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CÁLCULO (UAH)

APUNTES CÁLCULO

CARRERO, RAFA 08-

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

APUNTES DE CALCULO II PARA PRIMER CURSO DE LOS

GRADOS DE INGENIER´IA INDUSTRIAL Y DE TELECOMUNICACION

Elaborados por Domingo Pestana y Jos´e Manuel Rodr´ıguez

1. CONCEPTOS BASICOS

Definici´on. La norma de un vector x = (x 1 , x 2 ,... , xn) de Rn^ es ‖x‖ =

x^21 + x^22 + · · · + x^2 n. La distancia entre dos puntos x, y de Rn^ es la norma de su diferencia, es decir, dist (x, y) = ‖x − y‖.

La norma en Rn^ verifica propiedades similares al valor absoluto en R, ya que, de hecho, la norma es igual al valor absoluto si n = 1:

‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ ,

∣ (^) ‖x‖ − ‖y‖

∣ (^) ≤ ‖x − y‖.

Definici´on. La bola abierta B(x 0 , r) de centro x 0 ∈ Rn^ y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a distancia menor que r del punto x 0 , es decir,

B(x 0 , r) =

x ∈ Rn^ : ‖x − x 0 ‖ < r

La bola cerrada B(x 0 , r) de centro x 0 ∈ Rn^ y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a distancia menor o igual que r del punto x 0 , es decir,

B(x 0 , r) =

x ∈ Rn^ : ‖x − x 0 ‖ ≤ r

Definici´on. Un conjunto U ⊆ Rn^ es abierto si para todo x ∈ U existe un r > 0 (que puede depender de x) tal que B(x, r) ⊆ U. Un entorno de un punto x ∈ Rn^ es un conjunto abierto que contiene a x. Un conjunto F ⊆ Rn^ es cerrado si su complemento F c^ = Rn^ \ F es abierto. La frontera ∂E de un conjunto E ⊆ Rn^ es el conjunto de puntos x de Rn^ (no tienen por qu´e estar en E) tales que en todo entorno de x hay alg´un punto de E y alg´un punto de Ec. Un conjunto E ⊆ Rn^ es cerrado si y s´olo si ∂E ⊆ E. El interior de un conjunto E ⊆ Rn^ es el subconjunto de puntos x de E para los que existe un r > 0 (que puede depender de x) tal que B(x, r) ⊆ E. De hecho, el interior de E es el mayor subconjunto abierto de E. La clausura E de un conjunto E ⊆ Rn^ es E = E ∪∂E. De hecho, la clausura de E es el menor conjunto cerrado que contiene a E. Un conjunto E ⊆ Rn^ es acotado si existe un r > 0 tal que E ⊆ B( 0 , r). Un conjunto E ⊆ Rn^ es compacto si es cerrado y acotado. Es f´acil ver que una bola abierta es un conjunto abierto y que una bola cerrada es un conjunto compacto. Tambi´en es f´acil ver que la uni´on e intersecci´on de un n´umero finito de conjuntos abiertos es abierto, y que la uni´on e intersecci´on de un n´umero finito de conjuntos cerrados es cerrado.

Definici´on. Una funci´on es una regla cualquiera que hace corresponder un punto de Rm^ y s´olo uno a cada punto de un cierto conjunto A ⊆ Rn. f (x) es el valor de la funci´on f en el punto x. El dominio de una funci´on es el conjunto de puntos para los que est´a definida, A en este caso, y se denota por Dom (f ). Si no se especifica nada, se sobreentiende que el dominio de una funci´on est´a formado por todos los puntos para los cuales tiene sentido la definici´on. Habitualmente escribiremos

f : A −→ Rm

para denotar que A es el conjunto inicial o dominio y Rm^ el conjunto final, de tal manera que a cada punto de A la funci´on f le asocia un punto de Rm. La imagen de una funci´on es el conjunto de los puntos y tales que existe un punto x con f (x) = y, y se denota por Img (f ). La gr´afica de una funci´on es el conjunto de puntos: {(x, f (x)) : x ∈ Dom (f )}. Sean A ⊆ Rn^ y f : A −→ R. El conjunto de nivel de valor c es el conjunto de puntos x ∈ A para los cuales f (x) = c, es decir, el conjunto {x ∈ A : f (x) = c} ⊆ A ⊆ Rn. Si n = 2, hablamos de curva de nivel de valor c, y si n = 3, hablamos de superficie de nivel de valor c.

