TEORIA 1 - Errors, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga TEORIA 1 - Errors y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Apunts de M`

etodes Num`

erics

Llicenciatura de Matem`

atiques UAB, 2007–

Josep Maria Mondelo

Departament de Matem`

atiques UAB

21 de setembre de 2007

Cap´

ıtol 1

Errors A qualsevol c`

alcul num`

eric ´

es imprescindible controlar l’efecte dels errors.

N’hem de considerar de tres tipus:

Errors en les dades d’entrada

, deguts a mesuraments incorrectes o

a la finitud de la seva representaci´

o a l’ordinador.

Errors a les operacions

, deguts a que emprem aritm`

etica de punt

flotant finita.

3. La major part de m`

etodes que veurem durant el curs no produeixen la

soluci´

o exacta del probema que aborden, ni tan sols en el sup`

osit que

pogu´

essim representar exactament les dades d’entrada i no es produis-

sin errors en les operacions. Els errors deguts a aquest fet es coneixencom a

errors de truncament

En aquest cap´

ıtol tractarem els dos primers tipus d’error. Dels errors de

truncament, que s´

on espec´

ıfics de cada m`

etode, ens ocuparem en cap´

ıtols

posteriors. 1.

Representaci´

o en punt flotant

El seg¨

uent teorema garanteix l’exist`

encia te`

orica de representaci´

o (infinita)

en punt flotant de qualsevol n´

umero real.

Teorema 1.1.

Fixem

b

N

b

. Tot

x

R

x

pot ser representat

de la forma

x

s

∞

i

=

α

i

b

−

i

b

q

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

amb

s

q

Z

i

α

i

,... , b

A m´

es, la representaci´

o

anterior ´

es ´

unica si

α

1

i els

α

i

no son tots

b

d’una posici´

o en

endavant, i.e.,

i

0

N

i

i

0

α

i

b

Escriurem (1.1) abreujadament com

x

s

.α

1

α

2

α

3

b

b

q

El sub´

ındex

b

dels par`

entesis indica que els d´

ıgits

α

1

α

2

α

3

es troben en

base

b

Exemple 1.1.

(representacions normalitzades)

x

×

3

x

×

−

2

x

100

3

×

2

×

2

x

×

1

(la representaci´

o ´

es infinita per`

o no

peri`

odica).

Exemple 1.1.

Suposem

x

10

b

= 2. Per passar a binari un nombre

que nom´

es t´

e part decimal, nom´

es cal multiplicar-lo per dos, la part ente-

ra d´

ona el primer d´

ıgit, quedar-se amb la part decimal, multiplicar-la per

dos, la part entera d´

ona el segon d´

ıgit, quedar-se amb la part decimal i aix´

ı

successivament.

×

×

×

×

×

Com que la part decimal de 1

es 0

2, que ja ha sortit, es tornar`

a a repetir

el grup 0011 ad infinitum. Per tant, la representaci´

o bin`

aria de 0

es

10

2

2

×

−

3

Noteu que, tot i que la representaci´

o decimal de 0

es finita, la bin`

aria no

ho ´

es pas.

1.1 Representaci´

o en punt flotant

Observaci´

o 1.1.

El camp

e

del format IEEE simple de la taula 1.1 com-

pleix

e

q

min

e

e

q

max

, on

e

q

min

q

q

min

e

q

max

q

q

max

Noteu que no es fan servir els valors

e

= 0 i

e

= 255, tot i que s´

on repre-

sentables amb 8 bits.

El motiu ´

es que

e

= 255 s’utilitza per representar

l’infinit (resultat d’

overflow

) i una classe de n´

umeros anomenats NaN (Not

a Number), que s’usen per indicar operacions inv`

al

lides (com dividir per

zero o voler calulcar l’arrel d’un n´

umero negatiu).

El cas

e

= 0 s’usa per

representar n´

umeros no normalitzats (resultat d’

underflows

El format IEEE doble ´

es totalment an`

aleg, en aquest cas no s’usen

e

2047 (infinits i NaN) ni

e

= 0 (n´

umeros no normalitzats).

D’acord amb l’estructura de la representaci´

o en punt flotant, ´

es clar que

el conjunt de nombres reals que es poden representar exactament ´

es finit.

Concretament, Definici´

o 1.1.

