¡Descarga Teoria de matriu y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
MATRIUS
1. Concepte de matriu. Simbologia i exemples.
1.1 Definició de matriu i trets principals:
Si es designa per K un determinat conjunt de nombres, s’anomena matriu d’ordre m × n
d’elements d’aquest conjunt K a l’estructura algebraica que agrupa una quantitat de m·n
nombres aij d’aquest conjunt perfectament col·locats en m files i n columnes, constituint
una mena de taula rectangular de doble entrada tancada entre parèntesis de la forma:
m m m mn
n
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
K
M M M O M
K
K
K
1 2 3
31 32 33 3
21 22 23 2
11 12 13 1
A
Per una matriu A, es defineix l’element de matriu, designat per aij , com el terme que
es troba a la fila i i la columna j d’aquesta matriu.
Per tant, els subíndexs i , j són els indicadors de la posició que ocupa aquest element
dins la matriu, essent i l’índex que indica el número de la fila ( i = 1, ... , m ) i j el que
dóna el número de la columna ( j = 1, ... , n ), i sempre declarades per aquest ordre.
Es defineix l’ordre o dimensió d’una matriu A com el nombre de files i de columnes
que té, expressats de la forma: ord (A) = dim (A) = m × n , on m és el nombre de files
(línies horitzontals) i n el nombre de columnes (línies verticals) de què disposa A.
Si una matriu té el mateix nombre de files que de columnes, m = n , per indicar el seu
ordre es pot donar com abans amb el nombre repetit però, per simplificar, es tendeix
a posar-ho amb un únic nombre: ord (A) = dim (A) = n × n → ord (A) = dim (A) = n.
Exemple: Considerem la matriu (^)
A.
El terme amb valor −3 és l’element que ocupa la posició de la segona fila i primera columna; per tant, a 21 = −3, i l’ordre o dimensió de la matriu és ord (A) = 2 × 2 ≡ 2. Així, els elements de matriu que li corresponen a aquesta matriu A són: a 11 = 0¸ a 12 = 1, a 21 = −3, a 22 = 4.
Sovint aquests elements de matriu són tots numèrics, pel que la matriu és completament
coneguda; però, a vegades, tots o alguns dels elements apareixen descrits en funció d’un
o més paràmetres, i llavors es queda a expenses de la informació de que es disposi sobre
aquests paràmetres per poder tenir coneixement sobre tota la matriu.
El conjunt de nombres K esmentat a la definició pot prendre elements de qualsevol dels
conjunts numèrics coneguts (naturals ℕ, enters ℤ, racionals ℚ, reals ℝ, complexes ℂ,...);
però, pels objectius d’aquest curs, i si no es diu el contrari, es treballarà amb matrius
definides sobre el conjunt (cos) dels nombres reals ℝ, aprofitant que, per construcció,
aquest conté com a subconjunts tots els anteriors (llevat dels complexes): K → ℝ.
1.2 Simbologia:
A totes les matrius se les anomena mitjançant alguna lletra amb majúscula (A, B, C, ... ;
M, N, P, ... ; X, Y, Z per a les matrius incògnita, ...) i, a vegades, si es vol posar un grup
de matrius en un llistat, o en una sèrie amb alguna relació entre elles, es solen indicar
amb una mateixa lletra majúscula i un subíndex numèric ordinal (A 1 , A 2 , A 3 , ...).
D’altra banda, als elements de matriu se’ls etiqueta usant una lletra amb minúscula i dos
subíndexs i , j com ja s’ha indicat prèviament; però la lletra ha de ser la corresponent a la
del nom de la matriu a la que pertanyen ( aij , bij , cij , ...). Per tant, es pot escriure:
( ) j n
aij i m
1 ,...,
A 1 ,...,
=
= = ,^ (^ )^ j n
bij i m
1 ,...,
B 1 ,...,
=
= = ,^ (^ )^ j n
cij i m
1 ,...,
C 1 ,...,
=
A més a més, es designa per ℳ m × n ( K ) al conjunt de totes les matrius d’ordre m × n amb
els seus elements pertanyents al conjunt K (o ℳ n ( K ) si m = n )
Exemple: De la matriu de l’exemple anterior (^)
A se’n pot dir: ( ) 1 , 2
A 1 , 2
=
j
aij i ∈ ℳ 2 (ℝ).
