors i equacions de subespais vectorials
  • 6.3 Suma i intersecció de subespais i les seves dimensions
  • 6.4 Suma directa
  • 6.5 Exercicis
• 7 Aplicacions lineals
  • 7.1 Aplicacions definides per matrius
  • 7.2 Definició d’aplicació lineal
  • 7.3 Nucli i imatge d’una aplicació lineal
  • 7.4 Monomorfismes, epimorfismes i isomorfismes
  • 7.5 Composició d’aplicacions lineals
  • 7.6 Canvi de bases
  • 7.7 Aplicacions lineals i sistemes d’equacions

7.8 Exercicis................................. 139

Bibliografia 143

Índex alfabètic 144

Introducció

Aquestes notes cobreixen el temari de l’assignatura Matrius i Vectors que, amb motiu dels nous plans d’estudi, s’ha implementat a la Facultat de Matemàtiques de la Universi- tat de Barcelona. Aquest text-guia correspon a una assignatura pont entre el Batxillerat i un curs clàssic d’Àlgebra Lineal i està pensat per a fomentar en l’alumne l’hàbit de discorre i demanar-se el perquè de les coses. Al llarg del curs es pretèn que l’alumne adquireixi destresa en la manipulació dels objectes més bàsics de l’Àlgebra Lineal: Vec- tors i Matrius. Els mètodes que aprendrà en aquest curs deixaran a l’alumne al llindar de l’Àlgebra.

Així doncs, l’objectiu de l’assignatura no és només l’adquisició dels coneixements i habilitats en el maneig dels objectes i tècniques inclosos al programa, sinó que també pretèn el desenvolupament progressiu de la capacitat de comprensió de conceptes ab- stractes, i de l’hàbit de rigor en demostracions i resolució de problemes.

El temari s’ha dividit en 7 capítols i cada capítol acaba amb una llarga col·lecció d’exercicis i problemes de dificultat variable. Hem procurat incloure problemes de tots els nivells, per tal que l’alumne s’exerciti gradualment i pugui assolir els objectius desit- jats.

Volem agraïr a Gemma Colomé, Elisenda Feliu i Alberto Alberto Fernández; la lec- tura atenta que han fet del text i els seus suggeriments han estat una contribució ines- timable i decisiva per a l’elaboració d’aquest llibre.

∏^5

i=

2 i^ = 2 · 22 · 23 · 24 · 25.

En ocasions els signes que varien són més d’un. La següent situació es presenta sovint: Donats els conjunts {a 1 ,... , ak}, {b^1 ,... , bm} i {c^11 , c^21 ,... , ck 1 , c^12 , c^22 ,... , ck 2 ,... , c^1 m,... , ckm}, tenim

∑

11 ≤≤ji≤≤mk

aicij bj^ = a 1 c^11 b^1 + a 1 c^12 b^2 + · · · + a 1 c^1 mbm^ + a 2 c^21 b^1 + a 2 c^22 b^2 + · · · + akckmbm = a 1

(∑m j=1 c (^1) j bj

• · · · + ak

(∑m j=1 c kj bj

(∑k i=1 aici 1

b^1 + · · · +

(∑k i=1 aicim

bm

∑k i=1 ai

m j=1 cij bj

∑m j=

(∑k i=1 aicij

bj^.

El producte cartesià de dos conjunts A i B és el conjunt de parells ordenats

A × B := { (a, b) parell ordenat, a ∈ A, b ∈ B }.

Més en general, el producte cartesià d’un família de conjunts Ai, i = 1,... , n , és el conjunt de n-ples (ordenades) (a 1 ,... , an) amb ai ∈ Ai, ∀ i. Per exemple,

Rn^ = R × · · · × R := {(x 1 , · · · , xn) | xi ∈ R}.

El matemàtic fa servir en moltes ocasions lletres gregues:

lletra minúscula majúscula alfa α beta β gamma γ Γ delta δ ∆ épsilon  o ε zeta ζ eta η tzeta θ o ϑ Θ iota ι kappa κ lambda λ Λ mu μ nu ν xi ξ Ξ pi π Π ro ρ o % sigma σ Σ tau τ úpsilon υ Υ fi φ o ϕ Φ gi χ psi ψ Ψ omega ω Ω

Les majúscules que no apareixen són iguals a lletres del nostre alfabet.

Capítol 1

Matrius i Vectors

En aquest primer capítol anem a presentar els principals objectes matemàtics als que està dedicat el curs: les n-ples de reals, que anomenarem vectors, i les taules rectangulars de reals, que anomenarem matrius. Són els objectes que primer apareixen en infinitat de problemes matemàtics i en les seves aplicacions. Per això el seu estudi, i el de les operacions que es realitzen amb ells, són essencials en qualsevol camp que faci servir eines matemàtiques.

