¡Descarga sistemas d'equacions y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
1r CiF. Curs 2012-
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS (1)
F 0 B 7Discuteix i resol (en els casos en què sigui possible) els següents SEL de tres variables:
F 0 B 7Discuteix i resol (en els casos en què sigui possible) els següents SEL de dues variables:
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS (2)
F 0 B 7Discuteix i resol els següents SEL:
F 0 B 7Discuteix i resol els següents SEL segons els valors del paràmetre k:
Solucions:
- Per k ≠ 9 → Sist. Inc. , per k = 9 → SCI ( x = 1, y = 3 − λ, z = λ)
- Per k ≠ 1 → Sist. Inc. , per k = 1 → SCD ( x = 1, y = 1)
- Per k = − 5 → Sist. Inc. , per k ≠ − 5 → SCD ( x = 2 − 6/(k+5), y = 2 − 9/(k+5), z = 3/(k+5))
- Per k = − 4 → Sist. Inc. , per k = 0 → SCI ( x = 3 − 3 λ, y = 1, z = λ), per k ≠ − 4, k ≠ 0 → SCD
- Per k = 1 → Sist. Inc. , per k = − 1 → SCI ( x = -1- 7λ, y = 2λ, z = λ), per k ≠ − 1, k ≠ 1 → SCD
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS (3)
1. Discuteix i resol el sistema segons els valors del paràmetre a:
( R .: Per a = 0 → Sist. Incompatible, per a ≠ 0 → SCI )
2. Discuteix i resol el sistema segons els valors del paràmetre b:
( R .: Per b = − 6 → Sist. Incompatible, per b = 3 → SCI, per b ≠ 3, b ≠ − 6 → SCD)
3. Discuteix i resol el sistema segons els valors del paràmetre t:
( R .: Per t = 1 → Sist. Incompatible, per t = − 2 → SCI, per t ≠ 1, t ≠ − 2 → SCD)
4. Estudia i resol el sistema: ( R .: SCD x = 2, y = −1, z = 0)
5. Estudia i resol el sistema: ( R .: SCD x = 1, y = 0, z = −2, t = −1)
6. Estudia i resol el sistema: ( R .: Sist. Incompatible )
PROBLEMES DE PLANTEIG (1)
Dues proves de consum d’un cotxe han donat els resultats següents: en la primera s’han recorregut 120 Km. per carretera i 30 per ciutat, i s’han gastat 9’5 litres de gasolina, mentre que en la segona s’han recorregut 65 Km per carretera i 55 per ciutat, i el consum ha estat de 9 litres. Quins són els consums del cotxe (en litres cada 100 Km) circulant per carretera i per ciutat? (R: 5’43 i 9’95 litres/100 Km)
Una empresa elèctrica fabrica electricitat per mitjans hidràulics, tèrmics i nuclears. El Kw·h produït per aquests mitjans costa 2, 10 i 7 cèntims d’euro respectivament. La producció total de l’any passat va ser de 110 milions de Kw·h i el cost total, de 8’5 milions d’euros. Quina va ser la producció per cadascun dels tres mitjans si l’energia produïda hidràulicament només representa el 8% del total? (R: 8 800 000 Kw·h, 41 333 333 ’ 33 Kw·h i 59 866 666’ 67 Kw·h respectivament)
Calculeu la població de dos estats sabent que entre tots dos tenen 17 milions d’habitants, que la renda per càpita d’un és de 4230 € i la de l’altre, de 3750 €, i que la suma dels seus Productes Interiors Bruts (PIB) és de 67.000 milions d’euros. (La renda per càpita és el quocient entre el PIB i la població d’un estat). (R.: 6 770 833 i 10 229 167 habitants)
Una empresa de refinaria compra petroli a dos països que anomenem A i B. Comprant 500 barrils al país A i 1500 al país B, el preu mitjà del barril de cru és de 17 €. Comprant 1000 barrils al país A i 1000 barrils al país B el preu mig del barril de cru és de 18 €. Calcula el preu del barril del país A i el del barril del país B. (R: 20 €/barril al país A i 16 €/barril al B)
PROBLEMES DE PLANTEIG (2)
Una persona ha comprat dos productes en unes rebaixes. La suma dels preus dels dos productes abans de rebaixar era de 50 euros. Al primer li han aplicat una rebaixa del 10 % i al segon una rebaixa del 20 %. Si ha pagat 43 euros per tots dos, digueu quant valia cada un dels dos productes abans de les rebaixes. (R: 30 i 20 €)
Si un milió de votants de l’esquerra haguessin votat la dreta, les dues coalicions haurien obtingut els mateixos vots. Però si un milió de votants de la dreta haguessin votat l’esquerra, aquesta coalició n’hagués tret el triple que aquella. Trobeu els vots de cada coalició. (R: 5 milions l’esquerra, 3 milions la dreta)
