¡Descarga Eficiencia al desplazamiento de petróleo: Equación de Buckley-Leverett y más Resúmenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
ECUACIÓN DE BUCKLEY-LEVERETT
EFICIENCIA AL DESPLAZAMIENTO
DEFINICIÓN
Se define la eficiencia al desplazamiento de petróleo por un agente desplazante, agua o gas, por
E
volumen de petroleo desplazado D (^) volumen de petroleo contactado por agua o gas
E
S
S
S S
D S
o
m
o IN
wc o
m
wc
,^1
donde, Som^ = saturación de petróleo promedio en el medio poroso, variable en el tiempo So,IN = saturación de petróleo promedio inicial = 1 −S (^) wc
La eficiencia al desplazamiento teórica variaría entre 0 y 1. El valor 1 correspondería a la saturación nula de petróleo en el medio poroso. En la práctica, aún barriendo el reservorio por largo tiempo, queda una saturación de petróleo entrampada. Por eso, la eficiencia está limitada por la saturación residual de petróleo, Som=Sor, para E (^) D máximo.
La eficiencia al desplazamiento está influenciada por las condiciones iniciales, el agente desplazante, el volumen de agente inyectado; y las propiedades de la roca, de los fluidos y de la interacción roca-fluido. Durante el barrido de un reservorio, la eficiencia al desplazamiento coincidiría con la eficiencia en la recuperación, ER , si hipotéticamente el fluido inyectado contactara todo el petróleo del reservorio.
E E
N
D R N
p = = (2)
La eficiencia al desplazamiento se mide con un ensayo de flujo en un testigo de roca en el laboratorio. También se puede estimar con la teoría que se describe a continuación.
DESPLAZAMIENTO INMISCIBLE. HIPÓTESIS FÍSICAS
Se presentará un modelo matemático para estimar la eficiencia al desplazamiento de acuerdo a la teoría de Buckley-Leverett y de Welge. Las hipótesis de dicha teoría son:
- Flujo bifásico: se inyecta agua en el borde de entrada y se extraen agua y petróleo en el borde de salida. La roca-reservorio es mojable al agua, entonces el proceso es una imbibición.
- No hay fuentes ni sumideros en el medio poroso.
- Flujo incompresible: el caudal total, igual a la suma del caudal de agua y del caudal de petróleo, es igual al caudal de agua inyectada.
- Flujo lineal y unidimensional.
- Medio poroso homogéneo: porosidad y la permeabilidad constantes. En la práctica todas las rocas son heterogéneas. Entonces, se estima un valor promedio de las porosidades y de las permeabilidades medidas: usualmente la media aritmética para las porosidades y la
media geométrica para las permeabilidades. Para un sistema heterogéneo se considera la media geométrica de las permeabilidades como el valor más probable. Estos valores promedio se utilizan en la modelización.
- Se desprecia el gradiente de la presión capilar en la dirección del flujo.
Antes de describir la teoría de Buckey-Leverett, se definirá el concepto de flujo fraccional.
LA EC. DEL FLUJO FRACCIONAL
Se define el flujo fraccional de agua como,
f
q w q q
w o w
Como los fluidos se consideran incompresibles, el caudal total es igual a la suma de los caudales de agua y de petróleo, a su vez igual al caudal inyectado.
q (^) t = q (^) o + q (^) w = qIN (4)
ECUACION DE BUCKLEY – LEVERETT
Se realiza un balance de masa de agua en un elemento de volumen del reservorio lineal, como el de la Fig. 8,
dx
q w ρw x q w ρ w x +dx
Fig. 8- Flujo másico de agua a través de un elemento de volumen en un medio poroso lineal y unidimensional
masa tiempo
masa tiempo
masa acumulada
entrada salida tiempo elementodevolumen
−^
=^
q q A dx
S
w w x w w x dx t
w w
Aplicando la definición de derivada y eliminando la densidad del agua por ser el flujo incompresible,
q
x
A
S
t
w w
Se busca despejar de la Ec. 18 la velocidad de un frente de saturación de agua constante:
[ dx dt^ ]Sw. Nótese que la Ec. 18 contiene derivadas parciales pues^ S^ w ( x t,^ )y^ q^ w ( x t,^ ).
Para un frente de saturación de agua constante, d S (^) w = 0.
Esta ecuación permite encontrar x D ( Sw)o recíprocamente la distribución de la saturación
de agua S w D( )x. Para ello, hay que calcular la derivada del flujo fraccional con respecto a
la saturación de agua. En la Fig. 9 se muestra la derivada que corresponde a la curva de flujo fraccional de la Fig. 4, con μw μo= 0. 1. La Fig. 4 muestra que la curva de flujo fraccional
tiene generalmente un punto de inflexión. Por lo tanto, su derivada presenta un máximo (Fig. 9).
