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Teoría Cálculo Infinitesimal. Números Reales.
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
1.2. Axiomas del cuerpo R.
2.1. Inmersión de _ en R. 2.2. Intervalos en R. 2.3. Conjuntos acotados en R.
El número real.
1 NÚMEROS REALES. 1.1 Introducción. El concepto de número ha sufrido una evolución histórica, estableciéndose sucesivamente distintos tipos de números que conforme son más evolucionados permiten resolver distintos tipos de problemas. a) Problema de contar: números NATURALES ( ). Los números naturales: 1, 2,3, 4,… aparecen al contar, es el tipo de número más elemental y más intuitivo y a la vez el más difícil de construir matemáticamente. Se pueden establecer axiomáticamente (AXIOMAS DE PEANO): El conjunto de los números naturales es un conjunto que cumple: I. 1 ∈ II. Para todo _p_ ∈ existe un elemento que llamaremos siguiente a p : p + 1. III. El uno (1) no es el siguiente de ningún número natural. IV. Si p ' es el siguiente de p y q 'es el siguiente de q y q ' = p ' entonces p = q. V. (AXIOMA DE INDUCCIÓN COMPLETA) Sea un subconjunto C ⊂ ` que cumple:
. En el V axioma de los números naturales se basa el principio de inducción completa, para demostrar una función proposicional para todo _n_ ∈. Por ejemplo: dado δ> 0, (^) ( 1 + δ)^ n ≥ 1 + n δ ∀ n ∈ . b) El problema de la resta: números ENTEROS ( ] ). En el conjunto de los números naturales, la ecuación _a_ + _x_ = _b_ no siempre tiene solución (en particular sólo cuando _b_ > _a_ ), entonces se amplia el concepto de número de modo que se puedan representar cantidades negativas. Sea _A_ = ×` , se define una relación: ( n m R n ,^ ) (^ ',^ m^ '^ )⇔^ n^ +^ m^ '^ =^ n^ '+ m dicha relación es de equivalencia y establece un conjunto cociente:El número real.
LA RECTA RACIONAL Los números racionales se pueden representar sobre una recta:
cabría pensar que dado que cada número racional tiene representación sobre la recta, cada punto de la recta está representado por un número racional, esto no es así y obliga a introducir un nuevo concepto de número que “llene” toda la recta, dichos números son los números reales. 1.2 Axiomas del cuerpo R. Como se verá posteriormente (1.5 Construcción de un sistema de números reales), los números reales pueden construirse de diversas maneras sobre la base de los números racionales. No obstante aquí se va a postular la existencia de un conjunto que cumple una serie de propiedades (axiomas). Dichos axiomas se pueden estructurar en tres grupos: AXIOMAS DE CUERPO AXIOMAS DE ORDEN AXIOMA DE COMPLETIPUD AXIOMAS DE CUERPO. En R hay definidas dos leyes le composición interna: SUMA
( x ,^ y^ ) x^ y
( x ,^ y^ ) x^ y
× → → ⋅
de modo que se cumple: (para todo x y z , , ∈ R )
Cálculo Infinitesimal.
cero x x x uno x x x
Existe un subconjunto R +de R (reales positivos) de modo que se cumple:
, 0
x x x o x
Cálculo Infinitesimal.
los resultados obtenidos anteriormente, se pueden tomar también como definición de valor absoluto. Propiedades del valor absoluto:
Según la definición (^) − x^ x^ ≤^ ≤ x^ x ≤^ ≤ a^ a ⇒ x ≥ − a ⇒ − a ≤ x ≤ a
( )
x x (^) x y x y y y x y x y x x (^) x y x y y y
1.5 Construcción de un sistema de números reales. A continuación se van a esbozar dos construcciones de un conjunto, que llamaremos \ , que cumple los diez axiomas del apartado 1.2, dichos conjuntos son pues cuerpos ordenados completos, (se demuestra que son isomorfos) por lo tanto cualquier propiedad que se deduzca en base a esas diez propiedades es válida en cualquiera de ellos, es por esto por lo que a pesar de que las construcciones sean distintas se dice que solamente existe un sistema de números reales (EXISTE UN Y SOLAMENTE UN CUERPO ORDENADO COMPLETO). En ambas construcciones se toma como base el cuerpo _ de los números racionales,
estas son:
El número real.
SUCESIONES DE NÚMEROS RACIONALES.
( ) ( )
( )
1 2
a
n
a a a a
n a n a
Se llama término general a an , normalmente la sucesiones se representan por: a 1 (^) , a 2 (^) , a (^) 3 , …, an ,… o simplemente: (^) { an (^) }.
Por lo tanto:
0
0
p
q
n p n a a
n q n a a
EN GENERAL UNA SUCESIÓN REGULAR NO ES CONVERGENTE, es decir que hay sucesiones regulares que son convergentes y sucesiones regulares que no son convergentes (siempre hablando en el cuerpo _ ).
El número real.
mismo. Es decir los “huecos” que presentan los números racionales dentro de la recta real. NOTA: en algunos casos el axioma 10 de los números reales se enuncia en este sentido (existencia del supremo). Definición de número real (CORTADURAS DE DEDEKIND) Se define número real α , a todo conjunto de números racionales, que cumpla:
Al conjunto de todos los números reales se le llama R.
