Teorico de Matrices, Resúmenes de Matemáticas

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MATRICES

Y

DETERMINANTES

Empresariales Licenciatura en Economía – Contador Público Matemática II

BREVE RESEÑA HISTÓRICA

 Los determinantes aparecen en la literatura matemática más de un siglo antes que las matrices  Entre los matemáticos que desarrollaron su estudio podemos citar a:  Leibniz (1646-1716) fue el primero que utilizó los determinantes para la resolución de sistemas de ecuaciones  Laplace (1749-1827) introduce el cálculo de determinantes por cofactores  Gauss (1777-1855) desarrolló alguno de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones y cálculo de inversa de una matriz  Cauchy (1789-1857) fue quien hizo quizás la mayor contribución a el desarrollo de la teoría de los determinantes  Jacobi (1804-1851) aplicó el concepto de determinante a la teoría de funciones de varias variables  Hamilton (1805-1865) realizó importantes aportes teóricos a la teoría de matrices  Cayley (1821-1895) fue quizás quien hizo los mayores aportes al Álgebra de las matrices tal como la conocemos hoy día, asociada con la teoría de las transformaciones lineales  Dodgson (1832-1898) (Lewis Carroll) realiza aportes a la resolución de los sistemas de ecuaciones en términos de los determinantes de los menores de la matriz de los coeficientes  Leontief, Wassily (Premio Nobel de economía 1973) por su desarrollo del modelo insumo – producto en el estudio del sistema económico de los Estados Unidos

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Operaciones con matrices:

La siguiente matriz representa entonces las ventas totales para enero- febrero

E + F=

La siguiente matriz representa la variación en las ventas por producto y por región entre enero y febrero.

E - F=

Si una campaña publicitaria incrementara todas las ventas de febrero en un 15%, la siguiente matriz representaría las ventas esperadas para marzo, por región y por producto.

M = 1.15 F=

Finalmente si la matriz P representa el precio de cada producto, la siguiente matriz representaría los ingresos del mes de febrero:

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1- MATRICES

Definición:

Unamatriz es un arreglo rectangular de números, parámetros o variables encerrados por corchetes, llaves o paréntesis. Las líneas horizontales se denominanfilas y las verticales columnas. A su vez cada número, parámetro o variable se denominaelemento de la matriz. El orden de una matriz está dado por el número de filas y columnas que la componen. Al indicar el orden de una matriz siempre se da en primer lugar el número de filas y luego el número de columnas correspondiente.

Notación:

Usaremos letras mayúsculas para las matrices y letras minúsculas para sus elementos. Por ejemplo, An  m indica una matriz con n filas y m columnas y su representación genérica estaría dada por:

n n nm

m

m

n m

a a a

a a a

a a a

A

1 2

. .

. .

. .

21 22 2

11 12 1

Una manera más simplificada de indicar la matriz A sería: A = aij  n  m

, en tanto que aij

representa únicamente al elemento que se encuentra en la intersección de la fila i-ésima con la columna j-ésima.

Algunas matrices particulares:

 Llamaremosmatriz fila a toda matriz de orden 1  m  Llamaremosmatriz columna a toda matriz de orden n  1  En el caso particular en que m = n diremos que A es unamatriz cuadrada de orden n  n

El conjunto de todos los elementos aij de una matriz cuadrada que verificani = j se denomina

diagonal principal. La suma de los elementos de la diagonal principal se denominatraza de la matriz A e indicamos trA.

Ejemplo:

A es una matriz cuadrada de orden 3x3 y su diagonal principal está

compuesta por los elementos 1,2,-4 y su traza es -

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* Producto de una matriz por un número real.

Definición:

Sea  un número real y sea A una matriz nxm A designa a la matriz cuyos elementos

c ij  aij , en otras palabras es la matriz que se obtiene multiplicando cada elemento de A por el

escalar .

Ejemplo:

Propiedades:

1. Distributiva respecto a la suma de matrices:  (A + B) = A + B
2. Distributiva respecto a la suma de números reales: ( + ) A = A + A. 3.Asociativa con respecto a los escalares: ()A = (A) = (A)

* Producto de matrices.

Definición:

Sea An  m y Bm  p llamaremosmatriz producto A.B a la matriz Cn  p cuyo elemento genérico cij se obtiene al multiplicar cada elemento de la i-ésima fila de A por cada elemento de la columna j-ésima de B y sumar los resultados, en símbolos:

ik kj

m

k

cij (^) a b 

1

Observar que para que el producto de matrices esté definido el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Por lo tanto, cuando A y B no sea matrices cuadradas puede suceder que esté definido el producto A.B y no lo esté B.A, lo cual hace necesario indicar el orden en que se realiza la multiplicación: diremos que Apremultiplica a B o que Apostmultiplica a B respectivamente.

