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ES UN ARCHIVO DE SISTEMAS DE COMUNICACION DE DATOS PARA RESOLVER EJERCICIOS DE FOURIER, NYQHHIS, SHANON, ROUTER, BORH PARA TRATAR LAS SEÑALES PERIODICAS, PASARLAS A
Tipo: Apuntes
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Buenos Aires Argentina
Serie
Área: Ingeniería Informática
Los Tres Teoremas. Fourier - Nyquist - Shannon
Marcelo Semeria
Diciembre 2015 Nro. 582
www.cema.edu.ar/publicaciones/doc_trabajo.html UCEMA: Av. Córdoba 374, C1054AAP Buenos Aires, Argentina ISSN 1668-4575 (impreso), ISSN 1668-4583 (en línea) Editor: Jorge M. Streb; asistente editorial: Valeria Dowding
El presente trabajo presenta una visión aplicada a la práctica de tres de los teoremas más importantes (y fundamentales) de las comunicaciones.
Para comprender las bases teóricas en las que se apoya la transmisión de datos debemos buscar herramientas de análisis que nos permitan sacar conclusiones razonadas de los fenómenos físicos que participan en las comunicaciones.
Tres puntos claves para ello son los trabajos que desarrollaran Fourier, Nyquist y Shannon. En los tres casos, comúnmente conocidos como Teoremas fundamentales.
No es objetivo de este trabajo un detallado estudio de los teoremas anteriores, sino llegar a la comprensión y manejo de sus principios con un mínimo de complicaciones matemáticas pero sin perder de vista los fundamentos físicos.
El presente trabajo abarca una descripción y el desarrollo de los siguientes temas:
Algunos conceptos iniciales Fourier en el dominio temporal Fourier en el dominio de la frecuencia Nyquist (Muestreo de señales) Nyquist aplicado a un canal telefónico Armado de una Trama (“Entramado de Datos”) Shannon (Canales con Ruido aleatorio)
Sin ánimo de generar rigurosas definiciones que sean válidas dentro de todo el amplio rango de la física y la tecnología, y a solo efecto que nos ocupa, adoptaremos los siguientes conceptos:
Señal: son los sucesivos valores que van adoptando una variable física (como la tensión, corriente, etc.) a medida que transcurre el tiempo
Amplitud: es el valor que adopta una variable física en un determinado instante. Se destacan:
Amplitud Pico: es el valor máximo o mínimo que adopta una señal Amplitud pico a pico: es la diferencia entre el valor máximo y mínimo que tiene una señal
Ciclo: podremos decir que se trata de la secuencia ordenada de puntos que representan los sucesivos e infinitos valores que adopta una señal hasta el momento en el cual se vuelve a repetir la misma secuencia.
Señal Sinodal Señal Cuadrada
Amplitud Pico Negativa o Mínima
Amplitud Pico Positiva o Máxima
Amplitud Pico a Pico
C i c l o
Período = Tiempo que dura un ciclo
tiempo [seg.]
Es la velocidad con que se desplaza una señal de una determinada frecuencia que recorre un medio físico real. Se mide en m/s. La expresión que vincula la frecuencia, la velocidad y la longitud de onda es:
donde v es la velocidad de propagación de la señal en el medio por el cual viaja en m/s (lambda) es la longitud de onda de la señal medida en metros f es la frecuencia en Hertz (recordar que Hertz = 1/segundo)
Longitud de onda: íntimamente ligado al concepto anterior surge de despejar de la expresión y físicamente nos da idea de cual es la longitud “eléctrica” correspondiente a una señal de una frecuencia determinada. Mediante este concepto podremos calcular teniendo en cuenta la frecuencia de una señal, cual es el espacio lineal que ocupa un ciclo o cuánto tarda la misma en atravesar un medio de una longitud determinada
Ancho de Banda: es la diferencia, medida en Hertz, entre la máxima y la mínima frecuencia que puede pasar por un canal de comunicaciones.