Denotarem el conjunt de nombres representables exacta-

ment en aritm`

etica de punt flotant de

t

d´

ıgits, en base

b

i amb exponent

entre

q

min

i

q

max

per

F

b, t, q

min

, q

max

Es a dir,

F

b, t, q

min

, q

max

.δ

1

... δ

t

b

b

q

, δ

i

,... , b

, δ

1

, q

min

q

q

max

(noteu que nom´

es considerem nombres normalitzats). Els nombres de

F

b, t,

q

min

, q

max

tamb´

e es coneixen com

nombres m`

aquina

Donat

x

R

, si

x /

F

b, t, q

min

, q

max

) no el podrem representar exacta-

ment, sin´

o que haurem d’operar amb una aproximaci´

o seva

˜x

F

b, t, q

min

, q

max

Aquesta aproximaci´

o es pot trobar per truncament o arrodoniment.

Definici´

o 1.1.

Sigui

x

R

amb representaci´

o en base

b

donada per

x

s

∞

i

=

α

i

b

−

i

b

q

d’acord amb el teorema 1.1.1, i suposem

q

min

q

q

max

Anomenarem

representaci´

o en punt flotant per truncament

de

x

a fl

T

x

F

b, t, q

min

, q

max

definit per

fl

T

x

s

.α

1

α

2

... α

t

b

q

es a dir

δ

i

α

i

per

i

,... , t

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

Anomenarem

representaci´

o en punt flotant per arrodoniment

de

x

a fl

A

x

F

b, t, q

min

, q

max

definit per

fl

A

x

s

.α

1

... α

t

b

q

si

α

t

< b/

s

.α

1

... α

t

−

1

α

t

b

q

si

b/

α

t

b

Noteu que s’han de tenir en compte els acarrejos.

2

Exemple 1.1.

Per

t

b

fl

A

×

0

fl

A

×

0

fl

A

×

1

Exemple 1.1.

Anem a veure com es representa dins la mem`

oria

fl

T

en l’aritm`

etica IEEE–simple. A l’exemple 1.1.3 hem vist

10

2

×

−

3

Llavors, d’acord amb la figura 1.1,

s

es un n´

umero positiu),

e

q

• 126 = 123 per`

o en binari, i la mantissa surt directament de (1.4).

Per

passar un n´

umero natural a binari, hem de dividir per dos, llavors el reste

d´

ona el primer d´

ıgit (de dreta a esquerra), quedar-nos amb el quocient, di-

vidir per dos, el reste d´

ona el segon d´

ıgit, quedar-nos amb el quocient i aix´

ı

successivament fins que tinguem quocient zero. En el nostre cas,

÷

reste −→

÷

÷

÷

÷

÷

÷

d’on 123 = (1111011)

2

. Per tant,

fl

A

1. en format IEEE simple queda

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

2

Estrictament, tamb´

e s’hauria de tenir en compte que un nombre amb

q

=

q

max

que

arrodoneixi cap a amunt pot produir un overflow.

1.1 Representaci´

o en punt flotant

Recordeu que el primer d´

ıgit de la mantissa sempre ´

es 1 i no es representa.

Noteu tamb´

e que l’´

ultim bit prov´

e de l’arrodoniment.

A continuaci´

o, volem quantificar l’error que es produeix en representar

un nombre qualsevol

x

R

per truncament o arrodoniment. Abans d’aix`

o

hem de formalitzar el concepte d’error. Definici´

o 1.1.

Si

x

R

i

˜x

es una aproximaci´

o de

x

, definim l’

error

absolut de

˜x

com a aproximaci´

o de

x

e

a

˜x, x

, per

e

a

x, x

x

x,

i, si

x

, definim l’

error relatiu de

x

com a aproximaci´

o de

x

e

r

˜x, x

per

e

r

˜x, x

˜x

x

x

e

a

˜x, x

x

Notem que l’error relatiu no est`

a definit si

x

= 0. Quan

x

sigui descone-

gut, prendrem

e

r

x, x

ex

−

x

ex

. Ometrem el segon argument de

e

a

i

e

r

quan

sigui clar a partir del contexte (i, per tant, denotarem

e

a

˜x

) o

e

r

˜x

En general no coneixem aquests errors exactament sin´

o nom´

es una fita

d’aquests:

En el cas de l’error absolut, un n´

umero

ε

a

˜x

0 tal que

e

a

˜x

ε

a

x

). Notarem

x

˜x

ε

a

x

) o b´

e

x

˜x

e

amb

e

ε

a

˜x

En el cas de l’error relatiu, un n´

umero

ε

r

˜x

) tal que

e

r

˜x

ε

r

˜x

Notarem

x

x

ε

r

˜x

)) o b´

e

˜x

x

δ

) amb

δ

ε

r

x

Observaci´

o 1.1.

Sempre que tinguem una igualtat del tipus

A

B

δ

es pot llegir com “l’error relatiu de

A

com a aproximaci´

o de

B

´es

δ

”, i.e.

e

r

A, B

δ

Aix`

o ser`

a d’utilitat per fitar la propagaci´

o de l’error a les

operacions m´

es endavant.

