TEMA 2 - Zeros de Funcions, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga TEMA 2 - Zeros de Funcions y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Apunts de M`

etodes Num`

erics

Llicenciatura de Matem`

atiques UAB, 2007–

Josep Maria Mondelo

Departament de Matem`

atiques UAB

6 de novembre de 2007

Cap´

ıtol 2

Zeros de funcions En aquest cap´

ıtol considerem equacions del tipus

f

x

) = 0 on

f

´es una funci´

o

real de variable real. Tamb´

e considerem equacions del tipus

x

g

x

Anomenem

arrel

o

soluci´

o

de l’equaci´

o

f

x

) = 0 un valor

α

tal que

f

α

Es diu tamb´

e que

α

´es un

zero

de

f

En el cas d’una equaci´

o

del tipus

x

g

x

), anomenem

punt fix

de

g

un valor

α

tal que

g

α

α

L’objectiu d’aquest cap´

ıtol ´

es desenvolupar m`

etodes num`

erics que ens

permetin obtenir aproximacions num`

eriques d’arrels o punts fixos.

M`

etode de la bisecci´

o, de Newton i de la

secant

M`

etode de la bisecci´

o

Suposem que tenim

f

: [

a, b

]

R

cont´

ınua i volem trobar

α

amb

f

α

Si

f

a

f

b

0 (i.e.,

f

a

) i

f

b

) tenen signes diferents), el teorema de

Bolzano ens assegura que llavors existeix

α

[

a, b

] amb

f

α

) = 0. L’aplicaci´

o

recursiva del teorema de Bolzano a subdivisions de l’interval original d´

ona

lloc al m`

etode de la bisecci´

o, que podem descriure com segueix.

Algorisme 2.1.1 (m`

etode de la bisecci´

o)

a

1

a

b

1

b

I

1

:= [

a

1

, b

1

]

i

p

i

a

i

b

i

si

f

a

i

f

p

i

a

i

a

i

b

i

p

i

si no

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

a

i

p

i

b

i

b

i

I

i

:= [

a

i

, b

i

]

El criteri d’aturada es discuteix a l’observaci´

o 2.1.3, punt (c).

Anem a provar que aquest algorisme aproxima arbitr`

ariament una arrel

de

f

Proposici´

o 2.1.

Sigui

f

: [

a, b

]

R

cont´

ınua amb

f

a

f

b

i suposem

que apliquem l’algorisme 2.1.1. Llavors,

i

α

I

i

f

α

p

i

α

b

a

i

Prova:

Anem a veure primer per inducci´

o que,

i

f

a

i

f

b

i

i

b

i

a

i

b

a

i

−

1

El cas

i

= 1 se segueix directament de les hip`

otesis. Suposem (2.2) cert per

i

qualsevol i provem-ho per

i

Si

f

a

i

f

p

i

0, prendrem

a

i

a

i

b

i

p

i

i tindrem

f

a

i

f

b

i

1. Si no, s’ha de complir

f

p

i

f

b

i

donat que, si fos

f

p

i

f

b

i

0, com que estem suposant

f

a

i

f

p

i

tindr´

ıem

f

a

i

f

b

i

0, contr`

ariament a la hip`

otesi d’inducci´

o.

Per tant

f

p

i

f

b

i

0, i, com que en aquest cas prenem

a

i

p

i

b

i

b

i

, tenim

f

a

i

f

b

i

1. Respecte de la segona igualtat de (2.2)

b

i

a

i

b

i

a

i

(2.2)

b

a

i

−

1

b

a

i

i aix`

o finalitza la inducci´

o.

Per a acabar, per la primera igualtat de (2.2), el teorema de Bolzano ens

assegura que existeix

α

I

i

amb

f

α

) = 0. A m´

es,

p

i

α

b

i

a

i

(2.2)

b

a

i

−

1

b

a

i

tal com vol´

ıem veure.

Observaci´

o 2.1.

La desigualtat (2.1)

(a) Ens diu que, si suposem

p

i

aproximaci´

o de

α

e

a

p

i

, α

b

a

i

2.1 M`

etode de la bisecci´

o, de Newton i de la secant

Exemple 2.1.

Suposem que volem trobar un zero de

f

x

e

x

2, sigui

α

(que ja sabem que ´

es ln 2). Si prenem

a

= 0 i

b

= 1, com que

f

a

f

b

el teorema de Bolzano ens assegura que tenim una arrel

α

[

a, b

].

Fem bisecci´

o:

i

p

i

i

p

i

ja no canvia

Fem Newton, comen¸

cant igual:

i

x

i

ja no canvia

Observem que Newton ´

es molt m´

es r`

apid.

Ara prenem

a

b

f

a

f

b

1. i fem bisecci´

o:

i

p

i

i

p

i

ja no canvia

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

mentre que, si fem Newton comen¸

cant igual,

i

x

i

i

x

i

ja no canvia

Observem que Newton precissa m´

es iterats que bisecci´

o! El motiu ´

es que a

x

4 la gr`

afica de

f

x

es molt plana (

f

′

e

−

4

0183), de manera

que la tangent per

4 envia el primer iterat al 104

1963. A partir d’aqu´

ı, i

fins que s’apropa a l’arrel, baixa d’un en un perqu`

e

x

n

x

n

e

x

n

e

x

n

x

n

e

x

n

x

n

donat que

x

n

´es gros.

Un cop som a prop de l’arrel, la converg`

encia torna

a ser r`

apida, com en el cas anterior.

Aquest ´

es un comportament t´

ıpic del

metode de Newton l’aproximaci´

o inicial ´

es lluny de l’arrel.

M`

etode de la secant

Aquest m`

etode el podem pensar com una variant del m`

etode de Newton, en

la qual en lloc d’utilitzar la recta tangent per construir la successi´

o d’iterats,

utilitzarem la recta secant entre dos punts consecutius.