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,
0,
0,
1,
1,
2,
2,
3,
3,
4,
4,
Swc 1-Sor
df
w
/dS
w
Sw
Fig. 9- Derivada del flujo fraccional respecto de la saturación de agua, típica de una muestra de roca mojable al agua (Datos de la Fig. 4 con μw μo= 0. 1 )
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,0 4,
Swc
1-Sor
x
Sw
Fig. 10a- Representación gráfica de la Ec. 29. Distribución de la saturación de agua en función de la distancia adimensional para tD =0.22 y los mismos datos de la Fig. 9.
0 0.2 0.4 xD 0.6 0.8 1
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,0 4,
Swc
1-Sor
x
Sw
Fig. 10b- Compensación de áreas para hallar el frente de choque.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,0 4,
Swc
1-Sor
x
Sw
Fig. 10c- Distribución de la saturación de agua de la Fig. 10a mostrando el frente de choque.
Distribución de la saturación de agua en el medio poroso. Formación de un frente discontinuo.
Para encontrar x D ( Sw) o Sw (xD) con la Ec. 25, hay que fijar un valor al tiempo
adimensional. En la Fig. 10a se representa la distribución de la saturación de agua en el medio porosos para t (^) D = 0.22 , es decir, cuando se inyectó un volumen de agua igual al 22%
Swf = 0.
xD = 0. | | | | | | | | |
0 0.2 0.4 xD 0.6 0.8 1
Swf = 0.
0 0.2 0.4 xD 0.6 0.8 1
0
1
0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 x (^) D
S (^) w
t (^) D = 0.
x 0. 28 D (^) Swf =
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
tD=0.
Sw x (^) D (^) Swf = 0. 56
xD
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x (^) D
Sw
tD =0.
x (^) D (^) Swf = 1. 12
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x (^) D
Sw
tD=0.
x (^) D (^) Swf = 2. 24
Fig. 11. Avance del frente de agua para tD = 0.1, 0.2, 0.4 y 0..
Un método alternativo de estimar la saturación de agua en el frente discontinuo.
La Fig. 12 muestra la distribución de saturaciones a un tiempo fijo, antes que el agua
irrumpa en el pozo productor (tiempo de breakthrough). El frente alcanzó una posición x 2 y
el agua total que ingresó es Wi.
0,00x^1 x^2
S (^) wf
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1,
S (^) wc
S (^) wm
1-S (^) or
Fig.12 - Distribución de saturación de agua antes del “breakthrough”
Haciendo un balance de agua,
W (^) i = x 2 ⋅A⋅φ⋅(Swm−Swc ) (30)
y usando la Ec. (25) ,
w S wf
w
i wc
m w
dS
x A df
W
S S
⋅ ⋅φ
2
wc
m w S w
w dS S S
df
wf −
Analicemos el significado geométrico de la Ec. 32, en la Fig. 13. La Ec. 32 indica que la
tangente a la curva de flujo fraccional trazada desde el punto (Swc , fw=0) toca a la curva en
(Swf , fw (S wf )). La extrapolación de esa tangente intercepta a la recta horizontal de fw=1, en
el punto (Swm, fw=1). De esta manera se encuentran la saturación de agua en el frente de
choque y la saturación promedio de agua por detrás de dicho frente.
Recuérdese que el desarrollo de este método se basó en despreciar el gradiente de la presión capilar con respecto a la dirección de flujo. Pero esta hipótesis es aceptable para saturaciones de agua intermedias o altas. Justamente entonces, se la aplica para saturaciones de agua
iguales o mayores que la saturación en el frente discontinuo, Swf. La parte de la curva con
saturaciones de agua menores que Swf no es utilizada en la práctica. Este criterio equivale a
la compensación de áreas realizada en la Fig. 10b.
ECUACION DE WELGE
El método de Welge (1952) permite obtener la saturación promedio de agua, detrás del
frente de choque, S wm. Con ese fin, se integra la distribución de la saturación de agua en la
distancia, S w (x).
La saturación de agua promedio, se puede obtener integrando a lo largo del reservorio la distribución de las saturaciones de agua entre dos puntos (Fig. 12),
2 1
2
1 x x
S dx
S
x
x
w m w (^) −
En realidad, x 1 =0, entrada al medio poroso. Reemplazando la distancia x por su valor de la
Ec. 25,
w Swf
w
x
x w
w w m w
dS
df
dS
df S d
S
2
(^1) (34)
Resolviendo la integral del numerador usando integración por partes:
∫^ u dv^ =^ uv^ −^ ∫v du
S d [ ]
df dS
S
df dS w w f S w
S w w w (^) S
S w (^) S
S
or
wf
or
wf or
wf
=^
− −
1 1
donde [ ] 1 − = 0
w w Sor
df dS (Fig. 9), y [ ] 1 − = 1
w Sor f
Sustituyendo la Ec. 35 en la Ec. 34 y cancelando términos, se obtiene,
S
S
df dS
f
df dS
w
m
wf w w (^) Swf
w (^) S
w w (^) Swf
wf
+^ −
Finalmente despejando
df dS
w w (^) S (^) wf
df dS
f S S
w w (^) Swf
w (^) S w
m wf
wf
Esta es la ecuación de Welge. La Ec. 37 es complementaria de la Ec. 32. Su significado geométrico se muestra en la Fig. 14. Se la aplica para hallar la saturación de agua a la salida (en el pozo productor), en el breakthrough o luego de éste.