1.3 Exemples:
Els següents són exemples diferents de matrius d’un mateix ordre 2×3:
A 1 ,^
A 2 ,^
A 3 ,
2 log 3 0
A
3 2 4
e
Matrius amb elements naturals, enters, racionals i reals, respectivament
5 =^2
A
x x
x ex
A 6
m
m
a b b
a a b
A 7
Matrius amb elements dependents d’un o dos paràmetres reals
O
A 8 =
= , ( ) 1 , 2 , 3
A 91 , 2
=
j
aij i amb aij = (−1)
i+j
⋅ (2 i − j )
Matriu nul·la i matriu donada per l’expressió analítica dels seus elements
Exercici: Comprovar, fent el càlcul corresponent per cada element de matriu aij , que la matriu A 9 de
l’exemple anterior resulta ser (^)
A 9.
x ∈ ℝ , m ∈ ℝ ,
a i b ∈ ℝ
teoria sobre matrius (i també en el següent, sobre determinants) es tractarà de forma més
exhaustiva aquest concepte i el seu càlcul, però de moment se’n pot donar una primera
definició sense aprofundir massa en l’argumentació teòrica que la sustenta.
Es denomina rang de la matriu A al nombre màxim de files (o columnes) de A que són
linealment independents ; és a dir, les files (o columnes) que no es poden obtenir a partir
de les altres mitjançant cap operació anomenada combinació lineal entre elles.
Per qualsevol matriu de qualsevol ordre, el rang per files i el rang per columnes sempre
són iguals, valen el mateix número; per això, aquest nombre s’anomena simplement el
rang de A i es simbolitza per les notacions: rang(A) = rg(A) = r(A) = ρ(A).
D’altra banda, d’aquesta definició se’n dedueix que el rang d’una matriu no pot prendre
qualsevol valor, sinó que ve limitat pel nombre de files i columnes que tingui la matriu
en qüestió; en concret, pel nombre més petit d’aquests dos: rang(A) ≤ mín{ m , n }.
Exemple: Mirant si hi ha alguna relació entre les seves files, es dóna el rang de les matrius següents:
A ,
B ,
C ,
D
El rang(A) = 2, ja que no es pot obtenir una de les files a partir de cap operació amb l’altra; les dues files són linealment independents. El rang(B) = 1 doncs, per exemple, es pot obtenir la segona fila multiplicant per 2 la primera; les files són linealment dependents l’una de l’altra, pel que només una és linealment independent. El rang(C) = 2, donat que es pot obtenir la tercera fila sumant la primera i la segona, i la quarta es pot obtenir multiplicant per −3 la primera, però la segona fila i la primera no es poden relacionar de cap manera; així que dues files són linealment dependents de les altres dues, pel que només n’hi ha dues linealment independents. Per últim, el rang(D) = 2 ja que, per exemple, es pot obtenir la tercera fila restant les dues primeres, però aquestes dues primeres no es poden relacionar amb cap operació; per tant, una fila és linealment dependent de les altres dues, pel que són dues les linealment independents. Es trobarien unes conclusions idèntiques si s’haguessin fet consideracions similars per columnes.
3. Tipus de matrius més usuals.
Hi ha molts tipus de matrius que es poden classificar de diverses maneres. En aquesta
secció es suggereixen algunes pautes on s’exposen alguns dels tipus de matrius que més
es faran servir al llarg d’aquest curs.