Ejemplo:

Sean 

A yB , el producto A.B está definido y es:

 

  

 18 15 0

9 6 1

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Propiedades:

En el caso que los productos correspondientes estén definidos se verifican las siguientes propiedades:

1. Asociativa: (A.B).C = A.(B.C)
2. Elemento neutro: Dada An  m existe una matriz cuadrada Im  m que llamaremosmatriz identidad tal que A.I = A, análogamente existe In  n tal que I.A = A. La matriz identidad es una matriz cuadrada cuyos elementos cij verifican: cij = 1 si i = j, cij = 0 si i  j. ( Es importante notar que si A es una matriz cuadrada nxn el elemento neutro es la matriz identidad nxn y se cumple A.I = I.A = A.)
3. Distributiva: (A + B).C = A.C + B.C

Algunas particularidades del producto de matrices:

 El producto de matrices no es conmutativo en general, aún cuando A.B y B.A existan: Ejemplo:

 

mi entras que 1 0

Las matrices que conmutan con el producto se denominanpermutables o conmutativas

 A.B =  no implica A =  o B = , como lo prueba el siguiente ejemplo:

 A.B = A.C no implica B = C , sean:  

A B C , hallamos que

A.B A.C , aún cuando B  C.

Matriz transpuesta

Definición :

Dada una matriz An  m llamamosmatriz transpuesta de A e indicamos At^ (o A´) a la

matriz de orden mxn que se obtiene al intercambiar filas por columnas, en símbolos si A = aij  n  m

y B = bij  m n 

entonces: bij  a ji  i j ,.

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Anxn es antisimétrica  A = -A’^  a ij   a ji  i j ,

Ejemplo: 

 Matrices triangulares: Una matriz Anxn estriangular superior si y sólo si i > j  aij = 0

Una matriz Anxn estriangular inferior si y sólo si i < j  aij = 0

Ejemplo: 

es una matriz triangular superior.

 Matriz diagonal: Una matriz Anxn es diagonal si y sólo si i j  aij = 0. Toda matriz diagonal

tiene nulos los elementos que no figuran en la diagonal principal.

Ejemplo: 

 Matriz escalar: Una matriz diagonal es escalar si son iguales todos los elementos de su diagonal principal.

Ejemplo: 

 Matriz idempotente: Una matriz Anxn es idempotente si y sólo si es igual a su cuadrado. Anxn es idempotente  A = A^2

Ejemplo: 

 Matriz involutiva: Una matriz Anxn es involutiva si y sólo si su cuadrado es igual a la identidad. Anxn es involutiva  A^2 = I

Ejemplo:  

 Matriz ortogonal: Una matriz Anxn no singular es ortogonal si y sólo si su inversa es igual a su transpuesta. Anxn es ortogonal  A-1^ = A’

Ejemplo:  

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2- DETERMINANTES

Llamaremosdeterminante a una particular función que asigna a cada matriz cuadrada un número real. Es decir podríamos pensar al determinante como un número asociado a cada matriz cuadrada que en cierta manera la identifica. Cada matriz cuadrada tendrá asociado un único determinante, sin embargo matrices cuadradas diferentes podrán tener asociado el mismo determinante. Daremos en primer lugar una definición matemática formal del concepto de determinante, a partir de ella analizaremos ciertas propiedades de los determinantes y basándonos en ellas trataremos de encontrar métodos para el cálculo de determinantes, menos engorrosos que la aplicación directa de la definición. Finalmente veremos aplicaciones de los mismos en el cálculo de la matriz inversa y más adelante en la resolución de sistemas de ecuaciones.

Definiciones previas:

a) Permutaciones: Llamamospermutación de orden n a cualquier disposición de los enteros {1,2,3,4,...,n}, donde cada uno de éstos aparece una y sólo una vez. Para cada n dado existen exactamente n! permutaciones distintas. Las siguientes son las seis permutaciones diferentes de orden tres: {1,2,3}; {1,3,2}; {2,1,3}; {2,3,1};{3,1,2,}; {3,2,1}

b) Diremos que ocurre unainversión en una permutación cada vez que un número de la permutación precede en orden a uno menor. Para hallar la cantidad de inversiones en una permutación basta comparar cada elemento con todos los que le siguen. En las permutaciones del ejemplo anterior hay 0, 1, 1, 2, 2 y 3 inversiones respectivamente.

c) Se dice que una permutación es declase par o impar según sea para o impar el número de sus inversiones. Obviamente si se intercambian dos elementos dentro de una permutación, (consecutivos o no), ésta cambia de clase.