Teorema 8. Sean A ⊆ Rn^ y f : A −→ R. Si A es compacto y f es continua en A, entonces existen los valores m´aximo y m´ınimo de f en A.

3. DIFERENCIACION

Definici´on. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto y f : U −→ R. Entonces la derivada parcial ∂f /∂xj de f con respecto a la variable xj se define como

∂f ∂xj

(x 1 ,... , xn) = lim h→ 0

f (x 1 , x 2 ,... , xj + h,... , xn) − f (x 1 ,... , xn) h

= lim h→ 0

f (x + hej ) − f (x) h

donde 1 ≤ j ≤ n y ej es el j-´esimo vector de la base can´onica; es decir, la derivada parcial de f con respecto a la variable xj es simplemente la derivada “usual” de f con respecto a la variable xj , si se supone que el resto de las variables son constantes. Si f : U −→ Rm, entonces f (x) = (f 1 (x),... , fm(x)), y podemos hablar de la derivada parcial ∂fi/∂xj de la componente i-´esima de f con respecto a la variable xj.

Definici´on. Sean U ⊆ R^2 un conjunto abierto, (x 0 , y 0 ) ∈ U y f : U −→ R. Decimos que f es diferenciable en (x 0 , y 0 ) si ∂f /∂x y ∂f /∂y existen en (x 0 , y 0 ) y si

lim (x,y)→(x 0 ,y 0 )

f (x, y) − f (x 0 , y 0 ) − ∂f∂x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) − ∂f∂y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) ‖(x, y) − (x 0 , y 0 )‖

En este caso se define el plano tangente a la gr´afica de f en el punto (x 0 , y 0 ) como

z = f (x 0 , y 0 ) +

∂f ∂x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) +

∂f ∂y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ).

Definici´on. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, x 0 ∈ U y f : U −→ Rm. Decimos que f es diferenciable en x 0 si las derivadas parciales de f existen en x 0 y si

lim x→x 0

‖f (x) − f (x 0 ) − T(x − x 0 )‖ ‖x − x 0 ‖

donde T = Df (x 0 ) es la matriz m × n cuyo elemento en la fila i y columna j es ∂fi/∂xj evaluada en x 0 y T(x − x 0 ) es el producto de T con x − x 0 (considerado como matriz columna). Llamamos a T la derivada o diferencial o matriz jacobiana de f en x 0.

Definici´on. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto y f : U −→ R diferenciable en U. En este caso la matriz derivada de f en x tiene 1 fila y n columnas, es decir, es el vector

Df (x) =

( (^) ∂f (x) ∂x 1

∂f (x) ∂xn

y tambi´en se denomina gradiente de f en x. El gradiente suele designarse por los s´ımbolos grad f ´o ∇f.

Teorema 1. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, x 0 ∈ U y f : U −→ Rm. Si f es diferenciable en x 0 , entonces f es continua en x 0.

Observaci´on. Puede ocurrir que existan las derivadas parciales de una funci´on en x 0 , y que la funci´on no sea continua en x 0. Esto demuestra que la definici´on que hemos dado de funci´on diferenciable es la “correcta”.

Teorema 2. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, x 0 ∈ U y f : U −→ Rm. Si existen todas las derivadas parciales ∂fi/∂xj de f y son continuas en un entorno de x 0 , entonces f es diferenciable en x 0.

Teorema 3. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, x 0 ∈ U , c ∈ R y f, g : U −→ Rm. Si f y g son diferenciables en x 0 , entonces: (1) cf (x) es diferenciable en x 0 , y D(cf )(x 0 ) = cDf (x 0 ). (2) f (x) + g(x) es diferenciable en x 0 , y D(f + g)(x 0 ) = Df (x 0 ) + Dg(x 0 ). (3) f (x)g(x) es diferenciable en x 0 si m = 1, y D(f g)(x 0 ) = g(x 0 )Df (x 0 ) + f (x 0 )Dg(x 0 ). (4) f (x)/g(x) es diferenciable en x 0 si m = 1 y g(x 0 ) 6 = 0, y

D

( (^) f g

(x 0 ) = g(x 0 )Df (x 0 ) − f (x 0 )Dg(x 0 ) g(x 0 )^2

Teorema 4. (Regla de la cadena.) Sean U ⊆ Rn^ y V ⊆ Rm^ conjuntos abiertos con x 0 ∈ U y f (x 0 ) ∈ V , f : U −→ Rm^ y g : V −→ Rk. Si f (x) es diferenciable en x 0 y g(x) es diferenciable en f (x 0 ), entonces la composici´on (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es diferenciable en x 0 , y

D

g ◦ f

(x 0 ) = (Dg)(f (x 0 ))Df (x 0 ).