En Pere, en Joan i la Núria han fet un treball en comú. La Núria ha treballat el doble d’hores que en Joan, i en Pere una hora més que els altres dos plegats. En total hi han dedicat 13 hores. Si entre tots han obtingut 8 punts, quants d’aquests punts corresponen a cadascun amb relació a les hores que cada un d’ells hagi esmerçat? (R: Pere 4’31 punts, Joan 1’23 i Núria 2’46)
Durant 3 dies seguits, 3 persones, A, B i C, surten de casa amb una certa quantitat de diners cadascuna (la mateixa cada dia) i aposten al canòdrom. El 1r dia afirmen que A ha perdut el 10 % del que portava, B ha guanyat el 20 % del que portava i C n’ha perdut el 50 %. La suma algebraica de pèrdues i guanys (pèrdues amb signe – i guanys amb signe +) diuen que ha estat de 20 €. El 2n dia afirmen que A ha guanyat un 20 % del que portava, B n’ha guanyat un 40 %, i C n’ha guanyat un 60 %, i que la suma algebraica de guanys i pèrdues ha estat de 80 €. El 3r dia diuen que A ni ha guanyat ni ha perdut, que B ha guanyat el 60 % del que portava , C n’ha perdut el 30 %, i que la suma de guanys i pèrdues ha estat de 60 €. Pot ser cert el que diuen? Raoneu per què. (R: no és possible)
El dilluns d’una certa setmana els articles A, B i C d’uns grans magatzems es rebaixen un 5 %, un 6 % i un 8 % respectivament. El dimarts, en canvi, es rebaixen un 2 %, un 8 % i un 6 % sobre el preu inicial (no sobre el preu rebaixat del dilluns). Finalment, el divendres es rebaixen un 4 %, un 7 % i un 6 % sobre el preu inicial. Si se sap que un client que compra una unitat de cada un d’aquests articles cada un d’aquests dies s’estalvia 21 € el dilluns, 21 € el dimarts i 21 € el divendres, quin és el preu per unitat d’aquests articles? (R: 100, 200 i 50 € respectivament)
Expliqueu què vol dir que un sistema d’equacions lineals sigui incompatible, i què vol dir que sigui indeterminat. Digueu si existeix algun valor de m per al qual el sistema següent sigui incompatible i si existeix algun valor de m per al qual sigui indeterminat: (R: el sistema mai no és incompatible.; i és compatible indeterminat per a m = 1)
Una empresa fabrica 3 models de cotxe: A, B i C. El model A ha de passar 20 hores a la unitat de muntatge. El model B, 30 hores, i el model C, 10 hores. El model A ha de passar 10 hores a la unitat d’acabats, el model B, 20 hores, i el model C, 30 hores. En total s’han produït 14 cotxes. La unitat de muntatge ha treballat 370 hores i la d’acabats, 290 hores. Quants cotxes de cada tipus s’han produït? (R: 1 del model A, 11 del B i 2 del C)
En un determinat poble es representen 3 espectacles, A, B i C. Calculeu el preu de cada un d’ells sabent que: si assistíssim dues vegades a A, una vegada a B i una vegada a C, ens costaria 34 €. Si anéssim tres vegades a A i una a B, ens costaria 46’5 €. En el cas d’assistir només una vegada a cada un dels espectacles, ens costaria 21’5 €. (R: espectacle A, 12’5 €; espectacle B, 9 €; espectacle C, gratis)
Compreu dos productes i us costen 220 €. La setmana següent feu la mateixa compra i, com que el primer article està rebaixat en un 10 % i el segon un 20 % respecte a la setmana anterior, només us costa 186 €. Quant us costarà la mateixa compra si en una altra ocasió els preus estan rebaixats un 10 % i un 20 %, respectivament, en relació amb els preus de la segona setmana? (R: 157’80 €)
Calculeu els grans d’all que es posaven a la vianda fregida en Janic, en Treseta i en Dop, sabent que aquests tres nombres són proporcionals als petits de vi vell que es posaven al païdor en la festa de Santa Quitèria Beneïda (el vi anava a ral i mig la mitja a can Met Xacó) (R: )
PROBLEMES DE PLANTEIG (3)
Cada 8 hores un treballador produeix 10 taules de tipus A i 9 taules de tipus B. En 10 hores produeix 8 taules de tipus A i 18 taules de tipus B. Calcula el temps que triga a produir cada tipus de taula. (R: 0’5 hores per la taula A i 20 minuts per la B)