Escollim

x

0

x

1

[

a, b

], propers al punt fix i considerem la recta que passa

per (

x

0

, f

x

0

)) i (

x

1

, f

x

1

y

f

x

0

f

x

1

f

x

0

x

1

x

0

x

x

0

Tallant aquesta recta amb l’eix de les

x

obtenim un punt

x

2

x

0

f

x

0

x

1

x

0

f

x

1

f

x

0

Continuant aquest proc´

es obtenim una successi´

o

x

n

x

n

f

x

n

−

1

x

n

x

n

−

1

f

x

n

f

x

n

−

1

x

n

−

1

f

x

n

x

n

f

x

n

−

1

f

x

n

f

x

n

−

1

2.2 M`

etodes de punt fix

No donarem aqu´

ı resultats sobre la converg`

encia del m`

etode, nom´

es fer unes

observacions.

A l’inici del m`

etode calen dues aproximacions, per`

o en cada

pas nom´

es s’ha d’avaluar la funci´

o en un punt. Si b´

e la converg`

encia no est`

a

assegurada, quan es d´

ona, ´

es bastant r`

apida (com veurem m´

es endavant).

La tria entre el m`

etode de Newton i el de la secant dep`

en de la quantitat de

feina necess`

aria per al c`

alcul de

f

′

x

); en alguns casos o potser no coneixem

la derivada de

f

i o potser ´

es molt cost´

os avaluar-la.

M`

etodes de punt fix

Un

punt fix

per a una funci´

o

g

definida a [

a, b

] ´

es un nombre

α

[

a, b

]

tal que

g

α

α

En aquesta secci´

o ens dedicarem a trobar solucions a

problemes de punt fix (i.e., equacions de la forma

x

g

x

)) i a estudiar la

connexi´

o entre aquests i els problemes de trobar zeros de funcions. Per aix`

o

passarem de l’equaci´

o

f

x

) = 0 a

g

x

x

, i estudiarem quina ´

es la forma m´

es

interessant des del punt de vista num`

eric. Per exemple, si hem de resoldre

f

x

x

3

x

2

• 1 = 0 podem passar a resoldre

g

1

x

x

3

x

2

x

x

o b´

e

g

2

x

x

3

x

o b´

e

g

3

x

3

x

2

x

Una equaci´

o de la forma

x

g

x

) suggereix de manera natural la iteraci´

o:

x

0

aproximaci´

o inicial

i

x

i

g

x

i

Ens preguntem: la successi´

o d’iterats generada, convergeix? Si s´

ı, a on? Sota

quines condicions? A quina velocitat?

La pregunta “a on” ´

es la m´

es f`

acil de respondre.

Lema 2.2.

Sigui

g

: [

a, b

]

R

cont´

ınua, prenem

x

0

[

a, b

]

x

i

g

x

i

suposem

x

n

n

∈

N

[

a, b

]

i que existeix

lim

n

→∞

x

n

α

α

[

a, b

]

Aleshores

g

α

α

Prova:

Tenim

g

α

g

( lim

n

→∞

x

n

) = lim

n

→∞

g

x

n

) = lim

n

→∞

x

n

α,

on, a la segona igualtat, hem usat que

x

n

n

[

a, b

] i que

g

es cont´

ınua a

[

a, b

].

Les iteracions d’un m`

etode de punt fix es poden representar en una gr`

afica

amb les corbes

y

g

x

) i

y

x

(veure figura 2.2). Donat

x

0

, obtenim

g

x

0

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

y

x

x

y

y

g

x

x

0

x

1

x

2

y

x

y

x

y

g

x

x

0

x

1

x

2

x

x

0

x

1

x

2

x

3

x

x

0

x

1

x

2

x

3

y

y

x

y

g

x

y

y

x

y

g

x

g

0

< g

0

< g

0

< g

0

x

3

Figura 2.2:

Tipus de comportaments de

x

k

g

x

k

al voltant d’un punt fix

α

(i.e.

g

α

α

) amb

g

′

α

. D’esquerra a dreta i dalt a baix: teranyina

divergent, teranyina convergent, escala convergent i escala divergent. “pujant” a la gr`

afica de

g

, per`

o el volem representar sobre l’eix de les

x

per

poder tornar a iterar.

Per a aix`

o, ens desplacem des de (

x

0

, g

x

0

)) fins a

y

x

a trav´

es d’una recta horitzontal i “baixem” el valor

g

x

0

) a l’eix

x

per

obtenir

x

1

. Fem el mateix amb

x

1

, i aix´

ı successivament.

De la figura 2.2 se segueix que el “cas cr´

ıtic” ´

es

g

′

x

= 1: tenim con-

verg`

encia per

g

′

x

1 i diverg`

encia per

g

′

x

De fet, tenim el

seg¨

uent teorema.

Teorema 2.2.2 (del punt fix)

Sigui

g

: [

a, b

]

R

cont´

ınua a

[

a, b

]

, deri-

vable a

a, b

, tal que

(i)

g

([

a, b

])

[

a, b

]

(ii)

g

′

x

λ

x

[

a, b

]

, per a certa

λ <

2.2 M`

etodes de punt fix

Exemple 2.2.