Por ejemplo, si g : R −→ R^3 , f : R^3 −→ R, podemos escribir g(t) = (x(t), y(t), z(t)). Si definimos h : R −→ R por h(t) = f (g(t)), entonces

dh dt

∂f ∂x

dx dt

∂f ∂y

dy dt

∂f ∂z

dz dt

Como un segundo ejemplo, si g : R^3 −→ R^3 , f : R^3 −→ R, podemos escribir g(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)). Si definimos h : R^3 −→ R por h(x, y, z) = f (g(x, y, z)) = f (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)), entonces

∂h ∂x

∂f ∂u

∂u ∂x

∂f ∂v

∂v ∂x

∂f ∂w

∂w ∂x

∂h ∂y

∂f ∂u

∂u ∂y

∂f ∂v

∂v ∂y

∂f ∂w

∂w ∂y

∂h ∂z

∂f ∂u

∂u ∂z

∂f ∂v

∂v ∂z

∂f ∂w

∂w ∂z

Definici´on. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, x 0 ∈ U , v ∈ Rn^ y f : U −→ Rm. La derivada direccional de f en x 0 a lo largo del vector v se define como

d dt

f (x 0 + tv)

t=

= lim t→ 0

f (x 0 + tv) − f (x 0 ) t

Habitualmente se elige el vector v unitario (con norma 1). En este caso se habla de la derivada direccional de f en x 0 en la direcci´on v.

Teorema 5. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, x 0 ∈ U y f : U −→ Rm. Si f es diferenciable en x 0 entonces existen todas las derivadas direccionales de f en x 0. Adem´as, la derivada direccional de f en x 0 en la direcci´on v es igual a Df (x 0 )v.

En ´este ´ultimo producto Df (x 0 )v, el vector v debe escribirse como vector columna para que pueda realizarse el producto de matrices.

Teorema 6. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, x 0 ∈ U y f : U −→ R. Si f es diferenciable en x 0 y ∇f (x 0 ) 6 = 0, entonces ∇f (x 0 ) es perpendicular al conjunto de nivel de f de valor f (x 0 ).

Teorema 7. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, x 0 ∈ U y f : U −→ R. Si f es diferenciable en x 0 y ∇f (x 0 ) 6 = 0, entonces ∇f (x 0 ) es la direcci´on en la que la derivada direccional en x 0 de f es m´axima y −∇f (x 0 ) es la direcci´on en la que la derivada direccional en x 0 de f es m´ınima (f crece m´as r´apidamente desde x 0 en la direcci´on ∇f (x 0 ), y decrece m´as r´apidamente en la direcci´on −∇f (x 0 )).

Definici´on. Se define la matriz Hessiana de f : U ⊆ Rn^ −→ R como

Hf =

∂^2 f ∂x^21

∂^2 f ∂x 2 ∂x 1

∂^2 f ∂xn∂x 1 ∂^2 f ∂x 1 ∂x 2

∂^2 f ∂x^22

∂^2 f ∂xn∂x 2 · · · · · · · · · · · · ∂^2 f ∂x 1 ∂xn

∂^2 f ∂x 2 ∂xn

∂^2 f ∂x^2 n

Teorema 10. Sean U ⊆ R^2 un conjunto abierto y f : U −→ R una funci´on de clase C^2 en U. Un punto (x 0 , y 0 ) ∈ U es un m´ınimo local estricto de f si se cumplen las tres condiciones siguientes:

(1) (x 0 , y 0 ) es un punto cr´ıtico de f ,

(2) ∂^2 f ∂x^2

(x 0 , y 0 ) > 0 ,

(3) D = det Hf =

∂^2 f ∂x^2

∂^2 f ∂y^2

( (^) ∂ (^2) f ∂x∂y

0 , en (x 0 , y 0 ).

D se llama discriminante. Si en (2) ponemos < 0 en lugar de > 0, sin cambiar las condiciones (1) y (3), entonces tenemos un m´aximo local estricto.

Teorema 11. Sean U ⊆ R^2 un conjunto abierto, (x 0 , y 0 ) ∈ U y f : U −→ R una funci´on de clase C^2 en U. Si (x 0 , y 0 ) es un punto cr´ıtico de f y el discriminante D de f en (x 0 , y 0 ) verifica D < 0, entonces (x 0 , y 0 ) es un punto de silla de f.