Luego del breakthrough, tanto la saturación de agua como el flujo fraccional aumentan con el tiempo en el pozo productor (ver Fig. 11). Se le adicionará el subíndice e (exit) a la saturación de agua y el flujo fraccional de agua en la salida.
Según la Ec. de Welge 37,
we
m w
we w Swe
w S S
f dS
df −
o sea,
S S
f df dS
w
m we
we w w (^) Swe
En forma gráfica, para cada valor de Sw>S wbt , se traza la tangente a la curva de flujo
fraccional. dicha tangente intercepta a la línea horizontal de fw=1 en el punto buscado Swm
(Fig. 14).
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,
0
1
S wc S w
f (^) w =
1-S (^) or
f w
S (^) wm
1 − f (^) we S (^) wm^ −Swe
S (^) we ,fwe
S (^) wbt ,fwbt
Fig. 14- Aplicación de la Ec. 37 de Welge para encontrar S (^) wm^ después del “breakthrough”
Este procedimiento gráfico tiene una importante aplicación práctica en el cálculo del petróleo recuperable mediante la inyección de agua después del breakthrough. Se describirá en la próxima sección.
CALCULO DEL PETROLEO RECUPERABLE
Antes del “breakthrough”
El desplazamiento es incompresible y todavía no se produce agua. Entonces, el petróleo recuperado es igual al agua inyectada,
Np =Wi = qi t (39)
we we iD
m S (^) w = S +( 1 −f )⋅W (46)
Finalmente restando en ambos miembros Swc:
wc we wc we iD
m N (^) pD = Sw−S =(S −S )+( 1 −f )⋅W (47)
Nótese que como los fluidos se consideran incompresibles, el petróleo recuperado es reemplazado en el medio poroso por el agua inyectada. Por eso, es igual a la saturación de
agua promedio en la formación menos la saturación de agua inicial o connata. Swm. El
petróleo recuperado se puede estimar analítica o gráficamente.
En forma analítica, se aplica la Ec. 47: para cada valor de Swe se estima fwe. También se
determina la derivada a la curva de flujo fraccional en ese punto (df w/dSw )Swe. Su inversa es
Wid (Ec. 45). Para nuestro ejemplo, se pueden ver los cálculos en el Apéndice A.
En forma gráfica, para cada valor de Sw>S wbt , se traza la tangente a la curva de flujo
fraccional. dicha tangente intercepta a la línea horizontal de fw=1 en el punto buscado Swm
(Fig. 14).
El petróleo recuperado se representa en función del agua inyectada en la Fig. 15. Si se conociera el caudal de agua inyectada qi , se podría estimar el petróleo recuperado en función del tiempo. Este tiempo se calcula con la Ec. 44, válida también despues del “breakthrough”.
De esta manera se calcula el petróleo recuperable de un medio poroso lineal y
unidimensional. Con este valor de Np se estima la eficiencia al desplazamiento teórica
aplicando la Ec. 2.
0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.
Fig. 15 Petróleo recuperado en función del agua inyectada, ambos medidos en volúmenes porales.
NpD
(PV)
W iD
(PV)
Apéndice A: Datos y cálculos utilizados para la realización de los gráficos
Datos Roca mojable al agua Roca mojable al petróleo k (^) rw * 0.3^ 0. k (^) ro * 0.9^ 0. n (^) w 2 2 n (^) o 2 2 S (^) wc 0.25^ 0. Sor 0.20^ 0.
n w
wc or
1 S S
S S
k k
n o
wc or
w or ro ro
S S
S S
k k
μw =^ 1 cp μo =^ 10 cp ρw =^ 1g/cm^3 ρo =^ 0.8 g/cm^3 q (^) t A =^ 0.01 B/D ft^ 2
k = 400mD
Cálculos
S (^) w k (^) rw k (^) ro fw (Sw ) dfw /dSw x (^) D(tD =0.22) 0.25 0.000 0.900 0.000 0.0000 0 0.30 0.003 0.744 0.032 1.374 0. 0.35 0.010 0.603 0.141 2.967 0. 0.40 0.022 0.476 0.319 3.984 0. 0.45 0.040 0.365 0.521 3.922 0. 0.50 0.062 0.268 0.698 3.090 0. 0.55 0.090 0.186 0.828 2.093 0. 0.60 0.122 0.119 0.911 1.277 0. 0.65 0.159 0.067 0.960 0.712 0. 0.70 0.201 0.030 0.985 0.352 0. 0.75 0.248 0.007 0.997 0.131 0. 0.80 0.300 0.000 1.000 0.000 0
S (^) w fw (Sw ) dfw /dSw W (^) iD NpD 0.514 0.734 2.811 0.357 0. 0.550 0.828 2.093 0.478 0. 0.600 0.911 1.277 0.783 0. 0.650 0.960 0.712 1.404 0. 0.700 0.985 0.352 2.841 0. 0.750 0.997 0.131 7.634 0. 0.800 1.000 0.000 infinito 0.
