¡Descarga Com estudiar afinitats y más Apuntes en PDF de Geometría solo en Docsity!
Geometria lineal Problemes Tardor 2008
Com estudiar aplicacions afins donades per equacions
Sigui f : A → A una aplicaci´o af´ı i sigui ϕf : E → E l’aplicaci´o lineal associada. Suposem que les equacions de f en una refer`encia {O; e 1 ,... , en} s´on:
(x^1 )∗^ = a^11 x^1 + · · · + a^1 nxn^ + b^1 .. . (xn)∗^ = an 1 x^1 + · · · + annxn^ + bn
on M =
a^11 · · · a^1 n .. .
an 1 · · · ann
,^ b^ =
b^1 .. . bn
s´on la matriu de ϕf i les coordenades de f (O) respectivament. Si P ´es un punt de coordenades (x^1 ,... , xn), les equacions anteriors es poden escriure matricialment com f (P ) = M P + b.
Punts fixes. S´on les solucions del sistema lineal (M − I)P + b = 0
Exemple. L’aplicaci´o af´ı f d’equacions
x∗^ = ax −y −z + 1 y∗^ = y +2z + 1 z∗^ = −z + c
t´e punts fixes si, i nom´es si, c = −1. En aquest cas tots els punts de la recta
(a − 1)x −y −z + 1 = 0 2 z + 1 = 0
s´on fixes.
Rectes invariants. r : p+ < u > ´es invariant si la seva imatge f (r) : f (p)+ < ϕf > ´es a r: f (r) ⊂ r. Es´ a dir, si, i nom´es si,
ϕf (u) ∈< u > (u ´es vector propi), pf~ (p) ∈< u >
Les rectes que nom´es compleixen la primera condici´o es transformen en rectes paral·leles.
Exemple. Sigui f l’aplicaci´o af´ı de l’exemple anterior amb c = 0. ϕf t´e els valors propis a, +1, −1 i vectors propis
a 6 = ± 1 , E 1 =< (1, a − 1 , 0) >, E− 1 =< (0, 1 , −1) >, Ea =< (1, 0 , 0) > a = 1, E 1 =< (1, 0 , 0) >, E− 1 =< (0, 1 , −1) > a = − 1 , E 1 =< (1, − 2 , 0) >, E− 1 =< (1, 0 , 0), (0, 1 , −1) > (plano y + z = 0)
pf^ ~ (p) = (x∗^ − x, y∗^ − y, z∗^ − z) = ((a − 1)x − y − z + 1, 2 z + 1, − 2 z)). Si a 6 = 1, aquest vector no pot ser mai a < (1, 0 , 0) > ni a < (0, 1 , −1) >; nom´es pot ser a E 1 =<
(1, a − 1 , 0) >. Llavors , pf~ (p) ∈ E 1 si, i nom´es si, p ´es de la recta
z = 0, (a − 1)x − y − z + 1 = 2 z + 1 a − 1
, unica recta invariant´ (1)
Observem que, si p ´es un punt d’aquesta recta, pf~ (p) = ( (^) a−^11 , 1 , 0).
Si a = 1, el vector pf~ (p) mai ´es vector propi i no hi ha rectes invariants.
Geometria lineal Problemes Tardor 2008
Hiperplans invariants. Suposem f bijectiva i sigui π un hiperlpla d’equaci´o: A 1 x^1 +... Anxn^ + D = 0. Si π ´es invariant aquest hiperpla ha de coincidir amb
A 1 (x^1 )∗^ +... An(xn)∗^ + D = 0
Exemple. Sigui f l’aplicaci´o af´ı de l’exemple anterior (amb c = 0). En aquest cas A 1 x^1 +... Anxn^ + D = 0 ha de coincidir amb
A(ax − y − z + 1) + B(y + 2z + 1) + C(−z) + D = Aax + (−A + B)y + (−A + 2B − C)z + (A + B + D) = 0
Es a dir,´ Aa A
−A + B
B
−A + 2B − C
C
A + B + D
D
on A, B, C no poden ser tots tres 0.
Si A = 0, B = 0 haurem de tenir C 6 = 0 i D = 0. Per tant, el pla invariant ´es Cz = 0, equivalentment, z = 0.
Si A = 0, B 6 = 0 no hi ha cap valor possible per D. Si A 6 = 0, podem suposar A = 1. Llavors nom´es hi ha soluci´o si a 6 = 1 i aleshores
B =
1 − a , C(a + 1) =
a + 1 1 − a
, D =
a − 2 (a − 1)^2
Si a 6 = ±1 tenim un pla invariant
x +
1 − a
y +
1 − a
z +
a − 2 (a − 1)^2
La intersecci´o d’aquest pla amb l’altre pla invariant z = 0 ´es la recta invariant (1) que abans hem trobar. Si a = −1, C pot ser qualsevol i D = − 43. Tenim com a plans invariants ( x +
y +
que junt amb el pla invariant z = 0 formen el feix de plans que passen per la recta invariant (1).
Interpretaci´o geom`etrica del cas a 6 = ±1. Sigui P + < (1, a − 1 , 0) > la recta invariant. La imatge d’un punt Q tal que
P Q^ ~ = u + v + w, u ∈ Ea, v ∈ E 1 , w ∈ E− 1
Aleshores, f (P )~f (Q) = au + v − w, ´es a dir
f (Q) = P + au + v − w + P f~ (P ).
En una refer`encia {P ; u 1 , u 2 , u 3 }, amb u 1 ∈ Ea, u 2 ∈ E 1 i u 3 ∈ E− 1 les equacions de f s´on
x∗^ = ax + (^) a−^11 y∗^ = y + z∗^ = −z
E 1
E-
Ea
=(1, a-1, 0)
P
f(P)
Q
f(Q)
u
v
w