Un vi té un 9 % d’alcohol i un altre en té un 12 %. En quina proporció s’han de barrejar perquè la mescla tingui un 10 % d’alcohol? (R: proporció 2 a 1, o sigui, doble del primer que del segon)
Un orfebre té dos lingots: el primer conté 550 g d’or i 60 g de coure, i el segon conté 400 g d’or i 100 g de coure. Quina quantitat ha d’agafar de cada lingot per formar-ne un altre que pesi 640 g i que tingui una llei de 0’825? (R: 157’42 gr del 1r i 482’58 del 2n) Nota: la llei d’un aliatge és la quantitat d’or o de metall preciós que té per unitat. Així, si la llei és 0’825, vol dir que en 1 g hi ha 0’825g d’or. Si la llei d’un aliatge és de 900 mil·lèsimes, vol dir que en 1 g hi ha 0’900 g d’or. Aquestes definicions són vàlides si se substitueix 1 g per 1 Kg o per qualsevol altra unitat,
Es vol obtenir un lingot d’or d’1 Kg de pes i llei de 900 mil·lèsimes fonent or de 975 mil·lèsimes i or de 875 mil·lèsimes. Quina quantitat de cada classe cal fondre? (R: 250 gr i 750 gr respectivament)
Hieró, rei de Siracusa, va donar 7465 g d’or a un joier perquè li fes una corona que volia oferir a Júpiter. Per conèixer si l’orfebre havia substituït or per plata li va demanar a Arquímedes que ho esbrinés, sense fer malbé la corona. Arquímedes la va posar dins de l’aigua i la corona va perdre 467 g de pes. Si sabem que l’or perd 52 mil·lèsimes del seu pes dins de l’aigua i que la plata en perd 95, busca els grams d’or i plata de la corona reial. (R: 5631’9767 gr d’or i 1833’0233 gr de plata)
Un pagès té uns quants bous que mengen la mateixa quantitat de pinso cada dia. Si en vengués 6, el pinso duraria 2 dies més, i si en comprés 4, el pinso duraria 1 dia menys. Quants bous té el pagès? Quants dies els pot alimentar? (R.: 36 bous, 10 dies)
Es disposa d’un recipient de 24 litres de capacitat i de tres mesures, A, B i C. El volum de A és el doble que el de B, les tres mesures omplen el dipòsit, i les dues primeres l’omplen fins a la meitat. Quina capacitat té cada mesura? (R: 8, 4 i 12 litres respectivament)
Busca un número de 3 xifres, sabent que les 3 xifres sumen 9; si se li resta el resultat d’invertir l’ordre de les seves xifres, la diferència és 198; i, a més, la xifra de les desenes és la mitjana aritmètica de les altres dues. (R: 432)
Un estat compra 540 000 barrils de petroli a 3 subministradors diferents que el venen a 27, 28 i 31 dòlars el barril, respectivament. La factura total puja a 16 milions de dòlars. Si el primer subministrador facilita el 30 % del total del petroli comprat, quina quantitat s’ha comprat a cada subministrador? (R: 162 000, 30 667 i 347 333 barrils respectivament)
Una botiga ha venut 600 exemplars d’un videojoc per un total de 6384 €. L’original costava 12 €, però també n’ha venut còpies, defectuoses, amb descomptes del 30 % i 40 %. Si sabem que la quantitat de còpies venudes va ser la meitat del nombre d’originals, calcula a quantes còpies es va aplicar el descompte del 30 %. (R: es va aplicar un 30 % de descompte a 120 còpies)
Un tren transporta 500 viatgers i la recaptació de l’import dels seus bitllets és de 3525 €. Calcula quants viatgers han pagat l’import total del bitllet, que val 15 €, quants n’han pagat el 20 % i quants el 50 %, si sabem que el nombre de viatgers que n’han pagat el 20 % és el doble que el nombre de viatgers que ha pagat el bitllet sencer. (R: import total: 150 viatgers; 20 %, 300 viatgers; 50 %, 50 viatgers)
Un llibreter vol comprar una quantitat determinada d’exemplars d’un llibre per 252 €. Quan fa la comanda a l’editorial, li diuen que el preu de cada exemplar ha pujat 0’30 €. El llibreter aleshores calcula que per invertir la mateixa quantitat, ha de comprar 4 exemplars menys dels que va pensar inicialment. Quants exemplars havia pensat adquirir i a quin preu? (R: 60 exemplars a 4’20 € cada un).