Suposem que volem resoldre

f

x

) = 0, on

f

x

e

x

x

que podem reescriure com

x

g

x

), on

g

x

) = ln(

x

Com que

g

es creixent,

g

(1) = ln 3

1 i

g

(2) = ln 5

2, tenim

g

([

2])

[

2]. La derivada,

g

′

x

x

es decreixent, d’on, per a

x

[

2]

g

′

x

g

′

λ <

i per tant, segons el teorema 2.2.2, l’esquema iteratiu

x

k

g

x

k

es con-

vergent a l’´

unica arrel

α

. Si prenem

x

0

5, llavors

x

1

g

x

0

x

1

x

0

Si volem trobar

α

amb error absolut fitat per

ε

−

5

, d’acord amb (2.5)

tindrem prou amb fer

n

iterats, essent

n

= ceil

log(

−

5

log 0

log 2

ceil 25

Iterant amb 12 xifres decimals (nom´

es n’escrivim 6), surt

n

x

n

n

x

n

n

x

n

n

x

n

Observem que la successi´

o d’iterats s’estabilitza a l’iterat 20, abans del pre-

vist.

Observaci´

o 2.2.

La fita (2.4) es una

estimaci´

o a posteriori

, donat que, per

poder avaluar-la, s’han de fer tots els iterats fins a

x

n

. Ens permet decidir

quan ens hem d’aturar. Notem que, si

λ >

5, llavors

x

n

x

n

−

1

< ε

(el

criteri que fem servir al m`

etode de Newton) no ´

es un criteri d’aturada acurat,

donat que

λ/

λ

1 i no podem assegurar que

x

n

α

< ε

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

Exemple 2.2.

A l’exemple 2.2.4 observ`

avem que els iterats s’estabilit-

zaven abans del previst, i semblava que l’iterat 20 ja satisfeia la toler`

ancia

demanada.

Anem a fer servir l’estimaci´

o a posteriori (2.4) amb una petita trampa:

substituirem

λ

per

g

′

x

n

Aix`

o est`

a justificat pel fet que, per cada

n

podr´

ıem aplicar el teorema del punt fix amb l’interval

I

n

:= [

α

x

n

α

, α

x

n

α

]

Anomenem

λ

n

:= sup

x

∈

I

n

g

′

x

el valor de

λ

que haur´

ıem d’emprar al teo-

rema del punt fix. Com que lim

n

→∞

λ

n

g

′

α

= lim

n

→∞

g

′

x

n

, podem

considerar

λ

n

g

′

x

n

. Aix´

ı, a cada iterat calculem tamb´

e la seg¨

uent apro-

ximaci´

o de la fita a posteriori:

f

n

g

′

x

n

g

′

x

n

x

n

x

n

−

1

Els resultats s´

on

n

x

n

f

n

n

x

n

f

n

n

x

n

f

n

0

1

.

5

− − −

9

1

.

25775

1

.

32

×

10

−

3

18

1

.

25644

8

.

30

×

10

−

6

1

1

.

38629

1

.

28

×

10

−

1

10

1

.

25718

7

.

52

×

10

−

4

19

1

.

25644

4

.

73

×

10

−

6

2

1

.

32776

7

.

07

×

10

−

2

11

1

.

25686

4

.

28

×

10

−

4

20

1

.

25643

2

.

69

×

10

−

6

3

1

.

29624

3

.

96

×

10

−

2

12

1

.

25668

2

.

44

×

10

−

4

21

1

.

25643

1

.

53

×

10

−

6

4

1

.

27884

2

.

23

×

10

−

2

13

1

.

25657

1

.

39

×

10

−

4

22

1

.

25643

8

.

72

×

10

−

7

5

1

.

26911

1

.

27

×

10

−

2

14

1

.

25651

7

.

90

×

10

−

5

23

1

.

25643

4

.

97

×

10

−

7

6

1

.

26362

7

.

18

×

10

−

3

15

1

.

25648

4

.

50

×

10

−

5

24

1

.

25643

2

.

83

×

10

−

7

7

1

.

26052

4

.

08

×

10

−

3

16

1

.

25646

2

.

56

×

10

−

5

25

1

.

25643

1

.

61

×

10

−

7

8

1

.

25876

2

.

32

×

10

−

3

17

1

.

25645

1

.

46

×

10

−

5

26

1

.

25643

9

.

17

×

10

−

8

D’acord amb aix`

o, ens podr´

ıem aturar a l’iterat 22.

Exemple 2.2.

Suposem que volem trobar un zero de

f

x

x

x

2

i considerem la iteraci´

o simple

x

k

g

x

k

) amb

g

x

x

2

La soluci´

o de

x

g

x

) es pot trobar exactament, i ´

es

α

2.2 M`

etodes de punt fix

Suposem que pr`

eviament hem localitzat l’arrel entre 9 i 10, i prenem com a

λ

una fita de

g

′

x

a [

10], i.e.,

λ

g

′

Suposem que volem trobar l’arrel amb toler`

ancia

ε

−

5

, i iterem a partir

de

x

0

n

x

n

−

1

x

n

x

n

x

n

−

1

λ

1

−

λ

x

n

x

n

−

1

x

n

α

Si f´

essim servir

x

n

x

n

−

1

< ε

com a criteri d’aturada, ens aturar´

ıem a

l’iterat 760, per al qual la difer`

encia entre

x

n

i l’arrel (darrera columna) ´

es

m´

es gran que 0

1. En canvi, si fem servir

λ

1

−

λ

x

n

x

n

−

1

< ε

com a criteri

d’aturada, ens aturem a l’iterat 1819 i tenim la precisi´

o que vol´

ıem.

Observaci´

o 2.2.