Per exemple,

x

×

−

4

vol dir que aproximem

x

per

˜x

per`

o que

x

est`

a entre 2

×

−

4

0995 i 2

×

−

4

Amb les notacions anteriors,

ε

a

x

×

−

4

i

ε

r

x

ε

a

x

x

×

−

4

×

−

4

Habitualment escrivim els n´

umeros en base 10. Una manera c`

omoda de

referir-nos a la precisi´

o d’un c`

alcul ´

es mitjan¸

cant els conceptes de

nombre de

decimals correctes

i el

nombre de xifres significatives

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

Definici´

o 1.1.

Sigui

x

una aproximaci´

o de

x

. Si

e

a

˜x

12

−

t

a

, direm

que

˜x

t´

e

t

a

decimals correctes

Si

x

sm

q

, amb

m <

, i

x

s

m

q

, i sigui

t

r

= max

i

Z

m

m

−

i

Llavors direm que

x

t´

e

t

xifres significatives

El nombre de xifres significatives est`

a relacionat amb l’error relatiu, d’a-

cord amb el seg¨

uent

Lema 1.1.

En les notacions de la definici´

o anterior, es compleix

(a)

e

r

˜x

×

−

t

r

(b)

m

m

e

r

˜x

Prova:

Es directa de les definicions.

Quan escrivim el resultat d’un c`

alcul, ´

es habitual escriure nom´

es tants

d´

ıgits a la dreta del punt decimal com decimals correctes, o b´

e tants d´

ıgits

com xifres significatives (en aquest cas sense comptar zeros al davant). Exemple 1.1.

Considerem la seg¨

uent taula:

decimals correctes

xifres significatives

12

×

−

5

12

×

−

3

En la primera entrada, l’´

ultima xifra no es ni decimal correcte ni xifra sig-

nificativa. En la segona, tots els decimals s´

on correctes i totes les xifres s´

on

significatives.

Tornant als errors de representaci´

o, tenim la seg¨

uent

Proposici´

o 1.1.

Sigui

x

R

x

amb representaci´

o decimal infinita i

normalitzada donada pel teorema 1.1.1,

x

s

.α

1

α

2

b

b

q

α

1

L’error absolut en la seva representaci´

o en punt flotant en base

b

i

t

d´

ıgits

satisf`

a les seg¨

uents fites:

e

a

fl

T

x

, x

fl

T

x

x

b

q

−

t

e

a

fl

A

x

, x

fl

A

x

x

b

q

−

t

1.2 Aritm`

etica de punt flotant

ni

x

ni

y

s´

on necess`

ariament nombres m`

aquina, el que calcularem realment

´es

fl

x

fl

y

Com abans, anomenem

ε

l’`

epsilon–m`

aquina.

Per a certs

δ

1

, δ

2

, δ

3

verificant

δ

1

δ

2

δ

3

ε

, tindrem

fl

x

x

δ

1

fl

y

y

δ

2

fl

x

fl

y

fl

x

fl

y

δ

3

xy

δ

1

δ

2

δ

3

xy

δ

1

δ

2

δ

1

δ

2

δ

3

xy

δ

1

δ

2

δ

3

xy

δ

1

δ

2

δ

3

δ

3

δ

1

δ

2

xy

δ

1

δ

2

δ

3

En l’anterior cadena d’igualtats, cada cop que hem escrit un

ha estat

perqu`

e hem eliminat sumands que s´

on producte de dos o m´

es errors. Aquest

proc`

es l’anomenarem “eliminar termes d’ordre superior” i el farem de manera

sistem`

atica.

Moltes vegades escriurem = en comptes de

D’acord amb

l’anterior,

e

r

fl

x

fl

y

δ

1

δ

2

δ

3

d’on

e

r

fl

x

fl

y

ε,

o, escrit de forma equivalent,

ε

r

fl

x

fl

y

ε.

Per tant, tamb´

e tenim

ε

a

fl

x

fl

y

xy

ε.

Si

x, y

fossin nombres m`

aquina, tindr´

ıem

δ

1

δ

2

= 0 i l’error relatiu estaria

fitat per

ε

Exemple 1.2.

Anem a estudiar l’error degut a les operacions en el c`

alcul

de (

a

1

a

2

a

3

, suposant que

a

1

, a

2

, a

3

s´

on n´

umeros m`

aquina.