3.1 Segons la seva forma (el seu ordre):
Matriu rectangular : matriu d’ordre m × n , amb m ≠ n ; és a dir, una matriu en la qual
el nombre de files no coincideix amb el nombre de columnes. Per exemple:
∈ ℳ 3 × 2 (ℝ) ,
∈ ℳ 3 × 4 (ℝ)
Matriu quadrada : matriu d’ordre n × n ≡ n , o sigui m = n ; és a dir, una matriu que
té el mateix nombre de files que de columnes. Per exemple:
Matriu fila (o vector fila) : matriu d’ordre 1 × n , o sigui m = 1; és a dir, una matriu
que només té una fila. Per exemple:
( 2 − 3 )∈ ℳ 1 × 2 (ℝ) , ( 1 0 − 1 )∈ ℳ 1 × 3 (ℝ)
Matriu columna (o vector columna) : matriu d’ordre m × 1, o sigui n = 1; és a dir,
una matriu que només té una columna. Per exemple:
∈ ℳ 2 × 1 (ℝ) ,
∈ ℳ 3 × 1 (ℝ)
* Observació: Tenint en compte les últimes definicions, es pot considerar una matriu
de qualsevol ordre m × n com una matriu formada per m vectors fila o n vectors
columna. Això permet que quan es tractin les operacions amb matrius tals com la
suma o la resta, el producte per un escalar i el producte de matrius, o bé quan es
parli de transformacions elementals i combinacions lineals de files o de columnes
de la matriu, el càlcul per efectuar-les es pugui associar al procés que se segueix
per fer les operacions corresponents amb els vectors, sense perdre propietat.
( ) j n
aij i m
1 ,...,
A 1 ,...,
=
L
M M O M
L
L
vectors fila
1 2
21 22 2
11 12 1
m
a a a
a a a
a a a
m m mn
n
n
L
M M O M
L
L
vectors columna
1 2
21 22 2
11 12 1
n
a a a
a a a
a a a
m m mn
n
n
3.2 Segons el seu contingut (els seus elements):
Matriu numèrica : una matriu en la qual tots els seus elements són nombres coneguts.
Per exemple:
Matriu alfanumèrica : una matriu on tots o uns quants dels seus elements apareixen
descrits en funció d’un o més paràmetres. Per exemple:
d e f
a b c
m m
m
m
Matriu nul·la o zero : O = {( aij ) | aij = 0 ∀ i , j }; és a dir, és la matriu on tots els seus
elements són 0. Per exemple:
= O 2 × 3
= O 3
3.3 Segons algunes operacions o propietats:
Més endavant, en el capítol d’operacions amb matrius, s’esmentaran d’altres tipus de
matrius molt lligades a aquestes operacions o a alguna de les seves propietats, com ara
les matrius oposada , transposada , simètrica , antisimètrica , inversa i ortogonal.
4. Rang d’una matriu. Càlcul del rang pel mètode de Gauss.
4.1 Transformacions elementals:
Les transformacions elementals o operacions elementals són els canvis que es poden fer
a les files o a les columnes d’una matriu que, malgrat modificar els valors dels elements,
mantenen invariant el rang d’aquesta matriu; i si es tracta d’una matriu associada a un
sistema d’equacions lineals, no n’alteren les solucions.
Tot seguit es descriuen els tres tipus de transformacions elementals per files que hi ha;
s’utilitza la notació Fi , Fj i Fk per indicar les files que ocupen els llocs i , j o k (valors de
l’índex de fila des de 1 fins a m ) en la matriu:
1) Intercanviar (permutar) dues files de lloc.
Es representa per Fi ↔ Fk
2) Multiplicar (o dividir) tota una mateixa fila per un escalar no nul λ, λ ∈ ℝ − {0}.
Es representa per Fi → λ·Fi
3) Sumar (o restar) a una fila de la matriu una altra fila diferent multiplicada per un
escalar no nul λ, λ ∈ ℝ − {0}. O també s’hi poden sumar més d’una fila diferent.
Es representa per Fi → Fi + λ·Fj , Fi → Fi + α·Fj + β·Fk + ... α, β, ... ∈ ℝ − {0}.