Si a m´

es de les hip`

otesis del teorema anterior

g

′

x

x

[

a, b

] aleshores la successi´

o

x

n

α

per`

o

x

n

α

per a tota

n

, llevat del

cas

x

0

α

. Ho provem per reducci´

o a l’absurd: si

k

es el primer sub´

ındex

tal que

x

k

α

, aleshores

x

k

−

1

α

x

k

g

x

k

x

k

i

g

x

k

g

x

k

−

1

g

′

ξ

k

x

k

x

k

−

1

ens porta a una contradicci´

o. Aix´

ı, malgrat que

x

n

est`

a tan a prop de

α

com

volguem, mai arribar`

a a ser igual a

α

Suposem que

g

: [

a, b

]

[

a, b

] ´

es de classe

C

1

i sigui

α

un punt fix per

g

Podem distinguir tres casos:

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

g

′

α

1. Sigui

λ

tal que

g

′

α

< λ <

1. Degut a la continu¨

ıtat de

g

′

, podem assegurar que existeix

h >

0 tal que

g

′

x

< λ

per a tot

x

[

α

h, α

h

]. En aquest cas:

g

x

α

g

′

c

x

α

< λ

x

α

x

α

i diem que

α

´es un punt fix

atractor

per

g

. De fet, la successi´

o d’iterats

x

n

g

x

n

) convergeix a

α

per a tot

x

0

[

α

h, α

h

].

g

′

α

Com abans, sigui

λ

tal que

g

′

x

λ >

1 i

h

tal que

g

′

x

λ

per a tot

x

[

α

h, α

h

]. Ara, suposant que

x

´es tal que

x, g

x

[

α

h, α

h

],

g

x

α

x

α

i diem que

α

´es un punt fix

repulsor

per

g

. En particular, la successi´

o

d’iterats

x

n

g

x

n

no

convergeix a

α

, per a tot

x

0

dins un entorn

arbitr`

ariament petit de

α

En aquest cas

g

′

x

= 0 a l’interval [

α

h, α

h

] i per tant

g

´es

creixent o decreixent.

Podem doncs considerar la funci´

o inversa

g

−

1

definida sobre

g

([

α

h, α

h

]) que ´

es un interval que cont´

e

α

g

α

L’equaci´

o

g

x

x

es pot escriure

x

g

−

1

x

) en un entorn de

α

i,

donat que

g

−

1

′

α

g

′

g

α

g

′

α

el punt

α

´es un punt fix atractor per

g

−

1

g

′

α

= 1. En aquest cas la successi´

o d’iterats pot ser o no convergent,

com mostren els seg¨

uents exemples:

(a)

g

x

) = sin

x

x

[

π 2

]. El zero ´

es un punt fix per

g

i

g

′

Per

x

0

π 2

), la successi´

o d’iterats

x

n

g

x

n

g

x

n

g

g

′

c

n

x

n

= cos

c

n

x

n

< x

n

es mon`

otona decreixent i est`

a afitada inferiorment per zero. Per

tant

x

n

´es convergent, i pel lema 2.2.1 sabem que el l´

ımit ha de

ser zero.

(b)

g

x

) = sinh

x

e

x

−

e

−

x

2

x

[

). El zero ´

es un punt fix per

g

amb

g

′

(0) = 1. Ara la successi´

o d’iterats satisf`

a que per a cada

n

existeix

c

n

tal que

x

n

g

x

n

e

c

n

e

−

c

n

x

n

x

n

2.3 Ordre de converg`

encia

L’exemple anterior suggereix com generar sistem`

aticament una successi´

o

amb qualsevol ordre de converg`

encia.

Per`

o no ´

es aquest el nostre objectiu,

sin´

o calcular la velocitat de converg`

encia de m`

etodes iteratius.

Observaci´

o 2.3.

Suposem que

x

n

n

α

t´

e ordre

p

amb constant asimpt`

otica

de l’error

C

. Si pensem

x

n

com a a proximaci´

o de

α

, llavors

C

= lim

n

→∞

x

n

α

x

n

α

p

= lim

n

→∞

e

a

x

n

, α

e

a

x

n

, α

p

Per tant,

e

a

x

n

, α

C

e

a

x

n

, α

p

Formalment:

ε >

n

0

n

n

0

e

a

x

n

, α

C

ǫ

e

a

x

n

, α

p

amb

ǫ

ε

. Per tant, llevat de la constant

C

, el nombre de decimals correctes

essencialment es multiplica per

p

a cada iterat (preneu logaritmes).

Es per

aix`

o que podem considerar l’ordre de converg`

encia com una mesura de la

velocitat de converg`

encia.

Definici´

o 2.3.

Sigui

g

: [

a, b

]

R

α

g

α

punt fix.

Direm que el

m`

etode iteratiu

x

0

aproximaci´

o inicial

n

x

n

g

x

n

t´

e ordre

p

si existeix

ε >

tal que

x

0

α

ε, α

ε

es compleix que

x

n

g

x

n

n

α

amb ordre de converg`

encia

p

Dedicarem la resta d’aquesta secci´

o al c`

alcul de l’ordre de diversos m`

etodes.

Proposici´

o 2.3.5 (ordre dels m`

etodes de punt fix)

Sigui

g

: [

a, b

]

R

de classe

C

1

g

α

α

g

′

α

g

′

α

Aleshores el m`

etode

x

n

g

x

n

t´

e ordre de converg`

encia lineal.

Prova:

Per continu¨

ıtat de

g

′

, existeix

ε >

0 tal que

x

[

α

ε, α

ε

]

tenim

1

g

′

x

λ <

1. Aleshores, el teorema del punt fix 2.2.2 ens assegura

converg`

encia del m`

etode per qualsevol

x

0

α

ε, α

ε

1

Aquest ´

es un raonament del tot standard:

per continu¨

ıtat tenim

∀

ǫ >

0

∃

ε >

0 :

|

x

−

α

|

< ε

⇒ |

g

′

(

x

)

−

g

′

(

α

)

| ≤

ǫ

. Llavors nom´

es cal prendre

ǫ

= (

− |

g

′

(

α

)

|

)

/

2 i obtenim

λ

=

|

g

′

(

α

)

|

ǫ <

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

A m´

es,

x

n

α

g

x

n

g

α

g

′

ξ

n

x

n

α

on, a l’´

ultima igualtat,

ξ

n

x

n

, α

s’obt´

e de l’aplicaci´

o del teorema del valor

mig. Per tant,

x

n

α

x

n

α

g

′

ξ

n

n

→∞

g

′

α

donat que

g

′

´es cont´

ınua i, pel principi del sandwitch,

ξ

n

x

n

, α

ξ

n

n

α

Com podem aconseguir ordre m´

es gran? Fent que

g

′

α

= 0, llavors per

(2.7) tindrem que

x

n

α

m´

es r`

apid que

x

n

α

i esperem que l’ordre de

converg`

encia sigui m´

es gran. Anem a veure primer un resultat una mica m´

es

general, per a despr´

es tornar a aquest.