Calculem

e

r

a

1

a

2

a

3

). Aquest cop fem anar la notaci´

o

fl

a

1

a

2

a

3

fl

a

1

a

2

a

3

fl

a

1

a

2

fl

a

3

δ

2

fl

a

1

a

2

a

3

δ

2

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

fl

a

1

fl

a

2

δ

1

a

3

δ

2

a

1

a

2

δ

1

a

3

δ

2

a

1

a

2

a

3

δ

1

a

1

a

2

δ

2

a

1

a

2

a

3

δ

1

a

1

a

2

δ

2

a

1

a

2

a

3

δ

1

δ

2

a

1

a

2

a

1

a

2

a

3

δ

1

a

1

a

2

δ

2

a

1

a

2

a

3

a

1

a

2

a

3

δ

1

a

1

a

2

a

1

a

2

a

3

δ

2

essent

δ

1

δ

2

ε

. Per tant,

e

r

a

1

a

2

a

3

δ

1

a

1

a

2

a

1

a

2

a

3

δ

2

Notem que, si

δ

1

= 0 i

a

1

a

2

a

1

a

2

a

3

, l’error relatiu es dispara.

Una de les coses que se segueix d’aix`

o ´

es que l’ordre de sumaci´

o ´

es important,

i per tant la suma en punt flotant no ´

es associativa.

Vegem-ne un exemple. Treballem amb

b

t

= 8 i definim

a

×

−

4

b

×

2

c

×

2

Aleshores,

a

b

c

×

2

×

2

×

−

3

b

c

a

×

−

3

×

−

4

×

−

3

El resultat exacte ´

es

a

b

c

×

−

3

Mirem quin valor pren el factor d’amplificaci´

o en cada cas.

a

1

a

2

a

3

a

1

a

2

a

1

a

2

a

3

Cas 1

a

b

c

×

4

Cas 2

b

c

a

Noteu que es prediu molt b´

e la p`

erdua de d´

ıgits en el cas 1.

El que est`

a passant ´

es que s’est`

a donant el proc´

es conegut com a

can-

cel

laci´

o:

quan, en el cas 1, sumem

a

b

i

c

, estem restant quantitats molt

properes i en fer-ho perdem 5 d´

ıgits (feu la resta a m`

a i veureu que obteniu

5 zeros al comen¸

cament).

1.3 Propagaci´

o d’errors

Si sou suspica¸

cos, us haureu adonat que en el cas 2 tamb´

e hi ha una

cancel

laci´

o (en la primera suma que es fa), per`

o en aquest cas no dispara

l’error, tal com prediu (1.6).

La ra´

o ´

es que estem suposant que

a, b, c

s´

on

n´

umeros m`

aquina, i en fer

b

c

de fet estem obtenint la suma exacta

b

c

Per tant aquesta cancel

laci´

o no est`

a introduint cap error.

La conclusi´

o que s’ha de treure de l’exemple anterior ´

es que les can-

cel

lacions no s´

on perilloses en quant a introduir errors en les operacions,

per`

o s´

on fatals en quant a propagar errors acumulats, com tornarem a veure

a la seg¨

uent secci´

o.

Propagaci´

o d’errors

En aquesta secci´

o estudiarem com es propaguen els errors suposant que fem

les operacions de manera exacta.

Tot i que no ´

es veritat mai, suposar les

operacions exactes ´

es del tot raonable quan l’error en les dades d’entrada ´

es

uns quants ordres de magnitud superior a l’`

epsilon–m`

aquina.

Comen¸

carem per formalitzar el concepte d’“eliminar termes d’ordre su-

perior”. Definici´

o 1.3.

Siguin

f, g

R

R

funcions definides en un entorn de

a

R

(a) Direm que

f

x

´es “O” de

g

x

per a

x

a

, i notarem

f

x

O

g

x

x

a

quan existeixin

δ, K >

tals que

x

a

δ

f

x

K

g

x

(b) Direm que

f

x

´es “o” de

g

x

per a

x

a

, i notarem

f

x

o

g

x

x

a

si es compleix

lim x

→

a

f

x

g

x

Exemple 1.3.

Sigui

f

de classe

C

k

en un entorn de

a

es a dir,

f

´es

k

• 1 cops derivable en aquest entorn i

f

(

k

+1)

es cont´

ınua).

Considerem el

polinomi de Taylor de

f

de grau

k

al voltant de

a

P

k

x

f

a

f

′

a

x

a

f

(

k

)

a

k

x

a

k

Aleshores:

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

(a) Es compleix que

f

x

P

k

x

O

x

a

k

). En efecte,

f

x

P

k

x

f

(

k

+1)

ξ

x

k

x

a

k

on

ξ

x

(min(

x, a

max(

x, a

es desconegut.

