Teoría de física en la universidad ciclo, Diapositivas de Física

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Facultad de Ingeniería Ambiental

Cálculo Multivariable

Semana 4. Funciones reales de variable vectorial

WAYNA PICCHU (Montaña Joven)

Es una montaña ubicada en la provincia del Cusco, conocida principalmente por

ser el telón de fondo de la mayoría de fotografías panorámicas de Macchu Picchu; y

está situada a 2 667 msnm.

1. Función real de n variables

Una función de la forma función real de 1 variable

𝒇: ℝ

𝒏

→ ℝ

𝑥

1

, 𝑥

2

, … , 𝑥

𝑛

↦ 𝑧 = 𝑓 𝑥

1

, 𝑥

2

, … , 𝑥

𝑛

con 𝑛 ≥ 2

En general:

⋮ ⋮ ⋮

𝒇: ℝ → ℝ

𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓 𝑥

se llama

 Una función de la forma. función real de 2 variables

𝒇: ℝ

𝟐

→ ℝ

𝑥, 𝑦 ↦ 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦

se llama

Una función de la forma

función real de 3 variables

𝒇: ℝ

𝟑

→ ℝ

𝑥, 𝑦, 𝑧 ↦ 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧

se llama

es una función real de 𝒏 variables reales

Una función real f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de

números reales ( x , y ) de un subconjunto D ⊂ ℝ

2

un número real único denotado

por z = f ( x , y ).

El conjunto D es el Dominio de f y el conjunto de imágenes es el Rango de f

x: Primera entrada

Función

f

z = f(x,y)

1 salida

PROCESO

Observación:

El dominio de f se denota por Dom( f )

El rango de f se denota por Ran( f )

2. Función real de dos variables

D

( x , y ).

y: Segunda entrada

2. Función real de dos variables

Si 𝒇 y 𝐠 son funciones reales de dos variables, entonces:

FUNCIÓN

Regla de correspondencia DOMINIO

Suma

𝒇 + 𝐠 𝑥, 𝑦 = 𝒇 𝑥, 𝑦 + 𝐠 𝑥, 𝑦 𝐷𝑜𝑚𝒇 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝐠

Diferencia

𝒇 − 𝐠 𝑥, 𝑦 = 𝒇 𝑥, 𝑦 − 𝐠 𝑥, 𝑦 𝐷𝑜𝑚𝒇 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝐠

Producto

𝒇. 𝐠 𝑥, 𝑦 = 𝒇 𝑥, 𝑦. 𝐠 𝑥, 𝑦 𝐷𝑜𝑚𝒇 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝐠

Cociente

𝒇

𝐠

𝑥, 𝑦 =

𝒇 𝑥, 𝑦

𝐠 𝑥, 𝑦

𝐷𝑜𝑚𝒇 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝐠 con g 𝑥, 𝑦 ≠ 0

Si 𝒇 es una función de una variable y 𝐠 una función de dos variables, entonces

puede formarse la función compuesta 𝒇 ∘ 𝐠 como sigue:

𝒇∘𝐠

2

En general , NO se puede formar la composición de dos funciones de varias variables

1. Justificar y colocar en el paréntesis V o F para cada una de las proposiciones:

Justificación

𝐕

a) La gráfica de la función 𝑓: ℝ

3

→ ℝ se encuentra en el espacio ℝ

4

Como 𝑓: ℝ

3

→ ℝ entonces por definición:

b) Si 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 entonces 𝐷

𝑓

3

𝐅

Justificación

Por definición de dominio:

𝑓

3

𝑓

3

𝑓

3

{ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)

/ ℝ

4

}

Ejercicios Resueltos

2. Evalúe cada función en el punto indicado.

 𝑓 𝑥, 𝑦 = en (− 1 , 4 )

𝑦 − ln(𝑥𝑦 + 5 )

Resolución

𝟒 − ln((−𝟏)(𝟒) + 5 )

𝟒 − ln( 1 )

Ejercicios Resueltos

−𝟏

𝟏

2

−𝟏

𝟏

2

2

.

𝑥

𝑦

Resolución

3. En cada función, determine su dominio y luego grafique dicho dominio.

Ejercicios Resueltos

2

2

Resolución

Por la definición de dominio:

Entonces el domino de la función es:

2 2

2

( 2) ( 3)

( ) ( , ) / 1

4 9

x y

Dom f x y

  − −

=  + 

 

 

2

2

4. Después de graficar cada función, indicar su dominio y rango.

Resolución

𝑓

𝑋

𝑌

𝑓

 𝐶𝑜𝑚𝑜.

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎:

. 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 = 3

𝑍

.

2

. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

33

Ejercicios Resueltos

2

Resolución

. 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 = 5 − 𝑥

2

𝑍

𝑋

𝑌

5

 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜.

𝑓

2

 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜.

𝑓

= < −∞, 5 ]

4. Después de graficar cada función, indicar su dominio y rango.

Ejercicios Resueltos

2. Curvas de Nivel y Trazas

Las curvas de nivel se obtienen cortando la gráfica

de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con planos horizontales situados a

distintas alturas, cuyas intersecciones son curvas

que al proyectarlas sobre el plano 𝑋𝑌 tienen por

ecuación 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌 , a estas curvas se le llaman

curvas de nivel de la función 𝒇 en 𝒌 y al conjunto

de curvas de nivel se le llama mapa de contorno.

Definición

Las curvas de nivel de la función z = f (x, y) son las

curvas que tienen por ecuación f ( x; y ) = k donde

k e s una constante que pertenece al rango de f

5. Tome sólo los valores posibles para escribir las curvas de nivel y grafique el mapa de

contorno para las siguientes funciones:

2

2

 𝑃𝑎𝑟𝑎. 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠

2

2

 𝑉𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠. 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒌

→

2

2

→

→

2

2

→

2

2

→

2

2

→

2

2

→

2

2

𝒌 = 𝟎

𝒌 = 1

𝒌 = 2

𝒌 = 3

𝒌 = 4

𝒌 = 5

Ejercicios Resueltos

Traza sobre: En la ecuación (*)

El plano XY ( z = 0) Reemplazar z = 0

El plano XZ ( y = 0) Reemplazar y = 0

El plano YZ ( x = 0) Reemplazar x = 0

Sea la superficie S con ecuación: z = f ( x , y ) o F ( x , y , z ) = 0 ………….(*)

Dada la superficie S de ecuación explícita 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) o de ecuación implícita

F 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , se define las trazas sobre los planos coordenados ( XY , XZ , YZ ) como

las curvas de intersección de la superficie S con cada uno de dichos planos

Es decir:

Entonces:

2. Curvas de Nivel y Trazas

6. Mediante trazas a los planos coordenados, graficar las siguientes funciones y luego

indicar su dominio y rango.

2

2

Resolución

✓ Traza sobre el plano XY

✓ Traza sobre el plano XZ

✓ Traza sobre el plano YZ

2 2

x + y = 0

( ) ( )

x y , = 0, 0

X

Y

2 2

z = x + 0

2

z = x

Reemplazando y= 0

X

Z

2 2

z = 0 + y

2

z = y

Reemplazando x= 0

Y

Z

GRÁFICA:

Y

Z

X

2 2

z = x + y

Reemplazando z= 0

𝑓

2

𝑓

= [ 0 , +∞ >

Ejercicios Resueltos