Proposici´

o 2.3.

Suposem

g

α

ε, α

ε

R

α

a, b

i que existeixen

ε >

, K >

tals que

g

x

α

K

x

α

p

si

x

α

< ε

es a dir,

g

x

α

O

x

α

p

Suposem tamb´

e (sense

p`

erdua de generalitat) que

α

ε, α

ε

[

a, b

]

. Aleshores

(a) Si

p

i

K <

g

d´

ona lloc a un m`

etode d’odre almenys 1, i

x

n

g

x

n

convergeix per a

x

0

α

< ε

. A m´

es, tenim l’estimaci´

o

x

n

α

K

n

x

0

α

(b) Si

p >

g

d´

ona lloc a un m`

etode d’odre almenys

p

, i

x

n

g

x

n

convergeix per a

x

0

α

min(

K

1

/

(

−

p

)

, ε

. A m´

es, tenim l’estimaci´

o

x

n

α

K

−

1

p

−

1

K

1

p

−

1

x

0

α

p

n

Prova:

(a) Donat

x

α

ε, α

ε

), tenim

g

x

α

K

x

α

x

α

d’on

g

x

α

ε, α

ε

). Per tant, si

x

0

α

ε, α

ε

) i definim

x

n

g

x

n

), tenim

x

n

n

α

ε, α

ε

) i

x

n

α

K

x

n

−

1

α

K

2

x

n

−

2

α

K

n

x

0

α

n

→∞

(donat que

K <

1), d’on

x

n

α

amb ordre almenys 1 (per la primera

desigualtat).

2.3 Ordre de converg`

encia

(b) Si

x

α

< K

−

1

/

(

p

−

g

x

α

K

x

α

p

K

x

α

p

−

1

x

α

x

α

d’on, si

x

0

es t.q.

x

0

α

min(

ε, K

−

1

/

(

p

−

) i

x

n

g

x

n

), llavors

x

n

α

min(

ε, K

−

1

/

(

p

−

n

. A m´

es,

x

n

α

K

x

n

−

1

α

p

K

K

x

n

−

2

α

p

p

K

1+

p

x

n

−

2

α

p

2

K

1+

p

K

x

n

−

3

α

p

p

2

K

1+

p

p

2

x

n

−

3

α

p

3

K

1+

p

...

p

n

−

1

x

0

α

p

n

K

p

n

−

1

p

−

1

x

0

α

p

n

K

−

1

p

−

1

K

1

p

−

1

x

0

α

p

n

n

→∞

d’on

x

n

n

α

amb ordre almenys

p

Proposici´

o 2.3.

Sigui

g

: [

a, b

]

R

de classe

C

p

i que

α

a, b

´es t.q.

g

α

α

. Suposem

g

′

α

g

′′

α

g

(

p

−

α

amb

g

′

α

si

p

Aleshores, la funci´

o d’iteraci´

o

g

d´

ona lloc a un

m`

etode iteratiu d’ordre

p

, amb constant asimpt`

otica de l’error

C

g

(

p

)

α

p

Prova:

Per Taylor,

g

x

g

α

g

′

α

x

α

g

(

p

−

α

p

x

α

p

−

1

g

(

p

)

ξ

x

p

x

α

p

α

g

(

p

)

ξ

x

p

x

α

p

Aleshores:

Si

p

= 1, escollim

K

t.q.

g

′

α

< K <

1 i, per continu¨

ıtat de

g

′

existeix

ε >

0 tal que

g

′

ξ

K

ξ

α

ε, α

ε

Si

p >

1, prenem

ε

tal que (

α

ε, α

ε

[

a, b

] i

K

= max

|

ξ

−

α

|≤

ε

g

(

p

)

(

ξ

)

p

!

(existeix per continu¨

ıtat de

g

(

p

)

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

Per la proposici´

o anterior, tenim que

g

d´

ona lloc a un m`

etode d’odre

almenys

p

Per a veure que l’ordre ´

es exactament

p

, sigui

x

0

qualsevol tal

que

x

n

g

x

n

n

α

. Aleshores,

x

n

α

x

n

α

p

g

(

p

)

ξ

x

n

p

n

→∞

g

(

p

)

α

p

donat que

ξ

x

n

x

n

, α

, d’on, pel principi del sandwitch

ξ

x

n

n

α

, i

g

(

p

)

´es

cont´

ınua.

Corol

lari 2.3.8 (Ordre de converg`

encia del m`

etode de Newton)

Sigui

f

: [

a, b

]

R

de classe

C

3

f

α

f

′

α

(i.e.,

α

zero simple de

f

f

′′

α

Aleshores el m`

etode de Newton per trobar

α

com a zero de

f

x

´es quadr`

atic, amb constant asimpt`

otica de l’error

C

f

′′

α

f

′

α

Prova:

El m`

etode de Newton es pot considerar com una iteraci´

o de punt fix

amb funci´

o d’iteraci´

o

g

x

x

f

x

f

′

x

d’on

g

′

x

f

′

x

2

f

x

f

′′

x

f

′

x

2

f

x

f

′′

x

f

′

x

2

d’on

g

′

α

) = 0 i per tant el m`

etode de Newton ´

es almenys quadr`

atic.