Si el discriminante D de f en (x 0 , y 0 ) verifica D = 0, no podemos deducir que (x 0 , y 0 ) sea m´aximo local, m´ınimo local o punto de silla de f.

Teorema 12. Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto, f : U −→ R una funci´on de clase C^2 en U , y x 0 ∈ U un punto cr´ıtico de f. (1) Si todos los autovalores de la matriz Hf (x 0 ) son estrictamente positivos, entonces x 0 es un punto m´ınimo local estricto de f. (2) Si todos los autovalores de la matriz Hf (x 0 ) son estrictamente negativos, entonces x 0 es un punto m´aximo local estricto de f. (3) Si dos autovalores de la matriz Hf (x 0 ) tienen distinto signo, entonces x 0 es un punto de silla de f.

Teorema 13. (Multiplicadores de Lagrange.) Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto y f, g : U −→ R funciones de clase C^1 en U. Sean x 0 ∈ U , c = g(x 0 ) y S el conjunto de nivel de g de valor c (es decir, el conjunto de puntos x ∈ U tales que g(x) = c). Supongamos que ∇g(x 0 ) 6 = 0. Si la restricci´on de f a S (denotada por f |S ) tiene un m´aximo o un m´ınimo local en x 0 , entonces existe un n´umero real λ tal que

∇f (x 0 ) = λ∇g(x 0 ).

Los puntos x 0 que verifican ∇f (x 0 ) = λ∇g(x 0 ) se denominan puntos cr´ıticos de f |S.

Teorema 14. (Localizaci´on de m´aximos y m´ınimos absolutos.) Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto y acotado, y f : U −→ R una funci´on continua en U. Entonces los valores m´aximo y m´ınimo de f en U se alcanzan en puntos pertenecientes a alguno de los siguientes conjuntos: (1) los puntos de U en los que f no es diferenciable, (2) los puntos cr´ıticos de f en U , (3) los puntos m´aximo y m´ınimo de f |∂U.

Teorema 14’. (Localizaci´on de m´aximos y m´ınimos absolutos.) Sean U ⊆ Rn^ un conjunto abierto y acotado, A un conjunto abierto que contiene a U y f : A −→ R una funci´on diferenciable en A. Supongamos que existen c ∈ R y una funci´on g tales que ∂U = {x ∈ Rn^ : g(x) = c}, g es diferenciable en ∂U y ∇g(x) 6 = 0 para todo x ∈ ∂U. Entonces los valores m´aximo y m´ınimo de f en U se alcanzan en los puntos cr´ıticos de f en U o en los puntos cr´ıticos de f |∂U.

4. INTEGRAL DE RIEMANN EN DIMENSION n

Definici´on. Sea R un rect´angulo n-dimensional R = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn], con ai < bi, para i = 1,... , n. Se define la medida (n-dimensional) de R como |R| = (b 1 − a 1 )(b 2 − a 2 ) · · · (bn − an).

Observaci´on. Habitualmente la dimensi´on n ser´a dos o tres, por lo que estaremos trabajando con subcon- juntos del plano o del espacio. Si n = 2, la medida de R es el ´area de R. Si n = 3, la medida de R es el volumen de R.

Definici´on. Una partici´on P del rect´angulo n-dimensional R es una partici´on de cada uno de los intervalos coordenados [ai, bi], de modo que expresamos R como uni´on de subrect´angulos R = ∪Ni=1Ri.

Definici´on. Sea f una funci´on acotada en un rect´angulo n-dimensional R y P una partici´on de R tal que R = ∪Ni=1Ri. Definimos las siguientes cantidades para i = 1,... , N ,

Mi = sup{f (x) : x ∈ Ri} , mi = inf{f (x) : x ∈ Ri}.

La suma superior asociada a P de f y la suma inferior asociada a P de f son respectivamente

Uf (P ) =

∑^ N

i=

Mi|Ri| , Lf (P ) =

∑^ N

i=

mi|Ri|.

Teorema 1. Sea f una funci´on acotada en R. Entonces

sup P

Lf (P ) ≤ inf P Uf (P ).

Definici´on. Si f es una funci´on acotada en R tal que existe un n´umero real I verificando

sup P

Lf (P ) = inf P

Uf (P ) = I

diremos que f es integrable en R. Al n´umero I lo llamaremos la integral (definida) de f en R, y lo escribiremos

I =

R

f =

R

f (x 1 ,... , xn) dx 1 · · · dxn =

∫ (^) bn

an

∫ (^) b 1

a 1

f (x 1 ,... , xn) dx 1 · · · dxn.