AB = Fmax - Fmin donde Fmax nos indica el valor de la máxima frecuencia que puede pasar por el canal mientras que Fmin nos dará el limite mínimo de la misma
Un punto notable, que se puede apreciar en la figura, es la Frecuencia Media o Mitad, su valor se calcula para un AB como la media aritmética entre la frecuencia máxima y la mínima, o sea:
Fmedia = ( Fmax - Fmin ) / 2
Frecuencia Mínima
Frecuencia Máxima
Frecuencia Central
Frecuencia [Hz]
Ancho de Banda del Canal (AB)
Mediante la aplicación de la Serie de Fourier, podremos comprender como una señal de onda cuadrada está compuesta matemáticamente y físicamente por la sumatoria de infinitas ondas sinodales; y que frente a la necesidad de la transmisión digital de señales por un canal de comunicaciones, la realidad física del medio utilizado nos impondrá en la práctica limitaciones con respecto a la cantidad de estas “infinitas” señales sinodales que se puedan transportar.
Encararemos una explicación gráfica.
2.1) Sean a) Sen (x) b) 1/3 Sen (3x) c) Sen (x) + 1/3 Sen (3x)
sus gráficas de las señales trigonométricas en el dominio temporal resultarán:
2.2) Y sea también a) Sen (x) b) 1/3 Sen (3x) c) 1/5 Sen (5x) d) Sen (x) + 1/3 sen (3x) + 1/5 Sen (5x)
Grados
Amplitud
1/3 Sen (3x)
Sen (x)
Suma
período o tiempo que tarda en transcurrir un ciclo.
Para el caso particular de una onda cuadrada solo se usan las armónicas impares, tal
igual a cero.
Como consecuencia de lo expresado es muy importante interpretar que cuanto mayor sea el ancho de banda de un canal de comunicaciones, es decir cuanto mayor sean la cantidad de armónicas que puedan atravesar dicho canal, resultará menor la diferencia entre la onda cuadrada que se inyecta en la entrada del medio y la obtenida de sumar todas las armónicas que aparece en el otro extremo del mismo. Recordemos que en teoría deberán ser infinitas ondas sinodales recibidas para que la onda cuadrada resultante sea perfecta.
Todo lo analizado hasta aquí corresponde al tratamiento en el “dominio” temporal de las señales (ver que en los gráficos el eje horizontal pertenece al tiempo y por supuesto se mide en segundos o múltiplos/submúltiplos de este)
Toda vez que hablamos del tiempo estamos haciendo directa referencia a la frecuencia, ya que ambas se relacionan por medio de la expresión:
Frecuencia = 1 / Tiempo donde [Frecuencia] = Herz y [T] = Segundos
Si en vez de representar las señales en función del tiempo - tal como hemos hecho en el ítem anterior - ahora hacemos la gráfica referida a la frecuencia (o sea nuestro eje horizontal deja de representar el tiempo y pasa a indicarnos la frecuencia de las distintas componentes que viajan por el canal), obtendremos la representación de las señales en el denominado “Espectro de Frecuencias”.
Si bien en un medio físico, un grupo de señales sinodales siempre se propaga (en el dominio temporal) como la resultante de la suma de todas ellas, su representación gráfica y análisis resulta dificultoso y complicado. A fin de evitar estas circunstancias se realiza la “ transformación ” del dominio temporal al dominio de las frecuencias logrando simplificar notablemente el análisis relacionado con la propagación de la información dentro de los canales de comunicaciones.
De esta forma, en un gráfico correspondiente al dominio de las frecuencias, representaremos en el eje vertical la amplitud de las armónicas (medido en unidades de tensión o corriente) y en el eje horizontal sus respectivas frecuencias (medidas en Hertz). Como dijimos a este gráfico se lo denomina “ Espectro de Frecuencias ” y para un determinado medio real bajo análisis (por ejemplo coaxial, fibra, etc.) tendrá como límite tecnológico una mínima y una máxima frecuencia que el canal permitirá pasar
(técnicamente se denomina Ancho de Banda y típicamente se lo representa por las siglas AB )
Por lo tanto, lo dicho queda expresado por la formula que ya fuera analizada en el ítem 1:
AB = Fmax - Fmin donde Fmax nos indica el valor de la máxima frecuencia que puede pasar por el canal mientras que Fmin nos dará el limite mínimo de la misma
Veamos una representación gráfica en el dominio de las frecuencias, para un canal cuyo Ancho de Banda es AB = F 2 - F 1 y en el cual se transporta una señal representada por la siguiente expresión:
x = sen (x) + 1/3 sen (3x) + 1/5 sen (5x) (ya utilizada en 1.2.d)
La gráfica de su Espectro de Frecuencia , de acuerdo a lo visto, sería:
Se ha tomado arbitrariamente valores para de F 2 y F 1 para este canal, de forma tal que se pueda ver claramente como solo es posible transportar la frecuencia fundamental y su 3ra. armónica, sin embargo se comprenderá que no será enviada la 5ta. armónica al quedar fuera del AB; generándose de esta forma una diferencia entre la señal de entrada y la de salida donde aparece una de las clásicas limitaciones tecnológicas que provocan los medios físico en los canales de comunicación.