Per

comprovar que ´

es qu`

adratic (amb les nostres hip`

otesis), trobem

g

′′

g

′′

x

f

′

x

f

′′

x

f

x

f

′′′

x

f

′

x

2

f

x

f

′′

x

f

′

x

f

′′

x

f

′

x

4

d’on

g

′′

α

f

′′

α

/f

′

α

= 0, i, per tant, per la proposici´

o 2.3.7, l’ordre ´

es

2 amb la constant asimpt`

otica de l’error de (2.9).

Observaci´

o 2.3.

Si, en en les hip`

otesis del corol

lari anterior, canviem

f

′′

α

= 0 per

f

′′

α

) = 0, llavors la converg`

encia del m`

etode de Newton ´

es almenys

c´

ubica (exemple:

f

x

) = sin

x

2.4 Acceleraci´

o de la converg`

encia

Ara, d’acord amb (2.8),

x

n

α

K

−

1

K

x

0

α

2

n

per`

o, per tenir converg`

encia, cal que

K

x

0

α

K

x

0

α

c

x

0

c

m

1

/

2

b

q/

2

b

q/

2

m

1

/

2

b

q/

2

m

1

/

2

m

1

/

2

b

−

1

/

2

b

−

1

/

2

b

Per

b

= 2 tenim (

b

207 i per tant tindrem converg`

encia. Per a

b

= 10 tindr´

ıem (

b

1, i per tant no podr´

ıem assegurar converg`

encia

(necessitariem una condici´

o inicial

x

0

m´

es acurada).

Suposem que estem implementant l’aritm`

etica IEEE doble, per la qual

b

= 2. Substituint el valor de

K

x

0

α

en (2.11), obtenim

x

n

c

c

b

2

n

d’on, si volem

e

r

x

n

c

< ε

, on

ε <

−

16

´es l’`

epsilon–m`

aquina de l’a-

ritm`

etica IEEE doble, nom´

es cal demanar

n >

log

10

log

10

log

10

log

10

b

Per tant,

per a qualsevol n´

umero m`

aquina

c

mb

q

, prenent

x

0

b

q/

2

i fent 5

iterats de Newton obtenim

fl

c

) amb error relatiu m´

es petit que l’`

epsilon–

m`

aquina.

3

Cada iterat de Newton (2.10) nom´

es consta d’una divisi´

o i una

suma (no comptem la divisi´

o per dos perqu`

e, en una aritm`

etica bin`

aria,

nom´

es cal decrementar l’exponent en una unitat).

Acceleraci´

o de la converg`

encia

M`

etode d’acceleraci´

o Aitken

Suposem que tenim

x

n

n

→∞

α

. Volem accelerar la velocitat de converg`

encia.

3

Estem suposant que no cometem errors a les operacions. Aquesta suposici´

o ´

es realista

si les operacions a nivell intern es fan amb una aritm`

etica m´

es precissa que la IEEE doble,

cosa que passa a la pr`

actica totalitat dels processadors actuals.

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

Denotem ∆

x

n

x

n

x

n

. Podem pensar ∆

x

n

una mesura de l’error de

x

n

, donat que ∆

x

n

n

1. Si condiderem que a

x

n

cometem “error” ∆

x

n

i a

x

n

cometem error ∆

x

n

, podem fer “extrapolaci´

o dels errors cap a zero”:

prenem la recta per (

x

n

x

n

) i (

x

n

x

n

) i la tallem amb l’eix

x

La

recta esmentada ´

es

y

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

x

n

x

n

2

x

n

x

n

x

x

n

on hem denotat ∆

2

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

Si imposem

y

= 0, obtenim

x

x

n

x

n

x

n

2

x

n

x

n

x

n

x

n

2

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

2

x

n

x

n

x

n

(noteu que el que hem fet equival a fer un iterat del m`

etode de la secant a

partir de (

x

n

x

n

) i (

x

n

x

n

)). Esperem que

x

sigui millor aproximaci´

o

de

α

que

x

n

x

n

x

n

D’acord amb aix`

o, podem considerar una nova

successi´

o “accelerada”:

y

n

x

n

x

n

2

2

x

n

es per aquesta f´

ormula que aquest m`

etode es coneix com “la ∆

2

d’Aitken”).

Ens preguntem: est`

a ben definida (el denominador es podria anul

lar)? Con-

vergeix a

α

m´

es r`

apid que

x

n

n

Tenim el seg¨

uent

Teorema 2.4.

Suposem

x

n

n

→∞

α

x

n

α

per tot

n

, i que existeix una

constant

C

amb

C

tal que

x

n

α

C

δ

n

x

n

α

amb

δ

n

n

(i.e., els errors absoluts es comporten asimpt`

oticament com

una progressi´

o geom`

etrica). Aleshores la successi´

o

y

n

n

de (2.12) est`

a ben

definida per

n

prou gran, i

lim

n

→∞

y

n

α

x

n

α

(i.e.,

y

n

tendeix a

α

m´

es r`

apid que

x

n

2.4 Acceleraci´

o de la converg`

encia

Observaci´

o 2.4.

Si

g

: [

a, b

]

R

es de classe

C

1

g

α

α

g

′

α

g

′

α

1, llavors prenent

C

g

′

α

) i

δ

n

x

n

α

x

n

α

C

estem en les hip`

otesis del teorema.

Prova:

Tenim

y

n

x

n

x

n

x

n

2

x

n

x

n

x

n

Definim

e

n

x

n

α

e

n

C

δ

n

e

n

aleshores

x

n

x

n

x

n

e

n

e

n

e

n

e

n

C

δ

n

C

δ

n

C

δ

n

e

n

C

2

C

δ

n

δ

n

δ

n

δ

n

δ

n

=:

μ

n

n

−→

0

Per

n

prou gran,

μ

n

C

2

, d’on

x

n

x

n

x

n

= 0 i, com que

e

n

= 0 per hip`

otesi,

y

n

est`

a ben definida.