Observaci´on. Si f es integrable en R, el n´umero I es el ´unico que verifica

Lf (P ) ≤ I ≤ Uf (P ) para toda partici´on P de R.

Teorema 2. Si f es una funci´on acotada en R y existe una sucesi´on de partici´ones {Pn} de R tales que

lim n→∞ Uf (Pn) = lim n→∞ Lf (Pn) ,

entonces f es integrable en R y adem´as

lim n→∞ Uf (Pn) = lim n→∞ Lf (Pn) =

R

f.

Teorema 3. Si f es una funci´on continua en R entonces f es integrable en R.

Definici´on. Si la regi´on acotada D verifica |∂D| = 0, se define la medida de D como |D| =

D 1. Por tanto, si D ⊂ R^2 ,

D 1 es el ´area de^ D^ y, si^ D^ ⊂^ R

D 1 es el volumen de^ D. Teorema 7. Sea D una regi´on acotada. Si las funciones f y g son integrables en D y son iguales en casi todo punto de D, es decir, el conjunto {x ∈ D : f (x) 6 = g(x)} tiene medida cero, entonces ∫

D

f =

D

g.

Teorema 8. Si f es integrable en la regi´on acotada D y m ≤ f (x) ≤ M para casi todo x ∈ D entonces

m |D| ≤

D

f ≤ M |D|.

Corolario 2. Sean f, g funciones integrables en la regi´on acotada D.

(i) Si f (x) ≥ 0 para casi todo x ∈ D, entonces

D

f ≥ 0.

(ii) Si f (x) ≥ g(x) para casi todo x ∈ D, entonces

D

f ≥

D

g.

Teorema 9. Sea f una funci´on integrable en la regi´on acotada D. Si f (x) ≥ 0 para casi todo x ∈ D y existe un punto x 0 ∈ D con f continua en x 0 y f (x 0 ) > 0, entonces ∫

D

f > 0.

Teorema 10. (Teorema del valor medio de la integral). Sean f continua en la regi´on acotada D y g(x) ≥ 0 para casi todo x ∈ D. Si f y g son integrables en D, entonces:

(i) Existe c 1 ∈ D tal que

D

f = f (c 1 ) |D|.

(ii) Existe c 2 ∈ D tal que

D

f g = f (c 2 )

D

g.

Teorema 11. Sean D una regi´on acotada y f una funci´on definida en D. Si D es la uni´on de las regiones de interiores disjuntos D = D 1 ∪ · · · ∪ Dk, con |∂Di| = 0 para i = 1,... , k, entonces f es integrable en D si y s´olo si es integrable en Di para i = 1,... , k. Adem´as se tiene que

∫

D

f =

∑^ k

i=

Di

f.

Definici´on. Una regi´on D ⊂ Rn^ se dice sim´etrica con respecto a la variable xj (1 ≤ j ≤ n) si verifica la siguiente propiedad: (x 1 ,... , xj− 1 , xj , xj+1,... , xn) ∈ D si y s´olo si (x 1 ,... , xj− 1 , −xj , xj+1,... , xn) ∈ D. Una funci´on f definida en D se dice impar en xj si f (x 1 ,... , xj− 1 , −xj , xj+1,... , xn) = −f (x 1 ,... , xj− 1 , xj , xj+1,... , xn) ;

f se dice par en xj si

f (x 1 ,... , xj− 1 , −xj , xj+1,... , xn) = f (x 1 ,... , xj− 1 , xj , xj+1,... , xn).

Teorema 12. Sean D ⊂ Rn^ una regi´on sim´etrica con respecto a la variable xj (para alg´un 1 ≤ j ≤ n) y f una funci´on integrable en D. (1) Si f es impar en la variable xj , entonces

D f^ = 0. (2) Si f es par en la variable xj y se define Dj = {x ∈ D : xj ≥ 0 }, entonces

D f^ = 2^

Dj f^. Definici´on. Sean D∗^ un subconjunto de Rn^ y T : D∗^ −→ Rn^ una transformaci´on diferenciable. El jacobiano de T es el determinante de la matriz derivada de T , es decir,

JT = det(DT ).

Observaci´on. Tanto DT como JT son funciones del punto x ∈ D∗.

Teorema 13. (Teorema de cambio de variable). Sean D∗^ y D regiones de Rn^ y T : D∗^ −→ D una transformaci´on biyectiva de clase C^1. Entonces para toda f integrable en D se tiene

∫

D

f (x) dx =

D∗

f (T (u)) |JT (u)| du ,

donde x = (x 1 ,... , xn) y u = (u 1 ,... , un).