Cuando se diseña un canal de comunicaciones, dentro de los objetivos primordiales estará el hecho de obtener la máxima transferencia de información (obviamente sin error) por unidad de tiempo, aspecto con el que se busca optimizar al máximo el rendimiento del medio físico.
Una de las formas - la que nos ocupa en este caso - será procurando enviar solamente la mínima información “eléctrica” necesaria (eliminando todo contenido irrelevante e innecesario), que posteriormente mediante un proceso tecnológico (con basamento matemático) del lado del receptor pueda reconstruir la señal original para permitir
F 2
F 1
Amplitud
Frecuencia
Fundamental sen (x)
3ra. Armónica 1/3 sen (3x) 5ta. Armónica 1/5 sen (5x)
mínimo al doble de la máxima frecuencia de la señal. A esta velocidad de muestreo se la denomina “Frecuencia de Nyquist”.
Esto se hace particularmente visible, si la señal recibida (la muestreada) se aplica a un filtro pasabajos ideal, elemento tecnológico que - como ya se dijo - será el encargado de reconstruir la señal recibida para obtener la original.
El ancho de banda asignado a un canal telefónico es de 4KHz (supongamos para simplificar que el canal esta completamente disponible para telefonía desde 0Hz hasta 4000Hz).
La máxima señal permitida será entonces de 4000 Hz, es decir 4000 ciclos por segundos (en un segundo "entran" 4000 ciclos), según Nyquist si cada ciclo tiene dos muestras se tendrán entonces 8000 muestras por segundo (Notar que es justamente el doble de la máxima frecuencia).
Si codifiquemos la amplitud cada una de las 8000 muestras por segundo con 8 bits, se obtendrá que la cantidad de información a transmitir por el canal es 64000 bps (bit por segundo) o sea la velocidad de un canal telefónico con codificación binaria.
En cambio si usáramos la norma americana donde del Byte a transmitir se destina 1 bit para control nos quedarían solo 7/8 de Byte para datos por lo cual la velocidad será (7/8) 64 Kbps = 56 Kbps. O sea del canal de 64Kbps para datos se utilizan 56 Kbps y los 8Kbps restantes se utilizan para “control”.
Circuito Muestreador
Canal de Comunicaciones
Filtro Pasa Bajos
Señal Original Señal Muestreada Señal Recuperada
1seg = 4000 ciclos
Una Trama nos define como los datos y la información de control se acomodan al flujo de bits que se transmite por un canal de comunicaciones, es decir que una trama nos muestra la definición de la estructura de los datos que son enviados a través de un medio de comunicaciones utilizando una transmisión serie.
Tal como se dijo, no es necesario tener la señal completa sino que basta con al menos dos muestras por ciclo, esto nos deja mucho tiempo libre (véase ///////////////// en la figura) que puede usarse para transmitir otra señal con la única precaución de muestrearla en instantes distintos de las anteriores).
Considerando siempre canales telefónicos, la distancia entre dos muestras será de 125 S (0.125ms), esto nos lleva a que los datos codificados deberán estar también a 125 S uno de otro y entre ellos se intercalarán los demás canales como se muestra en la siguiente figura:
///////////// ///////////// /////////////
///////////// ///////////// /////////////
///////////// ///////////// /////////////
Canal 1
Canal 2
Canal 3
Trama de tres canales en las que se ve que las muestras se entrelazan ocupando los instantes vacíos de los demás canales
Nota: El trabajo de Shannon (1948) es una ampliación del realizado por Nyquist (1924) donde considera un canal que puede ser afectado por ruido de tipo aleatorio.
Bibliografía.
Andrew Tanenbaum. Redes de Computadoras 4ta Edición. Ed. Prentice Hall William Stalling. Data and Computer Communication 10 th ed. William Stalling Books James Kurose. Computer Networking. A top down approach. 6th Ed