1.1 L’espai vectorial Rn

Definició 1.1.1 Designarem per R el conjunt dels nombres reals. Un element de Rn s’anomena vector. Anomenarem espai vectorial Rn^ al conjunt

Rn^ := {x = (x 1 ,... , xn) | x 1 ,... , xn ∈ R}

junt amb les dues operacions següents:

Suma de vectors. Donats dos vectors x = (x 1 ,... , xn), y = (y 1 ,... , yn) ∈ Rn^ es defineix la seva suma com el vector:

x + y = (x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn) = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn) ∈ Rn.

Producte d’un real per un vector. Donat un vector y = (y 1 ,... , yn) ∈ Rn^ i un real

15

16 MATRIUS I VECTORS

α ∈ R es defineix el seu producte com el vector:

αy = (αy 1 ,... , αyn) ∈ Rn.

Als elements de R se’ls anomena generalment escalars.

Exemple 1.1.2 1. Si x = (2, 5), y = (− 1 , 7) ∈ R^2 , aleshores x+y = (1, 12) ∈ R^2.

1. Si y = (− 1 , 7 , 0) ∈ R^3 i α = − 2 ∈ R, aleshores αy = (2, − 14 , 0) ∈ R^3.

• Propietats de la suma de vectors:

(1) Associativa: ∀ x, y, z ∈ Rn, (x + y) + z = x + (y + z).

(2) Commutativa: ∀ x, y ∈ Rn, x + y = y + x. (3) ~0 = (0,... , 0) ∈ Rn^ compleix: ∀ x ∈ Rn, x + ~0 = ~0 + x = x. Es diu que ~ 0 és l’element neutre de la suma de vectors.

(4) ∀ x = (x 1 ,... , xn) ∈ Rn, el vector −x = (−x 1 ,... , −xn) compleix x + (−x) = ~0 = (−x) + x. Es diu que −x és l’element oposat d’x.

La demostració d’aquestes propietats es basa en les corresponents propietats de R.

Observació 1.1.3 Aquestes quatre propietats de la suma s’acostumen a resumir dient que (Rn, +) és un grup commutatiu o abelià.

• Propietats del producte de vectors per escalars:

(1) Distributiva respecte la suma de vectors: ∀ x, y ∈ Rn^ i ∀ α ∈ R, α(x + y) = αx + αy. (2) Distributiva respecte la suma d’escalars: ∀ x ∈ Rn^ i ∀ α, β ∈ R, (α + β)x = αx + βx.

(3) Pseudo-associativa; ∀ x ∈ Rn^ i ∀ α, β ∈ R, (αβ)x = α(βx). (4) Llei d’identitat: ∀ x ∈ Rn, 1 x = x. La demostració d’aquestes propietats es basa en les corresponents propietats de R.

18 MATRIUS I VECTORS

• Si els coeficients d’una matriu quadrada A situats per sota la diagonal principal són tots 0 , i.e. aji = 0 si j > i , es diu que A és triangular superior. Si els coeficients d’una matriu quadrada A situats per sobre la diagonal principal són tots 0 , i.e. aji = 0 si j < i , es diu que A és triangular inferior. Exemples:

A =

 ,^ B^ =

A és una matriu triangular superior i B és una matriu triangular inferior.

• Les matrius quadrades que són simultàniament triangulars superiors i inferiors, es diuen matrius diagonals. Exemple:

D =

λ 1 0 · · · 0 0 λ 2 · · · 0 .. .

....^

0 0 · · · λn

 ∈^ Mn×n(R).

• La matriu diagonal d’ordre n amb tots els coeficients de la diagonal iguals a 1 es denota per In i es diu matriu identitat d’ordre n :

In :=

....^

 ∈^ Mn×n(R).

Definició 1.2.4 Es diu espai vectorial de les matrius d’ordre m × n al conjunt Mm×n(R) junt amb les dues operacions següents:

Suma de matrius. Donades dues matrius A = (aji ), B = (bji ) ∈ Mm×n(R) es defineix la seva suma sumant coeficient a coeficient, i.e. A + B = (aji + bji ) ∈ Mm×n(R) o, equivalentment,

A + B =

a^11 + b^11 a^12 + b^12 · · · a^1 n + b^1 n a^21 + b^21 a^22 + b^22 · · · a^2 n + b^2 n .. .

am 1 + bm 1 am 2 + bm 2 · · · amn + bmn

L’ESPAI VECTORIAL DE LES MATRIUS 19

Producte d’un real per una matriu. Donada una matriu A = (aji ) ∈ Mm×n(R) i un real α ∈ R es defineix el seu producte per αA = α(aji ) = (αaji ) ∈ Mm×n(R) o, equivalentment,

αA =

αa^11 αa^12 · · · αa^1 n αa^21 αa^22 · · · αa^2 n .. .