Observaci´on 1. El Teorema de cambio de variable sigue siendo cierto si las hip´otesis de biyectividad y diferenciabilidad dejan de cumplirse en un conjunto de medida cero.

Observaci´on 2. Si T −^1 denota la inversa de la aplicaci´on diferenciable T , del teorema de la funci´on inversa se deduce (JT )(JT −^1 ) = 1.

Cambio a coordenadas polares. Este cambio viene dado al pasar de las coordenadas cartesianas (x, y) ∈ R^2 a (r, θ), con r ≥ 0 y 0 ≤ θ ≤ 2 π, mediante las f´ormulas:

x = r cos θ , y = r sen θ.

Observemos que r =

x^2 + y^2 , θ = arctan(y/x). El determinante jacobiano del cambio es r.

Cambio a coordenadas cil´ındricas. Este cambio viene dado al pasar de las coordenadas cartesianas (x, y, z) ∈ R^3 a (r, θ, z), con r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π y z ∈ R, mediante las f´ormulas:

x = r cos θ , y = r sen θ , z = z.

El determinante jacobiano del cambio es r.

Cambio a coordenadas esf´ericas. Este cambio viene dado al pasar de las coordenadas cartesianas (x, y, z) ∈ R^3 a (ρ, θ, φ), con ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π y 0 ≤ φ ≤ π, mediante las f´ormulas:

x = ρ cos θ sen φ , y = ρ sen θ sen φ , z = ρ cos φ.

El valor absoluto del determinante jacobiano del cambio es ρ^2 sen φ.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN DIMENSION n.

Valor medio. Si D es una regi´on acotada en Rn^ y f es una funci´on integrable en D se define el promedio o valor medio de f en D como 1 |D|

D

f =

∫^ D^ f D 1

Centro de gravedad. Si un cuerpo ocupa una regi´on del espacio D y en cada punto (x, y, z) ∈ D su densidad es ρ(x, y, z), se define su centro de gravedad o centro de masa (y lo denotaremos por (x, y, z)), como

x =

M

D

xρ(x, y, z) dxdydz , y =

M

D

yρ(x, y, z) dxdydz , z =

M

D

zρ(x, y, z) dxdydz ,

donde M es la masa del cuerpo, que puede calcularse como M =

D ρ(x, y, z)^ dxdydz.

Momento de inercia. Si un cuerpo ocupa una regi´on del espacio D y en cada punto (x, y, z) ∈ D su densidad es ρ(x, y, z), se define su momento de inercia respecto del eje E (y lo denotaremos por IE ) como

IE =

D

dist ((x, y, z), E)^2 ρ(x, y, z) dxdydz ,

donde dist ((x, y, z), E) es la distancia del punto (x, y, z) al eje E. Recordemos que dist ((x, y, z), X)^2 = y^2 + z^2 , dist ((x, y, z), Y )^2 = x^2 + z^2 y dist ((x, y, z), Z)^2 = x^2 + y^2.

Definici´on. Sea σ : [a, b] −→ Rn^ una curva simple. Decimos que ρ : [α, β] −→ Rn^ es una reparametriza- ci´on de σ (o que σ y ρ son parametrizaciones de la misma curva) si existe una funci´on continua e inyectiva h : [α, β] −→ [a, b] tal que ρ = σ ◦ h. Decimos tambi´en que σ y ρ tienen la misma orientaci´on si h es creciente y tienen distinta orientaci´on si h es decreciente. Si σ y ρ son parametrizaciones de la misma curva simple y no cerrada, σ y ρ tienen la misma orientaci´on si y s´olo si comienzan en el mismo punto, es decir, si σ(a) = ρ(α) (y por tanto, σ(b) = ρ(β)).

Teorema 1. La integral de un campo escalar a lo largo de una curva simple es independiente de la parametrizaci´on, es decir, si σ, ρ son parametrizaciones C^1 a trozos de la misma curva simple en Rn^ y f : Rn^ −→ R es continua, entonces (^) ∫

σ

f =

ρ

f.

Teorema 2. Sean σ, ρ parametrizaciones C^1 a trozos de la misma curva simple en Rn^ y F : Rn^ −→ Rn continua. Entonces: (1) Si σ y ρ tienen la misma orientaci´on

∫

σ

F · ds =

ρ

F · ds.