Les mateixes consideracions són vàlides si es mira des del punt de vista de les columnes
de la matriu; llavors es diu que s’utilitzen transformacions elementals per columnes , i es
representen de manera similar: 1) Ci ↔ Ck , 2) Ci → λ·Ci , 3) Ci → Ci + λ·Cj
Exemple: Donada la següent matriu, se li aplicarà cadascun dels tipus de transformació a cada pas.
F 1 ↔^ F ^2 →
→
F 2 → 12 F 2
F 3 →^ F^3 −^5 F^1 →
S’observa que la primera transformació no comporta cap dificultat i, simplement, es tracta de canviar de posició les dues files (o columnes) que es triïn, mantenint cada element d’aquestes en la columna (o fila) que li correspon.
La segona transformació tampoc té implícita gaire dificultat; i la mecànica de l’operació és la mateixa que s’associa a la realització del càlcul del producte d’un vector per un escalar , ja que recordem que podem considerar una matriu de qualsevol ordre m × n com una matriu formada per m vectors fila o n vectors columna; així que quan s’aplica aquesta transformació, el que s’està fent és multiplicar per un escalar aquell vector fila o vector columna escollit tal com està definida aquesta operació per vectors:
- Producte d’un vector per un escalar : Sigui λ un escalar (un nombre real no nul) i v un vector (fila o columna) de n components, v = (v 1 , v 2 , ... , vn), es defineix el producte de l’escalar pel vector com:
λ· v = λ·(v 1 , v 2 , ... , vn) = (λ·v 1 , λ·v 2 , ... , λ·vn)
Al segon pas de l’exemple: ( ) ( ·( 2 )) ( 3 8 1 )
2 16 1 2 6 1 2 6 16 2 1 2 v^1 2 F^1 2
(^1) ⋅ 2 ≡ ⋅ 2 = ⋅ − = ⋅ ⋅ − = −
En la tercera transformació cal tenir en compte que es pren de base per començar la fila que es vol modificar, i s’hi suma una altra o unes altres files multiplicades per escalars; i per la mateixa raó que en el cas anterior, la mecànica de l’operació és la mateixa que s’associa a la realització del càlcul de la suma/resta de vectors combinada amb el producte d’un vector per un escalar ja vist just abans:
Per tant, si un conjunt de files (o columnes) estan lligades mitjançant alguna combinació
lineal ; o sigui, si es pot aconseguir una d’elles com a combinació lineal de les altres (si
es pot posar una d’elles en funció d’una altra o unes altres), llavors es diu que les files
(o columnes) d’aquest conjunt són linealment dependents; mentre que si no existís cap
relació d’aquest tipus entre elles, es diu que són linealment independents.
Exemple: En la matriu de l’exemple anterior, les tres files o les tres columnes estan lligades per una combinació lineal, F 3 = 3·F 2 − 2·F 1 o C 3 = 2·C 1 + C 2 , així, aquestes tres són linealment dependents.
En la matriu identitat de qualsevol ordre, per exemple I 3 , les files o columnes sempre són linealment independents, ja que no hi ha cap combinació lineal possible entre elles degut a la posició dels zeros.
I 3 =
4.2 Rang d’una matriu:
La definició que s’havia donat prèviament de rang d’una matriu era: Donada una matriu
A ∈ ℳ m × n (ℝ) , ( ) j n
aij i m
1 ,...,
A 1 ,...,
=
= = , el rang de la matriu A queda fixat pel nombre màxim de
files (o columnes) linealment independents ; és a dir, les que no es poden obtenir a partir
de les altres mitjançant cap combinació lineal entre elles.
Gràcies a les nocions donades en aquest capítol sobre els conceptes de transformacions
elementals i combinacions lineals, ara es pot comprendre millor aquesta definició, i es
veu més clar quin tipus de relacions s’han de buscar si compleixen o no les files o les
columnes d’una matriu per donar-ne el rang.