αam 1 αam 2 · · · αamn

Els elements de R s’anomenen també escalars de l’espai vectorial Mm×n(R).

Exemple 1.2.5( Donat l’escalar − 4 ∈ R i les matrius de M 2 × 3 (R), A = 1 4 3 5 0 − 5

, B =

, tenim

A + B =

, − 4 A =

• Propietats de la suma: La suma de matrius compleix les propietats:

(1) Associativa: ∀ A, B, C ∈ Mm×n(R), (A + B) + C = A + (B + C). (2) Commutativa: ∀ A, B ∈ Mm×n(R), A + B = B + A.

(3) La matriu nul·la 0 compleix: ∀ A ∈ Mm×n(R), A + 0 = 0 + A = A. Es diu que 0 és l’element neutre de la suma de matrius. (4) Per a cada matriu A = (aji ) ∈ Mm×n(R), la matriu (−1)A compleix A + (−1)A = 0 = (−1)A + A. Es diu que (−1)A és la matriu oposada de A i la designarem per −A. La demostració d’aquestes propietats es basa en les corresponents propietats de R.

Observació 1.2.6 Aquestes quatre propietats de la suma s’acostumen a resumir dient que (Mm×n(R), +) és un grup commutatiu o abelià.

• Propietats del producte per escalars:

(1) Distributiva respecte la suma de matrius: ∀ A, B ∈ Mm×n(R) i ∀ α ∈ R, α(A + B) = αA + αB.

PRODUCTE DE MATRIUS 21

Exemple 1.3.2 Donades les matrius amb coeficients reals

A =

∈ M 2 × 3 (R), B =

 ∈ M 3 × 3 (R),

tenim AB =

∈ M 2 × 3 (R).

Observació 1.3.3 (1) Observem que per a efectuar el producte AB de dues matrius és necessari que el nombre de columnes de la matriu A sigui el mateix que el nombre de files de la matriu B. (2) Podem adonar-nos de la importància de l’ordre en què es multipliquen dues ma- trius, considerant el producte:

( 1 0 2 3 5 4

Si canviem l’ordre dels factors, tenim:  

En aquest exemple, hem pogut realitzar els productes AB i BA, però no sempre és possible. (3) En general, encara que es puguin efectuar els dos productes AB i BA, no coin- cideixen. A l’exemple anterior hem obtingut matrius amb ordre diferent. Però encara que siguin matrius quadrades acostuma a passar que AB 6 = BA. Exemple: ( 2 − 3 6 − 9

i

• Propietats del producte de matrius:

(1) Associativa: A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R) i C ∈ Mp×k(R).

22 MATRIUS I VECTORS

(2) Distributiva a la dreta: A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n(R) i B, C ∈ Mn×p(R). (3) Distributiva a l’esquerra: (A + B)C = AC + BC, ∀A, B ∈ Mm×n(R) i C ∈ Mn×p(R).

(4) Identitats: ImA = A = AIn, ∀A ∈ Mm×n(R).

(5) Pseudo-associativa: α(AB) = (αA)B, ∀A ∈ Mm×n(R) i B ∈ Mn×p(R).

Observació 1.3.4 El producte no és una operació a Mm×n(R) , simplement perquè no està sempre definit. Ara bé, si m = n, aleshores si que podem multiplicar dues matrius sempre. Les propietats de la suma i el producte a Mn×n(R) es resumeixen dient que ( Mn×n(R), +, ·) és un anell no commutatiu, si n > 1.

1.4 Matrius per blocs

Moltes vegades és còmode considerar una matriu com a una caixa formada per una taula de submatrius que s’anomenen blocs:

A =

A^11... A^1 r

..

....^

As 1... Asr

on, naturalment, totes les matrius de la mateixa fila tenen el mateix nombre de files, i totes les situades a la mateixa columna tenen el mateix nombre de columnes.

Exemple 1.4.1 1. Donada A = (aji ) ∈ Mm×n(R) , podem considerar cada fila com a un bloc i escriure:

A =

a^1 .. . am

 , aj (^) =^ ( aj 1...^ a jn^ ).