(2) Si σ y ρ tienen distinta orientaci´on

∫

σ

F · ds = −

ρ

F · ds.

Teorema 3. Sean σ : [a, b] −→ Rn^ una curva C^1 a trozos y f : Rn^ −→ R una funci´on de clase C^1 en un entorno de σ([a, b]). Entonces (^) ∫

σ

∇f · ds = f (σ(b)) − f (σ(a)).

Corolario 1. Sean σ : [a, b] −→ Rn^ una curva cerrada C^1 a trozos y f : Rn^ −→ R una funci´on de clase C^1 en un entorno de σ([a, b]). Entonces (^) ∫

σ

∇f = 0.

Definici´on. Sea Ω un abierto de Rn. Se dice que el campo vectorial F : Ω −→ Rn^ es una forma diferencial exacta (o un campo conservativo) en Ω si existe un campo escalar f : Ω −→ Rn^ que verifica ∇f = F en Ω. El campo f se denomina potencial de F.

Definici´on. Sea Ω un abierto conexo de Rn. Decimos que Ω es simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en Ω puede deformarse continuamente dentro de Ω en un punto. Si Ω es convexo, entonces es simplemente conexo. Si n = 2, Ω es simplemente conexo si y s´olo si no tiene “agujeros”. Si n = 3, una bola a la que quitamos un n´umero finito de puntos es un conjunto simplemente conexo.

Teorema 4. Sean D un abierto simplemente conexo de Rn^ y F un campo vectorial de clase C^1 (D). Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) F es un campo conservativo en D, es decir, existe f de clase C^2 (D) tal que ∇f = F. (2) Para toda curva cerrada σ contenida en D se tiene

σ F^ ·^ ds^ = 0. (3) Para toda par de curvas σ 1 , σ 2 contenidas en D y con los mismos extremos se tiene

∫

σ 1

F · ds =

σ 2

F · ds.

(4) ∂Q/∂x = ∂P/∂y en D, si n = 2 y F = (P, Q). (4′) ∇ × F = 0 en D, si n = 3.

5.2. Integrales de superficie.

Definici´on. Una superficie parametrizada o simplemente superficie es una aplicaci´on continua Φ : D −→ R^3 , donde D es un abierto de R^2. Esta aplicaci´on puede escribirse como

Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Habitualmente suele identificarse una superficie Φ con su imagen S = Φ(D) ⊂ R^3 , que es la idea “intuitiva” que se tiene de una “superficie”.

Definici´on. Dada una superficie Φ, se definen los vectores tangentes coordenados como

Tu =

( (^) ∂x ∂u

∂y ∂u

∂z ∂u

, Tv =

( (^) ∂x ∂v

∂y ∂v

∂z ∂v

Como estos vectores son tangentes a las im´agenes mediante Φ de las curvas v = cte. y u = cte. respectiva- mente, y estas im´agenes son curvas contenidas en la superficie, se tiene que Tu y Tv son vectores tangentes a la superficie, y por tanto, Tu × Tv es un vector perpendicular a la superficie.

Definici´on. Se dice que una supericie Φ : D −→ R^3 es regular si es diferenciable y Tu × Tv 6 = 0 en todo punto de D. En este caso se define el plano tangente a Φ en el punto Φ(u 0 , v 0 ) = (x 0 , y 0 , z 0 ), con (u 0 , v 0 ) ∈ D, como (Tu × Tv )(u 0 , v 0 ) · (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) = 0. Tambi´en se define el vector normal unitario a Φ como

n = Tu × Tv ‖Tu × Tv ‖

Definici´on. Se dice que una superficie es orientable si “tiene dos caras”, es decir, si existe una determi- naci´on de vector normal unitario que sea continua en toda la superficie. Si Φ 1 y Φ 2 son dos parametrizaciones de la superficie orientable S, decimos que tienen la misma orientaci´on si sus vectores normales unitarios co- inciden, y que tienen distinta orientaci´on si el vector normal unitario a Φ 2 es igual al vector normal unitario a Φ 1 multiplicado por −1.

Definici´on. (Integral de un campo escalar en una superficie). Si Φ : D −→ R^3 es una superficie diferenciable y f : Φ(D) −→ R es continua, se define la integral de f en Φ como

∫

Φ

f =

Φ

f dS =

D

f

Φ(u, v)

∥(Tu × Tv )(u, v)

∥ (^) du dv.

En particular, se define el ´area de Φ como la integral de la funci´on 1 en Φ, es decir,

A(Φ) =

Φ

D

‖Tu × Tv ‖.

y el valor promedio de f en Φ como 1 A(Φ)

Φ

f.