Convé recordar també que, per una matriu A qualsevol, rang (A) per files = rang (A) per
columnes ≡ rang (A), independentment de si té més files que columnes o a l’inrevés; i
que, atès que el rang com a màxim pot valer el nombre de files o de columnes que té A
(si és així, del que n’hi hagués menys, han de ser totes linealment independents), el rang
d’una matriu A sempre és un nombre enter positiu , limitat per sobre pel valor més petit
dels índexs de l’ordre de la matriu i per sota pel fet que només la matriu nul·la té rang 0,
totes les altres com a mínim són de rang 1: 0 ≤ rang(A) ≤ mín{ m , n }.
Exemple: Discutir per mitjà de combinacions lineals el rang de les matrius següents:
A ,
B ,
C
La matriu A és quadrada d’ordre 2, pel que el rang com a màxim pot valer 2 i com a mínim 1. I com que les files o les columnes de A no són proporcionals, no és possible trobar cap combinació lineal que permeti posar una en funció de l’altra: són linealment independents. Per tant, rang(A) = 2. La matriu B és d’ordre 2×3, pel que el rang com a màxim pot valer 2 i com a mínim 1. I com que les files o les columnes de B són proporcionals (F 2 = 2·F 1 o C 2 = 2·C 1 i C 3 = 3·C 1 ) es poden posar totes en funció d’una d’elles: són linealment dependents d’una d’elles. Per tant, rang(B) = 1. La matriu C és d’ordre 3×4, pel que el rang com a màxim pot valer 3 i com a mínim 1. Amb una mica més d’observació que abans, es poden trobar combinacions lineals de les files o de les columnes de C (F 3 = 4·F 1 − F 2 o C 3 = C 2 − 2·C 1 i C 4 = 3·C 1 − 2·C 2 ); el conjunt d’elles són linealment dependents, i si es vol quantes són linealment independents, aquestes relacions mostren que només dues; rang(C) = 2.
4.3 Diferència entre “igualtat entre matrius” i “equivalència entre matrius”:
En la major part dels casos, dir que dues coses són “iguals” o dir que són “equivalents”
és dir exactament el mateix; però, en matrius, els conceptes de igualtat i equivalència no
són pas sinònims. Tot seguit s’explica aquesta diferència:
Igualtat entre matrius : Es diu que A = ( aij ) i B = ( bij ) són iguals, i s’escriu A = B, si
les dues matrius són del mateix ordre m × n (és a dir, si tenen els mateixos nombres
de files i de columnes) i, a més, tots i cadascun dels elements de matriu que ocupen
les mateixes posicions respectivament a A i a B són iguals.
Si A = ( aij ) i B = ( bij ) ∈ ℳ m × n (ℝ) i aij = bij ∀ i = 1, ... , m , j = 1, ... , n ⇒ A = B
Això vol dir que perquè dues matrius siguin iguals han de ser exactament la mateixa
matriu. Aquest concepte d’igualtat de matrius serà útil a les equacions matricials.
Exemple: Considerem les matrius (^)
A i (^)
b c
1 a B ; i també (^)
C i (^)
D
b
a .
Les matrius A i B poden ser iguals perquè les dues tenen la mateixa dimensió (quadrades d’ordre 2), i perquè ho siguin cal que a = −2, b = 3 i c = 1. Per contra, les matrius C i D, malgrat tenir també totes dues el mateix ordre, i tot i que es podria prendre el cas a = 2 i b = 0, a l’última posició sempre es té que a 22 ≠ b 22 (−1 ≠ 3); per tant, aquestes dues matrius mai poden ser iguals.
Equivalència entre matrius : Es diu que A = ( aij ) i B = ( bij ) són equivalents, i s’escriu
A ≡ B o A ~ B, si les dues matrius són del mateix ordre m × n (és a dir, si tenen els
mateixos nombres de files i de columnes) i, a més, si les files (o columnes) de B es
poden obtenir com a combinacions lineals de les files (o columnes) de A; és a dir, si
és possible passar d’una matriu a l’altra mitjançant un conjunt de transformacions
elementals per files i/o per columnes.