Definición:

Llamaremos determinante de una matriz nxn a la suma de todos los productos diferentes de n elementos de la matriz formados tomando un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna, afectados por el coeficiente +1 si las permutaciones formadas por los subíndices de las filas y columnas son ambas de clase par o ambas de clase impar y afectados por un coeficiente -1 si dichas permutaciones son de distinta clase.

Notación:

Dada la matriz A, indicaremos su determinante como det A o A, no debe confundirse una matriz con su determinante, mientras que la matriz es un arreglo ordenado de números reales, el determinante es un único número real asociado a ella.

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Propiedades:

Las siguientes propiedades se deducen directamente de la definición del determinante asociado a una matriz cuadrada de cualquier orden.

1. Si la matriz A contiene una fila o columna de ceros, det A = 0
2. det A = det A’
3. Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna de la matriz A por el mismo número , el determinante de la matriz obtenida resultará ser: .detA
4. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz A, el determinante de la mueva matriz es el opuesto del det A.
5. Si una matriz A tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces det A = 0.
6. Si una matriz A tiene dos filas o dos columnas proporcionales, entonces det A = 0
7. Si A y B son dos matrices con todas sus filas (o columnas) iguales salvo una y C es una matriz cuyas filas coinciden con las de A y B, salvo la fila no común que se sustituye por la suma de ambas; entonces : det C = det A + det B
8. El determinante de una matriz no varía al sumar a los elementos de una de sus filas o columnas los elementos correspondientes de otra fila o columna multiplicados por algún escalar. Más generalmente el determinante de una matriz no varía si a una de sus filas o columnas se le suma una combinación lineal de las restantes.
9. Si en una matriz A una de sus filas o columnas es combinación lineal de las restantes, entonces el det A = 0.

Desarrollo del determinante por una fila o columna

Definiciones previas:

1. Si en una matriz cuadrada A nxn se suprime la fila que ocupa el lugar i y la columna que ocupa el

lugar j obtenemos una nueva matriz de orden (n-1)x(n-1) que llamaremos submatriz Aijde la

matriz A. Su determinante se denomina menor complementario del elemento aij , en símbolos Mij det Aij

2. Si en el desarrollo del determinante de una matriz A, consideramos todos los términos que contienen como factor al elemento aij y extraemos aij como factor común, la expresión que lo multiplica se denominaadjunto o cofactor de aij y lo indicamos  ij.

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Teorema I: (desarrollo por fila)

El determinante de una matriz A es la suma de los productos de los elementos de una fila cualquiera de la matriz por sus adjuntos correspondientes; en símbolos:

La demostración del teorema es una consecuencia directa de la definición, pues en cada término del desarrollo del determinante figura uno y sólo un elemento de la fila i, agrupando los términos que contienen el mismo elemento de la fila i se obtiene el resultado del teorema.

Teorema II: (desarrollo por columna)

El determinante de una matriz A es la suma de los productos de los elementos de una columna cualquiera de la matriz por sus adjuntos correspondientes; en símbolos:

Teorema III: (no lo demostraremos)

El adjunto del elemento aij es el producto de (-1)i+j^ por su menor complementario

y por lo tanto :

Observaciones: resulta entonces que para calcular el determinante de una matriz A basta elegir una fila o columna "apropiada" multiplicar cada elemento de la misma por (-1)i+j^ y por el determinante que se obtiene al suprimir la fila y la columna correspondientes a dicho elemento, sumando luego todos estos resultados. Es obvio que si la fila o columna utilizada contiene varios ceros los cálculos serán mas simples. De todas maneras utilizando adecuadamente la propiedad 8 puede lograrse una matriz con una fila o columna con varios elementos nulos que tenga el mismo determinante que la matriz original. Veremos ejemplos de la aplicación de esta propiedad en clase.

Propiedades:

1. Si A y B son matrices nxn, det A.B = det A. det B
2. det I = 1
3. det A-1^ = 1/det A

 

n

k

A aik ik

1

det 

 

n

k

A akj kj

1

det 

ij

i j ij^ M

 

^ n   k

ik ik A i^ ka M 1

det ( 1 )