Definici´on. (Integral de un campo vectorial en una superficie). Si Φ : D −→ R^3 es una superficie diferenciable y F : Φ(D) −→ R^3 es continua, se define la integral de F en Φ como

∫

Φ

F =

Φ

F · dS =

D

F

Φ(u, v)

Tu × Tv

(u, v) du dv.

Conviene destacar que la integral del campo vectorial F en Φ es igual a la integral en Φ de la componente normal a Φ de F , es decir, Fn = F · n, donde n es el vector normal unitario a Φ. Por tanto,

∫

Φ

F · dS =

Φ

Fn =

Φ

F · n dS.

6. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definici´on. Para todo x > 0, se define la funci´on gamma como

Γ(x) =

0

tx−^1 e−tdt.

La funci´on gamma tiene las siguientes propiedades: (1) Γ es continua y derivable. (2) Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(1/2) =

π. (3) Γ(x + 1) = xΓ(x). (4) De lo anterior se deduce que lim x→ 0 +^

Γ(x) = +∞. (5) Si n ∈ N, Γ(n + 1) = n!. (6) Si n ∈ N, Γ

n +

(2n)! 22 nn!

π.

Definici´on. Para todo p, q > 0, se define la funci´on beta como

β(p, q) =

0

xp−^1 (1 − x)q−^1 dx, p, q > 0.

La funci´on beta tiene las siguientes propiedades: (1) β es continua y derivable. (2) β(p, q) = β(q, p). (3) β(p, q) =

Γ(p)Γ(q) Γ(p + q)

(4) Si q > 1, entonces β(p, q) =

q − 1 p + q − 1

β(p, q − 1). (5) Si m, n ∈ N,

(m + n + 1) β(m + 1, n + 1) =

m + n n

(6) β(p, q) =

0

tp−^1 (1+t)p+q^ dt. (7) β(p, q) = 2

∫ (^) π/ 2 0 cos

2 p− (^1) t sen 2 q− (^1) t dt. (8) β(1/ 2 , 1 /2) = π; y como consecuencia, Γ(1/2) =

π.

Definici´on. Dada f : (0, ∞) −→ R, se dice que f tiene crecimiento a lo sumo exponencial si para alg´un α ∈ R se verifica limt→∞ f (t) e−αt^ = 0. En ese caso podemos definir la transformada de Laplace de f para s > α, como la integral

L(f )(s) =

0

e−stf (t) dt.

La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades: L(αf + βg) = α L(f ) + β L(g) α, β ∈ R. L(e−atf (t))(s) = L(f )(s + a) a ∈ R. L(f (at))(s) =

a

L(f (t))

( (^) s a

a > 0.

Teorema 7. Sea f una funci´on continua en [0, ∞) con crecimiento a lo sumo exponencial. (1) Si f es derivable en (0, ∞) y f ′^ es continua, entonces

L(f ′)(s) = s L(f )(s) − f (0).

(2) L(f ) es derivable y d ds

[L(f )(s)] = −L(t f (t))(s).

(3) L(f ) tiene derivadas de todos los ´ordenes y

dn dsn^

[L(f )(s)] = (−1)nL(tnf (t))(s).

Teorema 8. Si f es continua en [0, ∞) y tiene crecimiento a lo sumo exponencial, entonces lo mismo es v´alido para la funci´on

g(x) =

∫ (^) x

0

f (t) dt ,

y adem´as

L(g)(s) =

s L(f )(s).

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

f (t) = 1 , L(f )(s) =

s

f (t) = tn^ , L(f )(s) =

n! sn+^

f (t) = ta^ , L(f )(s) =

Γ(a + 1) sa+^

f (t) = sen(at) , L(f )(s) =

a s^2 + a^2

f (t) = cos(at) , L(f )(s) = s s^2 + a^2

f (t) =

sen(at) t

, L(f )(s) = arctan

a s

f (t) = eat^ , L(f )(s) =

s − a

f (t) = eattb^ , L(f )(s) =

Γ(b + 1) (s − a)b+^

f (t) = eatsen(bt) , L(f )(s) =

b (s − a)^2 + b^2

f (t) = eat^ cos(bt) , L(f )(s) =

s − a (s − a)^2 + b^2

f (t) = senh(at) =

eat^ − e−at 2

, L(f )(s) =

a s^2 − a^2

f (t) = cosh(at) =

eat^ + e−at 2

, L(f )(s) =

s s^2 − a^2