Com que els canvis que es fan per passar d’una matriu a l’altra són estrictament una
sèrie d’operacions elementals, que mantenen el rang de les matrius, en conseqüència
les matrius que siguin equivalents tindran el mateix rang, rang(A) = rang(B).
Exemple: En l’exemple usat a l’inici d’aquest capítol per visualitzar les transformacions elementals hi apareixen doncs una sèrie de matrius equivalents, donat que s’ha passat d’una a la següent mitjançant aquestes operacions. Així, totes elles tenen el mateix rang (3).
Exemple : Considerem les matrius A i B següents, i comprovem si es pot passar de A a B mitjançant transformacions elementals per files per veure si són equivalents i així tenen el mateix rang (3):
A
B
Per tant, no només resulta que A ≡ B, sinó que ho són amb totes les matrius intermèdies trobades. Es podria fer un procés similar per columnes, tot i que es tendeix a utilitzar més les files i/o barrejat. Pot ser molt útil intercanviar files o columnes per recol·locar alguns elements.
≡
F 2 → F 2 −F 1 ≡
F 3 → F 3 −F 1 ≡
F 2 ↔ F 3 ≡
F 3 → F 3 − 2 F 2
Exemple: Trobar el rang de les matrius següents aplicant el mètode de Gauss:
A ,
B ,
C ,
D ,
E ,
F
A
rang(A) = 1
B
rang(B) = 2
C
rang(C) = 2
D
rang(D) = 3
E
rang(E) = 3
F
rang(F) = 1
≡
F 2 → F 2 + 4 F 1
≡
F 2 → F 2 + 4 F 1 ≡
F 3 → F 3 − 2 F 1 ≡
F 3 → F 3 +F 2
≡
F 2 → 2 F 2 − 3 F 1 ≡
F 3 → 2 F 3 − 5 F 1 ≡
F 3 → F 3 +F 2
≡
F 2 → 17 F 2
≡
F 2 → 2 F 2 − 3 F 1 ≡
F 3 → 2 F 3 − 5 F 1 ≡
F 2 ↔ F 3
3 3
2 2
F^17 F
F -1 7 F
→
≡
→
≡
F 1 ↔ F 2 ≡
F 2 → 12 F 2 ≡
F 2 → F 2 − 3 F 1
≡
F 3 → F 3 − 5 F 1 ≡
F 2 ↔ F 3 ≡
F 3 → F 3 − 2 F 2
≡
F 2 → F 2 −F 3
≡
C 1 ↔ C 3 ≡
F 2 → F 2 + 4 F 1 ≡
F 3 → F 3 − 5 F 1
Exemple: Trobar el rang de la matriu M exposada anteriorment aplicant el mètode de Gauss:
M
rang(M) = 2
Exercici: Comprovar que la matriu N següent és de rang 3 aplicant el mètode de Gauss:
N
≡
F 2 → F 2 − 6 F 1 ≡
F 3 → F 3 − 11 F 1
≡
F 4 → F 4 − 15 F 1 ≡
F 3 → F 3 − 2 F 2
≡
F 4 → F 4 − 3 F 2
Exemple: Calcular les sumes de les següents matrius: 1) (^)
A i (^)
B
C i
D 3)
E i
F
1) A + B =
A, B i A + B ∈ ℳ 2 (ℝ)
2) C + D =
C, D i C + D ∈ ℳ 3 × 2 (ℝ)
3) E + F =
* Observacions:
− La matriu suma resultant és també del mateix ordre que les matrius sumands.
− La suma de matrius d’ordres diferents no està definida; no es pot calcular.
− La resta de matrius s’opera de la mateixa manera, restant els elements que es
troben a les mateixes posicions de cada matriu; o també, es pot considerar
una resta com la suma amb la matriu oposada de B, −B: A − B = A + (−B).
Matriu oposada : Donada una matriu A ∈ ℳ m × n (ℝ), es denomina per matriu oposada
de A la matriu del mateix ordre que resulta de canviar els signes de tots els elements
que té la matriu A (és a dir, substituir-los pels seus oposats), i es simbolitza per –A.
