¡Descarga Errors y más Ejercicios en PDF de Ingeniería Infórmatica solo en Docsity!
M ETODES NUM ERICS I 1
1 Problemes num`erics i errors
1 Quant acuradament necessitem con`eixer una aproximaci´o de π per poder calcular
π amb 4 decimals correctes?
2 Calculeu la dist`ancia focal f d’una lent usant la f´ormula 1 f
a
b
on a = 32 ± 1mm i b = 46 ± 1mm. Doneu una estimaci´o de l’error.
3 Si les quatre operacions (divisi´o, resta, producte i resta) es fan exactament, el resultat del c`alcul
z =
´es z = 0.
(a) Quin ´es el resultat final si es treballa en base 10 i si el resultat de cada operaci´o s’arrodoneix a t d´ıgits decimals significatius? Doneu el resultat en forma normalitzada f l(z) = ±C · 10 e, amb C ∈ [1, 10) i e ∈ Z (e dep`en de t).
(b) Quin ´es el resultat final si es treballa en base 2 i si el resultat de cada operaci´o s’arrodoneix a t d´ıgits binaris significatius? Doneu el resultat en forma normalitzada f l(z) = ±C · 2 e, amb C ∈ [1, 2) i e ∈ Z (e dep`en de t).
4 Volem calcular l’al¸cada d’una muntanya. Per a aix`o es mesura l’angle d’elevaci´o α des d’un punt distant P , i tamb´e l’angle d’elevaci´o β des d’un punt situat l metres m´es proper a la muntanya que P , i a la mateixa al¸cada. Usant trigonometria elemental (veure figura) es pot concloure que l’al¸cada de la muntanya ´es h = l
sin α sin β sin(β − α)
α β l
h
P
(a) Suposant que els angles α i β, aix´ı com la dist`ancia l, tenen error, obteniu el valor aproximat de l’al¸cada h de la muntanya, i una fita de l’error absolut, quan α = 0. 236 ± 2 · 10 −^3 radians, β = 0. 265 ± 2 · 10 −^3 radians i l = 100 ± 1 m.
(b) Suposant que els valors de α, β i l de l’apartat anterior s´on exactes i que les operacions aritm`etiques i la funci´o sinus tenen un error relatiu fitat per la unitat d’arrodoniment u, trobeu una fita de l’error relatiu produ¨ıt quan es calcula l’al¸cada h.
2 LLISTA DE PROBLEMES 2017-2018 (semestre de tardor)
(c) [1 punt extra] Dedu¨ıu la f´ormula.
5 Sigui 0 < α < π 2 un angle desconegut, del qual es coneixen valors aproximats del sinus (s ≈ sin(α)) i del cosinus (c ≈ cos(α)), amb un error absolut fitat per εa en els dos casos.
a) Quina de les seg¨uents f´ormules permet calcular α amb menys error?
α = arcsin s, α = arccos c.
Si la resposta dep`en del valor d’α, especifica tots els casos possibles.
b) D´ona una fita de l’error amb qu`e obtenim α si usem l’expressi´o seg¨uent:
α = arctan
s c
c) Si α <
π 6
, quina de les tres f´ormules anteriors permet calcular α amb m´es precisi´o?
6 Useu el desenvolupament de Taylor per evitar cancel·lacions en la seg¨uent expressi´o: ex^ − e−x, i useu una reformulaci´o en les seg¨uents expressions:
a) sin x − cos x, per x ≈ π/ 4.
b) 1 − cos x per x ≈ 0.
c) (
1 + x^2 −
1 − x^2 )−^1 , x ≈ 0.
7 Es vol calcular la quantitat R =
a) Demostreu que les 4 expressions seg¨uents s´on equivalents: (√ 5 −
) 2 ,^
b) Suposem que
5 i
3 es coneixen nom´es aproximadament, amb errors absoluts proxims a 0 i de magnitud semblant. Quina de les 4 expressions de l’apartat anterior ´es millor numericament per a calcular R?
8 Es considera el c`alcul recurrent { x 0 , x 1 dades conegudes , xn = 3xn− 1 − 2 xn− 2 ∀n ≥ 2.
a) Demostreu que x 5 = 31x 1 − 30 x 0.
b) Trobeu una f´ormula expl´ıcita de xn en funci´o de x 1 i x 0. O sigui, trobeu f (n) i g(n) tals que xn = f (n)x 1 + g(n)x 0 , ∀n ≥ 0.
c) Suposem que els calculs es fan exactament (sense errors d’arrodoniment), i suposem que x 0 i x 1 es coneixen nom´es aproximadament, amb uns errors absoluts fitats per ǫ. Demostreu que l’error absolut en el valor xn obtingut, esta fitat per (2n+1^ − 3)ǫ.
4 LLISTA DE PROBLEMES 2017-2018 (semestre de tardor)
- Es calculen els coeficients b i c del polinomi caracter´ıstic p(x) = x^2 + bx + c.