Si triem

δ >

0 tal que

f

(

k

+1)

sigui cont´

ınua a [

a

δ, a

δ

] i definim

D

max

x

∈

[

a

−

δ,a

δ

]

f

(

k

+1)

x

k

tenim que, si

x

a

< δ

f

x

P

k

x

K

x

a

k

(b) Es compleix que

f

x

P

k

x

o

x

a

k

). En efecte,

lim x

→

a

f

x

P

k

x

x

a

k

= lim

x

→

a

f

(

k

+1)

ξ

x

k

x

a

k

x

a

k

donat que el primer factor ´

es fitat a un entorn de

a

i el segon t´

e l´

ımit

zero.

En particular,

x

x

O

x

2

O

x

per a

x

Lema 1.3.

Siguin

f, g

R

R

funcions definides a un entorn de

a

R

Es verifica:

(a)

O

g

x

O

g

x

O

g

x

per a

x

a

, en el seg¨

uent sentit: si

f

1

x

O

g

x

, f

2

x

O

g

x

x

a

aleshores

f

1

x

f

2

x

O

g

x

x

a

(b)

O

g

x

O

g

x

O

g

x

, per a

x

a

(c)

O

f

x

O

g

x

O

f

x

g

x

, per a

x

a

1.3 Propagaci´

o d’errors

Acabem de veure que

˜x/x

e

r

˜x, x

), d’on

e

r

1 ˜x

1 x

e

r

˜x, x

e

r

˜x, x

e

r

˜x, x

O

e

r

˜x, x

on, a la darrera igualtat, hem usat (1.7). Emprant ara el lema 1.3.3 apartat(c),

e

r

1 ˜x

1 x

e

r

˜x, x

O

e

r

˜x, x

2

d’on, menyspreant el terme

O

e

r

x, x

2

), tenim

e

r

1 ex

1 x

e

r

˜x, x

), d’on pren-

drem

ε

r

1 ex

1 x

ε

r

˜x, x

). Usant aquest resultat i (e), obtenim

ε

r

˜x ˜y

ε

r

˜x, x

ε

r

1 ˜y

1 y

ε

r

˜x, x

ε

r

˜y, y

La deducci´

o de (c) de (f) ´

es an`

aloga a la de (b) de (e).

Exemple 1.3.

Suposant que les operacions es fan exactament, anem a

determinar l’error efectuat en el c`

alcul de

x

1

x

22

, essent

x

1

x

2

Traduint aix`

o al formalisme en qu`

e treballem, tenim

ε

a

x

1

, x

1

ε

r

˜x

1

, x

1

ε

a

˜x

1

, x

1

˜x

1

ε

a

x

2

, x

2

ε

r

˜x

2

, x

2

ε

a

˜x

2

, x

2

˜x

2

Fent servir la proposici´

o 1.3.4, apartat (e), obtenim

ε

r

x

1

x

22

, x

1

x

22

ε

r

x

1

, x

1

ε

r

˜x

22

, x

22

ε

r

x

1

, x

1

ε

r

˜x

2

, x

2

ε

r

˜x

2

, x

2

ε

r

x

1

, x

1

ε

r

˜x

2

, x

2

×

Passem a error absolut,

ε

a

x

1

˜x

22

, x

1

x

22

x

1

˜x

22

ε

r

˜x

1

˜x

22

, x

1

x

22

i, per tant, podem escriure,

x

1

x

22

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

Durant un c`

alcul llarg, en la major part de situacions estarem interessats

en l’evoluci´

o de l’error relatiu, donat que est`

a directament relacionat amb

el nombre de xifres significatives que tenim al llarg del c`

alcul. Des d’aquest

punt de vista, el producte i la divisi´

o s´

on operacions “segures”.

Cada cop

que multipliquem o dividim dues quantitats afectades d’error, l’error relatiudel resultat “nom´

es” ´

es la suma dels errors de les dades. No passa el mateix

amb sumes i restes. De la propietat (d) de la proposici´

o 1.3.4 se’n dedueix:

La suma d’operands del mateix signe tamb´

e ´

es “segura”, al igual que

el producte i la divisi´

o.

Si

x

y

x

x

y

x

y

x

i, per tant, encara que

e

r

˜x, x

) sigui gros, si tant el factor

x

x

y

com

e

r

˜y, y

) s´

on prou petits,

e

r

˜x

˜y, x

y

) ser`

a petit.

D’aix`

o se’n

diu

esmorte¨

ıment de l’error

, degut a que l’error relatiu al resultat

es m´

es petit que el m`

axim dels errors relatius dels arguments.