A ∈ ℳ m × n (ℝ) , ( ) j n
aij i m
1 ,...,
A 1 ,...,
=
= = ↔ –A ∈ ℳ m × n (ℝ) , ( ) i m
aij j n
1 ,...,
A 1 ,...,
=
Exemple: La matriu oposada de (^)
A és: (^)
A
5.3 Producte d’una matriu per un escalar:
Donada una matriu A ∈ ℳ m × n (ℝ) , ( ) j n
aij i m
1 ,...,
A 1 ,...,
=
= = , i donat un escalar λ ∈ ℝ, es defineix
el producte d’una matriu per un escalar com l’operació que es calcula multiplicant tots i
cadascun dels elements de la matriu per l’escalar.
λ·A = λ· ( ) j n
aij i m
1 ,...,
1 ,...,
= =^ λ·
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
1 2
21 22 2
11 12 1
L
M M O M
L
L
= ( ) j n
aij i m
1 ,...,
=
Exemple: Si (^)
A i λ = 5, calcular el producte: λ·A = 5· (^)
No es pot fer perquè E i F no són del mateix ordre:
E ∈ ℳ 2 × 3 (ℝ) , F ∈ ℳ 3 × 2 (ℝ)
* Observacions:
− La matriu resultant té el mateix ordre que la matriu original: λ·A ∈ ℳ m × n (ℝ).
− Si l’escalar és una fracció convé simplificar els elements resultants, si es pot.
Aplicabilitat conjunta de la transposició, la suma i el producte per un escalar:
Exemple: Donades les matrius
A i (^)
B calcular les operacions següents,
si es dóna el cas que és viable: A + 3B , B − 4A , BT^ + AT^ , 2A + BT^.
Les tres primeres operacions no es poden realitzar, ja que les matrius que quedarien sumant o restant
no serien del mateix ordre; en canvi, l’última sí es pot fer perquè 2A i BT^ ∈ ℳ 3 × 2 (ℝ).
2A + BT^ = 2·
Propietats de la transposició, la suma i el producte per un escalar:
Siguin A, B i C matrius del mateix ordre, O i −A les matrius nul·la i oposada de A,
ambdues de l’ordre corresponent a A, i siguin λ, μ i 1 ∈ ℝ nombres escalars:
1) (A
T
T
= A
2) (A + B)T^ = AT^ + BT
3) (λ·A)T^ = λ·AT
4) rang(A
T
) = rang(A)
5) traça(A
T
) = traça(A)
1) Commutativa: A + B = B + A
2) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
3) Existència d’element neutre: A + O = O + A = A
4) Existència d’element oposat: A + (−A) = (−A) + A = O
5) traça(A + B) = traça(A) + traça(B)
6) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
- El producte per un escalar :
1) λ·(A + B) = λ·A + λ·B
2) (λ + μ)·A = λ·A + μ ·A
3) Associativa: (λ·μ)·A = λ·(μ·A) = μ·(λ·A)
4) Existència d’element neutre: 1·A = A·1= A
5) (λ·A)T^ = λ·AT
6) Si λ ≠ 0 , rang(λ·A) = rang(A)
7) traça(λ·A) = λ·traça(A)
* Les propietats de la transposició, la suma i el producte per un escalar que estan
relacionades amb el producte de matrius i la matriu inversa es proporcionaran en
els aparats corresponents més endavant.
Distributives respecte la suma
Exemple: Calcular el producte de les matrius (^)
A i
B.
El producte A·B es pot calcular perquè A ∈ ℳ 2 × 3 (ℝ) i B ∈ ℳ 3 × 2 (ℝ); el nombre de columnes de la
primera matriu coincideix amb el nombre de files de la segona (3), i la matriu resultant serà quadrada d’ordre 2, perquè la primera matriu té dues files i la segona dues columnes.
A·B =
I per raons similars també es pot calcular el producte B·A, que donarà una matriu quadrada d’ordre 3.