- Es resol p(x) = 0 usant la f´ormula habitual.
a) Se suposa que les dades a, d i e es coneixen nom´es aproximadament, amb errors absoluts fitats per ǫ. Treballant a primer ordre en ǫ, trobeu una fita de l’error absolut en els valors propis, que sigui de la forma Kǫ, amb K independent dels elements de A.
b) Se suposa ara que els elements de A no tenen error i que ad < 0. Per`o se suposa tamb´e que cada operaci´o elemental es fa amb un error relatiu fitat per u ≪ 1. Treballant a primer ordre en u, trobeu fites dels errors relatius en b i en c de la forma Lu, amb L independent dels elements de A. Notes: Canviar el signe d’un valor no introdueix cap error nou. Elevar un valor al quadrat s´ı que introdueix error.
14 igui f (x, y) = xy^ , definida en el quadrat: 0 < x, y ≤ 10.
(a) Estudieu la propagaci´o de l’error relatiu, a primer ordre. O sigui, cal trobar expressions Ex i Ey, dependents de x i de y, tals que, en primer ordre d’aproximaci´o, es verifiqui
(∆f ) f
≈ Ex
(∆x) x
(∆y) y
on el s´ımbol ∆ fa refer`encia a l’error absolut eb la variable que acompanya. Per quins valors de x i de y hi ha problemes de propagaci´o de l’error relatiu?
(b) Aplicaci´o. Siguin x = 0.11(1 ± ǫ) i y = 10(1 ± ǫ), on ǫ = 10−^2. Trobeu una fita (a primer ordre en ǫ) de l’error relatiu en f (x, y) = xy^.
15 Volem calcular el valor de la funci´o F (x) = sin x − cos x en el punt ¯x.
a) Treballant amb 4 xifres significatives i arrodoniment, calculeu F (0.785). Useu una f´ormula millor des del punt de vista num`eric. Compareu els resultats i comenteu-los.
b) Suposem que no hi ha error en la representaci´o del nombre ¯x i que usem un ordinador que comet errors relatius fitats per ǫ i 5ǫ en les operacions aritmetiques i en el calcul de les funcions trigonometriques, respectivament. Fiteu l’error comes en el c`alcul de F (¯x).
16 a) Siguin x = 3. 25 ± 12 10 −^2 , y = 0. 792 ± 12 10 −^3 , z = 1. 18 ± 12 10 −^2. S’avalua f (x, y, z) = tan(xy^2 − z). Calculeu una fita, aproximada a primer ordre, del resultat f (3. 25 , 0. 792 , 1 .18) ≈ 1 .158291.
b) En el mateix calcul anterior, suposem ara que les dades no tenen error, pero que cada operaci´o individual (quadrat, producte, resta i funci´o trigonom`etrica) es fa amb un error relatiu fitat per u = 10−^8. Trobeu una fita de l’error absolut en el resultat, a primer ordre en u.
17 Usem un ordinador que comet errors relatius fitats per ǫ en la representaci´o de nombres en punt flotant i en les operacions aritmetiques, i per 3ǫ en el calcul de l’arrel c´ubica. Doneu la millor fita (aproximadament) per a l’error relatiu comes en el calcul de 3
x + y, x, y > 0.
M ETODES NUM ERICS I 5
18 Es defineix In =
0
xn 2 x + 7
dx , ∀n ≥ 0.
a) Demostra que els elements de (In)n≥ 0 verifiquen la recurr`encia In = (^12)
n −^7 In−^1
, ∀n ≥ 1 , i tamb´e les desigualtats (^9) n^1 +9 ≤ In ≤ (^7) n^1 +7 , ∀n ≥ 0 (per tant, In ≥ 0 , ∀n ≥ 0 , i limn→∞ In = 0).
b) Sigui I 0 el valor que s’obt´e calculant directament la integral en el cas n = 0 i arrodonint el resultat final a 6 decimals. Siguin In (n ≥ 1) els valors calculats usant la recurrencia de l’apartat anterior amb la condici´o inicial I 0 (sense tenir en compte els errors deguts a les operacions de la recurrencia). Per a qualsevol n > 0, expressa l’error en ≡ In − In en funci´o de e 0 i de n. Dedueix si la recurrencia ´es numericament estable o inestable? Quin ´es el m´ınim valor de n per al qual In seria negatiu? (NO heu de calcular expl´ıcitament els In, sin´o dedu¨ır-ho de l’expressi´o de l’error en)
19 En les reaccions qu´ımiques en que un compost es trasforma en dues substancies m´es simples, conv´e fer c`alculs de la forma
z = +
x x + y
on 0 < x, y.
(a) Si es coneixen les dades aproximades x = 0. 664 ± 12 10 −^3 i y = 9. 87 ± 12 10 −^2 , doneu una bona aproximaci´o de z, aix´ı com una fita, com m´es bona millor, de l’error absolut com`es.
(b) Suposem ara que es coneixen unes dades x i y exactes, per`o que cada operaci´o elemental (suma, divisi´o i arrel quadrada) es fa amb un error relatiu fitat per u << 1. Doneu una fita, aproximada a primer ordre en u, de l’error relatiu en el resultat z.