Si

x, y

s´

on de signes diferents, almenys un dels factors

x

x

y

y

x

y

ser`

a

1 i l’error relatiu que porta multiplicant es veur`

a amplificat.

Aquesta amplificaci´

o ´

es dr`

astica si

x

y

es a dir, quan hi ha

can-

cel

lacions

, tal com hem comprovat a l’exemple 1.2.2.

Exemple 1.3.

Anem a veure un exemple de com una cancel

laci´

o pot

eliminar tota la precisi´

o que ten´

ıem i un esmorte¨

ıment la pot recuperar.

Definim

a

−

7

ε

r

a, a

×

−

7

b

−

7

ε

r

b, b

×

−

7

c

−

7

ε

r

˜c, c

×

−

7

Suposem que fem les seg¨

uents dues sumes de manera exacta:

d

˜a

b,

˜e

d

˜c.

1.3 Propagaci´

o d’errors

Trobem la fita de l’error relatiu de la primera suma:

ε

r

d, d

ε

r

˜a

˜b, a

b

a

˜a

b

ε

r

˜a, a

b

˜a

b

ε

r

b, b

×

×

−

7

×

×

−

7

L’error relatiu s’ha disparat. De fet, l’error absolut ve donat per

ε

a

˜a

b, a

b

ε

a

˜a, a

ε

a

˜b, b

×

−

7

d’on

a

b

×

−

7

i ´

es clar que a

˜a

b

hem perdut 5 xifres significatives.

Continuem operant: en fer

˜e

d

˜c

, podem fitar l’error relatiu per

ε

r

˜e, e

ε

r

d

c, d

c

d

d

˜c

ε

r

d, d

˜c

d

˜c

ε

r

˜c, c

×

−

6

×

×

×

−

7

×

−

6

Al resultat final tenim error relatiu petit, malgrat haver tingut una can-cel

laci´

o fatal emmig del c`

alcul. L’esmorte¨

ıment l’ha compensada.

A continuaci´

o veurem un resultat per fitar la propagaci´

o de l’error a trav´

es

de l’aplicaci´

o d’una funci´

o qualsevol, suposant que aquesta funci´

o s’avalua

exactament. Proposici´

o 1.3.7 (F´

ormula de propagaci´

o de l’error maximal)

Supo-

sem que

ϕ

´es una funci´

o de classe

C

2

en un entorn obert que cont´

e

˜x

i

x

, i

que

e

a

˜x, x

es petit. Aleshores

e

a

ϕ

˜x

, ϕ

x

ϕ

′

x

e

a

x, x

e

r

ϕ

˜x

, ϕ

x

xϕ

′

x

ϕ

x

e

r

˜x, x

on

significa que hem menyspreat termes d’ordre

. En particular,

ε

a

ϕ

˜x

, ϕ

x

ϕ

′

x

ε

a

x, x

ε

r

ϕ

˜x

, ϕ

x

x

ϕ

′

x

ϕ

x

ε

r

x, x

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

Prova:

Comencem per l’error absolut. Tenim e

a

ϕ

˜x

, ϕ

x

ϕ

˜x

ϕ

x

ϕ

x

e

a

˜x, x

ϕ

x

ϕ

′

x

e

a

x, x

O

e

a

˜x, x

2

on, a la darrera igualtat, hem usat la f´

ormula de Taylor.

Per obtenir la

igualtat a primer ordre de l’enunciat, nom´

es hem de menysprear el terme

quadr`

atic en

e

a

˜x, x

En quant a l’error relatiu,

e

r

ϕ

x

, ϕ

x

e

a

ϕ

˜x

, ϕ

x

ϕ

x

ϕ

′

x

e

a

˜x, x

ϕ

x

xϕ

′

x

ϕ

x

e

a

˜x, x

x

xϕ

′

x

ϕ

x

e

r

x, x

i aix`

o finalitza la prova.

D’acord amb la proposici´

o anterior, el nombre

x

ϕ

′

x

ϕ

x

´es el factor d’amplificaci´

o (o reducci´

o) d’una fita de l’error relatiu d’una

quantitat

x

en aplicar-li una funci´

o qualsevol

ϕ

x

) (que suposem que s’avalua

exactament).

Es per aix`

o que es coneix com a

coeficient de propagaci´

o

Una aplicaci´

o immediata de la proposici´

o anterior ´

es la classificaci´

o d’ex-

pressions matem`

aticament equivalents des del punt de vista de la propagaci´

o

d’errors. Vegem-ne un exemple. Exemple 1.3.