B·A =
Exemple: Calcular el producte de les matrius
A i (^)
B.
No es poden calcular ni el producte A·B ni el producte B·A perquè A ∈ ℳ 3 × 3 (ℝ) i B ∈ ℳ 2 × 2 (ℝ), i
en cap cas el nombre de columnes de la primera matriu seria igual al nombre de files de la segona.
Exercici: Comprovar que els següents productes de matrius es poden fer i verificar-ne el resultat:
El producte de matrius es pot combinar amb les operacions vistes anteriorment, sempre
que es compleixin les condicions que calguin per efectuar cadascuna de les operacions.
Aquí ja pren més importància el tema de la prioritat de les operacions, per fer els càlculs
en l’ordre correcte: els criteris habituals usats amb els nombres segueixen essent vàlids.
Algunes combinacions d’operacions poden portar a resultats que potser no s’esperarien.
Exemple: Siguin les matrius (^)
A ,
B i (^)
C ; calcular A·B + 3CT.
A ∈ ℳ 2 × 3 (ℝ) i B ∈ ℳ 3 × 2 (ℝ) → A·B ∈ ℳ 2 (ℝ) C ∈ ℳ 2 (ℝ) → 3CT^ ∈ ℳ 2 (ℝ)
A·B =
3CT^ = 3·
T
8 11
A·B ∈ ℳ 2 (ℝ) i 3CT^ ∈ ℳ 2 (ℝ) → A·B + 3CT^ ∈ ℳ 2 (ℝ) , tota l’operació completa es pot fer.
A·B + 3CT^ =
Exemple: Donades les matrius (^)
A i
B :
Calcular el producte A·B
Calcular el producte B·A
Calcular el producte BT·AT
Comparar el resultat de 3) amb el de 1)
El producte A·B és factible perquè A és d’ordre 2×3 i B és d’ordre 3×4; el nombre de columnes de la primera matriu és igual al nombre de files de la segona (3), i la matriu resultant serà d’ordre 2×4.
A·B =
(Comprovar els càlculs)
El producte B·A no es pot fer ja que B és d’ordre 3×4 i A és d’ordre 2×3; en aquest cas, el nombre de columnes de la primera matriu no és igual al nombre de files de la segona.
El producte BT·AT^ es pot fer perquè BT^ és d’ordre 4×3 i AT^ és d’ordre 3×2; el nombre de columnes de la primera matriu és igual al nombre de files de la segona (3), i la resultant serà d’ordre 4×2.
BT·AT^ =
(Comprovar els càlculs)
- Resulta que la solució que s’obté a 3) és la matriu que s’ha obtingut a 1), però transposada:
BT·AT^ =
T
1 1 0 4
= (A·B)T
Això és un exemple d’una de les propietats que es compleix pel producte de matrius: (A·B)T^ = BT·AT
Propietats del producte de matrius:
Siguin A, B i C matrius multiplicables entre si, O la matriu nul·la i λ ∈ ℝ un escalar:
1) Associativa: A·(B·C) = (A·B)·C
2) Distributiva respecte la suma:
(A B)C AC B C
A(B C) A B AC
3) No commutativa, en general * : A·B ≠ B·A
4) (A·B)T^ = BT·AT
5) λ·(A·B) = (λ·A)·B = A·(λ·B)
6) traça(A·B) = traça(B·A) , si es poden fer els dos productes
7) Si A·B = A·C ⇏ B = C , en general
8) Si A·B = O ⇏ A = O ó B = O , en general
* Hi pot haver, però matrius que commutin:
Exemple: (^)
A ,
B →
B·A
A·B
→ A·B = B·A
Exemple: Per matrius quadrades, la identitat I és l’element neutre: A·I = I·A = A on A, I ∈ ℳ n (ℝ)
Exemple: Per matrius quadrades: A·A = A·A = A^2 , A^2 ·A = A·A^2 = A^3 , ... on A ∈ ℳ n (ℝ).