Por ejemplo el intervalo ( −∞ , a ), con a ∈ _ , es un número real, aunque no es el único
tipo, es decir que hay números reales que no se pueden expresar como un intervalo.
2 CONJUNTOS ACOTADOS EN R. 2.1 Inmersión de _ en R.
Dentro del conjunto:
se puede considerar el subconjunto:
llamaremos C (^) 2 al complementario de C 1 en C , es decir:
C = C 1 (^) ∪ C 2 C 1 (^) ∩ C 2 = ∅
por lo tanto al establecer la relación de equivalencia R en el conjunto C , se puede demostrar que: R = C R = C 1 (^) R ∪ C 2 R C 1 (^) R ∩ C 2 R = ∅
llamaremos: _' = C 1 R R − _' = C (^) 2 R
Se puede establecer la aplicación:
Cálculo Infinitesimal.
( )
f
de modo que α= f (^) ( a (^) ) ⇔ (^) { xn (^) } ∈α ⇒ lim n →∞ xn = a
Se demuestra que f es biyectiva y que además:
f (^) ( a + b (^) ) = f (^) ( a (^) ) + f (^) ( b ) f (^) ( a b ⋅ (^) ) = f (^) ( a (^) ) ⋅ f (^) ( b )
Entonces f es un ISOMORFISMO entre el cuerpo _ y el subcuerpo _ ' de los
números reales, a dicho isomorfismo es a lo que se llama inmersión de _ en R , es
decir considerar a los números racionales “como una parte” de los números reales. 2.2 Intervalos en R. En el conjunto de los números reales se definen los siguientes subconjuntos, llamados intervalos: Sean a b , ∈ R , tal que a < b
en los intervalos definidos anteriormente, se llama:
G = (^) { J (^) i = (^) [ ai , bi (^) ]/ i ∈ `}
Cálculo Infinitesimal.
COTA INFERIOR:
k 2 ∈ R , cota inferior de S ⇔ ( x ∈ S ⇒ x ≥ k 2 )
COTA:
M ∈ S es máximo de S ⇔ (^) ( x ∈ S ⇒ x ≤ M )
MÍNIMO: m ∈ S es mínimo de S ⇔ (^) ( x ∈ S ⇒ x ≥ m )
Se pueden definir dos conjuntos: C S = { k ∈ R / k cota superior de S } C I = { k ∈ R / k cota inferior de S }
de la propia definición se deduce que M ∈ CS , m ∈ CI.
SUPREMO: Se llama supremo o extremo superior de S a la menor de las cotas superiores, es decir al mínimo de CS.
ÍNFIMO: Se llama ínfimo o extremo inferior de S a la mayor de las cotas inferiores, es decir al máximo de C (^) I.
Se dice que un conjunto está
si tiene al menos una
Se verifica que: S está acotado superiormente y acotado inferiormente ⇔ S está acotado Demostración.
k 2 cota inferior de S ; entonces llamando: k = max { k 1 (^) ,− k 2 }, se verifica que:
cota superior cota inferior cota
El número real.
1 1 2 2
x S x^ k^ x^ k^ k^ x^ k x k x k x k k x k
luego k es una cota del conjunto S.
x S x k x^ k^ x^ k^ k x k x k k
2.4 Existencia de supremo. En este punto se va a demostrar que todo conjunto de números reales acotado superiormente tiene supremo. Esta es una propiedad de los números reales ( R es un cuerpo completo) y la diferencia con los números racionales, de hecho es la única diferencia existente entre unos números y otros, por lo tanto cualquier propiedad de los números que se deduzca a partir de ésta, sólo es válida en R. Conviene señalar que la existencia del supremo se puede establecer también y directamente como axioma de completitud de los números reales. TODO CONJUNTO S NO VACÍO DE NÚMEROS REALES ACOTADO SUPERIORMENTE TIENE SUPREMO. Demostración. Sea S un conjunto no vacío y acotado superiormente:
b 0 (^) = k 1 ‘si es cota superior’ de S
Dividimos el intervalo (^) [ a 0 (^) , b 0 (^) ]por la mitad:
De los dos subintervalos (^) [ a 0 (^) , c 0 (^) ] [, c 0 (^) , b 0 (^) ] nos quedamos y llamamos J (^) 1 = (^) [ a 1 (^) , b 1 ] con
aquel que cumpla: a 1 : ‘no es cota superior’ b 1 : ‘si es cota superior’
Cota superior de S Cota inferior de S
b 0 0 0 0 2 c =^ a^ + b a 0
El número real.
De (a) y (b) se deduce que x > bp , con x ∈ S , es decir que bp no es una cota superior del conjunto S , en contra de la propia construcción de los intervalos de la familia, luego la hipótesis (1) no puede ser cierta.
Luego se deduce que k < ap ', siendo k una cota superior de S , por tanto a (^) p 'es una cota superior de S en contra de la construcción de los intervalos. De forma análoga se demuestra que TODO CONJUNTO ACOTADO INFERIORMENTE TIENE ÍNFIMO.
a (^) p ' bp '
k x 0