Suposem que volem calcular

a

4

, prenent

73205. Definim

x

˜x

73205, de manera que

ε

r

˜x, x

ε

a

˜x, x

x

×

−

7

Una possibilitat per trobar

a

es fer

a

ϕ

1

x

x

4

Suposant

que pogu´

essim avaluar

ϕ

1

exactament, obtindr´

ıem

˜a

ϕ

1

˜x

Trobem la

corresponent fita de l’error relatiu:

ε

r

ϕ

1

˜x

, ϕ

1

x

ϕ

′ 1

x

x

ϕ

1

x

ε

r

x, x

x

3

x

x

4

ε

r

x, x

×

×

−

7

×

−

5

1.3 Propagaci´

o d’errors

1.3.7). Trenquem el c`

alcul de

f

x

) en operacions elementals i considerem els

valors exactes i aproximats a cada etapa:

˜x

0

mesura(

x

x

0

x,

˜x

1

fl

x

0

x

1

x

0

x,

˜x

2

fl

(ln

˜x

1

x

2

ln

x

1

ln

x,

˜x

3

fl

x

22

x

3

x

2

2

(ln

x

2

˜x

4

fl

˜x

3

x

4

x

3

3 + (ln

x

2

˜x

5

fl

x

4

x

5

x

4

3 + (ln

x

2

Se’ns demana donar un valor per

ε

r

x

5

, x

5

). Anem a trobar progressivament:

ε

r

˜x

0

, x

0

ε

r

x

1

, x

1

ε

r

x

2

, x

2

Sigui

δ

0

e

r

(mesura(

x

)), d’on mesura(

x

x

δ

0

), per a

δ

0

ε

Aleshores,

ε

r

˜x

0

, x

0

ε

r

x

δ

0

, x

ε.

Sigui

δ

1

e

r

fl

˜x

0

, x

0

), d’on

fl

x

0

x

0

δ

1

), per a

δ

1

ε

Aleshores

ε

r

x

1

, x

1

ε

r

x

0

δ

1

, x

0

prop. 1.3.

ε

r

x

0

, x

0

ε

r

δ

1

ε

ε

ε.

Sigui

δ

2

e

r

fl

(ln

˜x

1

ln

˜x

1

), d’on

fl

(ln

˜x

1

) = ln

˜x

1

δ

2

), per a

δ

2

ε

. Aleshores,

ε

r

˜x

2

, x

2

ε

r

fl

(ln

x

1

ln

x

1

ε

r

(ln

˜x

1

δ

2

ln

x

1

ε

r

(ln

˜x

1

ln

x

1

ε

r

δ

2

prop. 1.3.

x

1

1

|

x

1

|

ln

x

1

ε

r

x

1

, x

1

ε

ln

x

ε.

Noteu que, a (1.8), el primer terme correspon a la propagaci´

o de l’er-

ror acumulat (

ε

r

˜x

1

, x

1

)), mentre que el segon terme ´

es el nou error

introduit degut a l’avaluaci´

o del logaritme en punt flotant.

Sigui

δ

3

e

r

fl

˜x

22

˜x

22

)), d’on

fl

x

22

˜x

22

δ

3

δ

3

ε

. Aleshores,

ε

r

˜x

3

, x

3

ε

r

fl

˜x

22

, x

2

2

ε

r

˜x

22

δ

3

, x

22

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

ε

r

x

22

, x

22

ε

r

δ

3

x

2

x

2

x

2

2

ε

r

x

2

, x

2

ε

ln

x

ε

ε

ln

x

ln

x

ε.

Novament, a (1.9) el primer terme correspon a la propagaci´

o de l’error

acumulat (

ε

r

x

2

, x

2

)), i el segon ´

es l’error introduit pel producte en

punt flotant.

Si continuem el proc`

es, acabem amb

ε

r

x

5

, x

5

ln

x

ln

x

2

ln

x

2

ε,

que ´

es el qu`

e se’ns demanava.

Algorismes estables i inestables. Proble-mes mal condicionats.

Direm que un algorisme ´

es

num`

ericament inestable

quan petites pertor-

bacions dels resultats inicials produeixen una gran difer`

encia en el resultat

final. Aix`

o el far`

a inservible des del punt de vista num`

eric, donat que am-

plificar`

a de manera sistem`

atica els errors de les dades inicials. Vegem-ne un

exemple. Exemple 1.4.

Considerem la fam´

ılia d’integrals

E

n

1

0

x

n

e

x

−

1

dx.