Tamb´

e

x

n

x

n

e

n

e

n

e

n

C

δ

n

e

n

C

δ

n

i per tant

y

n

α

x

n

α

y

n

α

e

n

(2.13)

C

δ

n

2

C

2

μ

n

n

→∞

donat que

δ

n

, μ

n

n

M`

etode d’acceleraci´

o de Steffensen

En comptes d’accelerar una successi´

o ja generada, podem emprar la ∆

2

d’Aitken per a accelerar un m`

etode. Concretament, donat un m`

etode iteratiu

x

0

aproximaci´

o inicial

n

x

n

g

x

n

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

podem considerar una nova iteraci´

o

y

0

x

0

n

y

n

y

n

g

y

n

y

n

2

g

g

y

n

g

y

n

y

n

y

n

g

g

y

n

g

y

n

2

g

g

y

n

g

y

n

y

n

que consisteix a aplicar la ∆

2

d’Aitken a

y

n

g

y

n

) i

g

g

y

n

Aquesta es-

trat`

egia ´

es coneguda com a

acceleraci´

o d’Steffensen

Esperem que aquesta estrat`

egia doni millors resultats que aplicar Aitken

a una successi´

o ja generada, donat que reciclem quantitats accelerades. Con-

cretament, tenim el seg¨

uent resultat.

Proposici´

o 2.4.

Sigui

g

: [

a, b

]

R

de classe

C

2

α

[

a, b

]

amb

g

α

α

g

′

α

. Aleshores, la funci´

o d’iteraci´

o

G

x

x

g

x

x

2

g

g

x

g

x

x

d´

ona un m`

etode almenys quadr`

atic.

Prova:

Podem suposar que

α

= 0. Per a

α

qualsevol, definim

y

i

h

y

) per

x

α

y,

g

x

α

h

y

aleshores

h

(0) = 0 i

h

′

= 1. Per la proposici´

o per al cas

α

= 0, tenim que

la funci´

o d’iteraci´

o

H

y

y

h

y

y

2

h

h

y

h

y

y

d´

ona lloc a un m`

etode almenys quadr`

atic. Llavors cal comprovar que

G

x

α

H

y

i haurem acabat: donat

x

0

qualsevol, prenem

y

0

amb

x

0

α

y

0

, llavors,

en definir

x

n

G

x

n

) i

y

n

H

y

n

), veiem per inducci´

o que

x

n

α

y

n

n

, i, com que

y

n

t´

e ordre de converg`

encia almenys quadr`

atic,

x

n

tamb´

e.

Suposem, per tant,

α

= 0. Expadim

g

per Taylor al voltant de

α

g

x

g

g

′

x

g

′′

ξ

x

x

2

Ax

O

x

2

2.5 M`

etode de Sturm

Si iterem al rev´

es,

x

0

x

n

= arccos

x

n

obtenim una seq¨

u`

encia divergent:

n

x

n

n

x

n

complex

mentre que, si fem Steffensen,

z

0

x

0

z

n

z

n

(arccos

z

n

z

n

2

arccos arccos

z

n

2 arccos

z

n

z

n

surt

n

z

n

no canvia

i encara tenim converg`

encia quadr`

atica.

Separaci´

o de zeros reals de polinomis. M`

e-

tode de Sturm

L’objectiu d’aquesta secci´

o ´

es

separar arrels

d’una equaci´

o

f

x

) = 0. Aix`

o

´es, determinar intervals

I

R

que continguin una ´

unica arrel.

L’eina fonamental per a aix`

o seran les successions d’Sturm.

Definici´

o 2.5.

Sigui

f

: [

a, b

]

R

de classe

C

1

. Una successi´

o finita de

funcions cont´

ınues

f

0

,... , f

n

: [

a, b

]

R

es diu una

successi´

o de Sturm

per

f

a

[

a, b

]

si

(a)

f

0

f

(b)

α

[

a, b

]

, f

0

α

f

′ 0

α

(i.e., totes les arrels s´

on simples),

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

(c)

α

[

a, b

]

, f

0

α

f

′

α

f

1

α

(d)

i

÷

m

, α

[

a, b

]

, f

i

α

f

i

−

1

α

f

i

α

(e)

f

m

x

x

[

a, b

]

L’aplicaci´

o de les successions de Sturm ve donada pel teorema de Sturm.

Teorema 2.5.2 (de Sturm)

Sigui

f

0

,... f

m

successi´

o de Sturm per a

f

0

f

a

[

a, b

]

, i suposem

f

a

f

b

Per a

x

a, b

, sigui

V

x

el nombre de canvis de signe de la successi´

o

f

0

x

, f

1

x

,... , f

m

x

(sense tenir en compte els zeros).

Aleshores, el nombre de zeros de

f

a

a, b

´es

V

a

V

b

Prova:

Suposem que movem

x

de

a

a

b

. Cal veure que

V

decreix en una unitat

cada cop que travessem un zero de

f

Si

x

a, b

es t.q.

f

0

x

... f

m

x

= 0, com que

f

0

... f

m

es cont´

ınua,

tenim que

V

´es constant a un entorn de

x

. Per tant,

V

nom´

es pot canviar

de valor a un punt ˆ

x

tal que existeix

i

,... m

amb

f

i

x

) = 0 (no

pot ser

f

m

x

) = 0 per la propietat (e) de les successions de Sturm).

Considerem un tal ˆ

x

, i suposem primer que

i

1. Les possibilitats per

als signes de

f

i

−

1

x

f

i

x

) i

f

i

x

) a un entorn de ˆ

x

s´

on

x

f

i

−

1

x

f

i

x

f

i

x

ˆx

ε

ˆx

x

ε

o b´

e

x

f

i

−

1

x

f

i

x

f

i

x

ˆx

ε

x

x

ε

Els signes a la fila

x

x

se segueixen de la propietat (d). A partir d’aquests,

els signes de la primera i tercera columnes se segueixen per continu¨

ıtat de

f

i

−

1

i

f

i

, per a

ε

prou petita. D’aquestes taules se segueix que el nombre

de canvis de signe de (2.17) es no varia i, per tant,

V

es mant´

e constant quan

travessem

x

Suposem ara

i

= 0. Aleshores, les possibilitats s´

on

x

f

0

x

f

1

x

x

ε

x

x

ε

o b´

e

x

f

0

x

f

1

x

ˆx

ε

x

x

ε

2.5 M`

etode de Sturm

En qualsevol cas, el nombre de canvis de signe de (2.17) disminueix unaunitat i, per tant,

V

decreix en una unitat, tal com vol´

ıem veure.

Ara que coneixem la utilitat de les successions de Sturm, necessitem una

manera de generar-les.

No existeix un procediment general per funcions

qualssevol, per`

o s´

ı per polinomis.

Sigui

p

x

) polinomi de grau

n

amb totes les arrels simples

. Definim

p

0

x

p

x

p

1

x

p

′

x

p

0

x

p

1

x

q

1

x

λ

2

p

2

x

λ

2

gr

p

2

gr

p

1

p

1

x

p

2

x

q

2

x

λ

3

p

3

x

λ

3

gr

p

3

gr

p

2

p

m

−

2

x

p

m

−

1

x

q

m

−

1

x

λ

m

p

m

x

λ

m

gr

p

m

gr

p

m

−

1

p

m

−

1

x

p

m

x

q

m

x

(gr denota grau de polinomis).

Es a dir: dividim

p

0

per

p

1

i prenem com a

p

2

el reste de la divisi´

o, per`

o canviat de signe i multiplicat per una constant

positiva, que podem triar lliurement.

A continuaci´

o dividim

p

1

per

p

2

i

prenem

p

3

com el reste de la divisi´

o, per`

o canviat de signe i multiplicat per

una constant. I aix´

ı successivament, fins que el reste de la divisi´

o sigui zero.

Notem que gr

p

i

n

i

, i per tant

m

n

(i.e., com a molt podem fer

n

passos). Notem tamb´

e que, llevat del canvi de signe de la resta i el producte

per la constant, aquest ´

es l’algorisme d’Euclides per trobar el m`

axim com´

u

divisor de polinomis. En particular,

p

m

= mcd(

p

0

, p

1

) = mcd(

p, p

′

Es compleix:

Proposici´

o 2.5.

Si

p

x

t´

e totes les arrels simples

, llavors la successi´

o

p

0

,... , p

m

definida a (2.18) ´

es una successi´

o de Sturm per a

p

Prova:

Comprovem les propietats de les sucessions de Sturm.

Tenim (a)

per definici´

o, (b) per hip`

otesi, (c) ´

es `

obvia perqu`

e

p

1

p

′ 0

. Nom´

es (d) i (e)

requereixen una mica de feina.

Per a provar (d), suposem que

α

[

a, b

] ´

es tal que

p

i

α

) = 0 per

i

,... , m

. De (2.18), tenim que

p

i

−

1

α

p

i

α

q

i

α

λ

i

p

i

α

J.M. Mondelo. M`

etodes Num`

erics. Cap´

ıtol 2

i, com que

p

i

α

p

i

−

1

α

λ

i

p

i

α

λ

i

Si

p

i

−

1

α

= 0, hem provat (d). Per veure que

p

i

−

1

α

= 0, suposem que no:

p

i

−

1

α

) = 0. Aleshores, aplicant (2.18) recurrentment, p

i

−

2

α

p

i

−

1

α

=

q

i

−

1

α

λ

i

p

i

α

=

p

i

−

2

α

p

i

−

3

α

p

i

−

2

α

=

q

i

−

2

α

λ

i

−

1

p

i

−

1

α

=

p

i

−

3

α

acabar´

ıem amb

p

0

α

p

1

α

) = 0, i aix`

o ´

es una contradicci´

o, perqu`

e suposem

que les arrels de

p

s´

on simples.

Per provar (e), per (2.19) tenim que

p

m

divideix

p

0

i

p

1

, per tant, si exist´

ıs

α

tal que

p

m

α

) = 0, llavors tindr´

ıem

p

0

α

p

1

α

) = 0, i aix`

o contradiria

novament el fet que les arrels de

p

0

s´

on simples.

Si

p

x

) t´

e arrels m´

ultiples, hem de trobar mcd(

p, p

′

) (que ´

es

p

m

, si fem

(2.18)) i hem de considerar

p/

mcd(

p, p

′

), que t´

e les mateixes arrels que

p

per`

o simples.

Exemple 2.5.

Volem localitzar les arrels de

p

x

x

3

x

2

x

Prenem

p

0

x

p

x

x

3

x

2

x

p

1

x

p

′ 0

x

x

2

x

Llavors, si dividim

p

0

per

p

1

, obtenim

p

0

p

1

q

1

r

2

p

1

q

1

λ

2

p

2

amb quocient

q

1

13

x

13

i reste

r

2

43

x

53

Amb la finalitat que la

seg¨

uent divisi´

o sigui m´

es f`

acil, prenem

λ

2

13

i

p

2

x

• 5. Dividim

p

1

entre

p

2

i obtenim

p

1

p

2

q

2

r

3

p

2

q

2

λ

3

r

3

amb quocient

q

3

34

x

3916

i reste

211

16

, d’on prenem

λ

3

211

16

i

p

3

Finalment, si dividim

p

2

entre

p

3

obtenim

p

2

p

3

q

3