M´

es endavant veurem m`

etodes per a aproximar integrals definides, per`

o ara

volem fer una cosa m´

es senzilla i m´

es eficient: integrant per parts, es veu de

seguida que

E

n

nE

n

−

1

i ´

es immediat calcular que

E

0

1

0

e

x

−

1

e

−

1

Aix`

o suggereix el seg¨

uent procediment per trobar

E

n

1.4 Algorismes estables i inestables

E

0

e

−

1

i

÷

n

E

i

iE

i

−

1

Suposem que volem trobar

E

9

. Prenem una calculadora i treballem amb

6 xifres decimals:

n

E

n

n

E

n

Obtenim

E

9

negatiu, mentre que hauria de ser positiu, donat que estem

integrant coses positives. Per tant,

E

9

no t´

e cap xifra significativa!

Suposem que fem les operacions de manera exacta.

3

Per a arribar a

E

9

l’´

unic que hem fet han estat restes i productes.

Com que sabem que els

productes s´

on “segurs”, de la secci´

o anterior, deduim que el responsable de

fer cr´

eixer l’error relatiu ´

es el factor

y

x

−

y

de la propietat (d) de la proposici´

o

1.3.4 (exercici: comproveu-ho).

4

En aquest cas podem fer una an`

alisi m´

es directa, que ens permetr`

a predir

aquest comportament per despr´

es corregir-lo. Com que suposem les operaci-

ons exactes, l’´

unica font d’error ´

es l’error de representaci´

o d’

E

0

, que ´

es

e

0

×

−

7

de manera que no comencem amb

E

0

sin´

o amb

E

0

E

0

e

0

, i llavors anem

fent

E

i

i

E

i

−

1

. Si anomenem

e

i

l’error en el c`

alcul d’

E

i

, tenim

e

i

E

i

E

i

i

E

i

−

1

iE

i

−

1

i

E

i

−

1

E

i

−

1

ie

i

−

1

(en aquestes igualtats hi ha un raonament d’inducci´

o impl´

ıcit).

Observem

que a cada pas l’error es multiplica per

i

. Aix´

ı,

e

n

ne

n

−

1

n

n

e

n

−

2

n

n

e

0

3

Ho podem fer, donat que el nombre d’operacions que fem ´

es de l’ordre de desenes,

de manera que els errors introduits s´

on menyspreables al costat dels errors que estem

observant.

4

Una conseq¨

u`

encia que heu de treure d’aquesta comprovaci´

o ´

es que no calen can-

cel

·

lacions dr`

astiques per desvirtuar totalment el resultat. En tenim prou amb unes quan-

tes de “lleugeres”, com succeeix aqu´

ı.

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 1

d’on

e

9

e

0

×

5

×

×

−

7

×

−

1

, que fa que l’error

relatiu d’

E

9

sigui de l’ordre de la unitat i per tant perdem totes les xifres

significatives.

Per a arreglar-lo, observem que, si iterem cap a enrera, l’error disminueix

en comptes d’augmentar. En efecte: si tenim

E

n

E

n

e

n

llavors, com que

E

i

−

1

E

i

i

i per les integrals aproximades usarem la mateixa recurr`

encia,

E

i

−

1

E

i

i

tindrem

e

i

−

1

E

i

−

1

E

i

−

1

E

i

i

E

i

i

e

i

i

d’on

e

n

e

n

n

e

n

n

n

k

n

n

k

e

n

k

Si, suposant que volem trobar

E

n

, podem escollir

E

n

k

de manera que, en

iterar enrera

k

vegades, el factor

n

!

(

n

k

)!

hagi eliminat

e

n

k

, ja ho tindrem.

Per a fer aix`

o, observem

E

n

1

0

x

n

e

x

−

1

dx

1

0

x

n

e

x

−

1

dx

1

0

x

n

dx

1

0

x

n

dx

n

d’on, si prenem

E

n

k

= 0, tindrem

e

n

k

E

n

k

E

n

k

E

n

k

1

n

k

i, per tant, de (1.11),

e

n

n

n

k

Aix´

ı, per trobar

E

9

amb 6 d´

ıgits, podem prendre

k

= 6, donat que

e

9

×

−

8

Els iterats (1.10) d´

onen:

n

E

n

n

E

n

1.4 Algorismes estables i inestables

Es clar que, llevat de les primeres arrels, totes s´

on molt sensibles a petites

variacions d’

a

1

D’aix`

o se segueix que, tot i que

p

x

) tingui arrels enteres ben f`

acils, si

proveu de determinar-les num`

ericament els errors de representaci´

o dels coefi-

cients (i.e.,

e

r

fl

a

1

,... , e

r

fl

a

20

))) introduir`

an errors considerables en les

arrels. Si us voleu conv`

encer, proveu de fer, dins Maple,

expand(mul((x-i),i=1..20));p:=evalf(%);solve(p=0,x);

per diversos valors de

Digits