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Tema 3
Conducción estacionaria
unidimensionalunidimensional
Grupo de Ingeniería Térmica
Área de Máquinas y Motores Térmicos Dpto. Ingeniería Mecánica y Construcción [email protected]
Tema 3. Conducción estacionaria unidimensional
ÍndiceÍndice
TC por conducción en Geometrías Planas
Conducción en superficies planas infinitas
Conducción en superficies planas compuestas
TC por conducción en Geometrías Cilíndricas
Conducción en cilindros infinitos
Conducción en cilindros infinitos compuestos
TC por conducción en Geometrías EsféricasTC por conducción en Geometrías Esféricas
Conducción en esferas simples
Conducción en esferas compuestas
Tema 3. Conducción estacionaria unidimensional
1. Introducción
Ecuación General de la Transmisión de Calor por Conducción
En el tema anterior se obtuvo la formulación de la Ecuación General de la
Transmisión de Calor por Conducción a partir de un elemento diferencial.p p
- Con dependencia en el tiempo
- Tridimensional
t
T e c
T a b k
T a b k
T a b k gen p
1 1 2 2 3 3 t
EnEn esteeste tematema sese vava aa particularizarparticularizar dichadicha ecuaciónecuación::
- Al régimen estacionario
- A geometrías que permiten el análisis unidireccional
Geometrías planas (Longitud) Geometrías cilíndricas (radio) Geometrías esférica (radio)
2. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Planas
Régimen estacionario con conductividad variable y sin generación interna
En todos los materiales existe una dependencia, más o menos lineal, de la conductividad térmica en función de la temperatura.p k ( T )k 0 1 b 0 T T 0
Integrando la ecuación diferencial respecto a x:
dx
dT
k
dx
d
T (^ ) C 1
dx
dT
k T
x=0 x=L^ x
E integrando otra vez separando variables:
k^ (T^ )^ dT C^1 dx 0 1 0
2 0 0
T T C x C
T
k T b
T T^ x^1
Ahora aplicaríamos las condiciones de unicidad para poder determinar las dos constantes de la ecuación diferencial:
T 1
Placa plana infinita
constantes de la ecuación diferencial:
Cond. 1ª especie: T x 0 T 1 0 0 0 12 0 0 0 (^1)
T k b T T
k b
C
Cond. 2ª especie: (^) x 0 1 C 1 1
2. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Planas
Régimen estacionario con conductividad constante y con generación interna
En ciertas aplicaciones la transmisión de calor se ve afectada por una generación o absorción interna de calor, como es la generación de calor que se da en conductores eléctricos debido al paso de la corriente eléctrica.
Integrando la ecuación diferencial respecto a x dos veces:
2
k
e
dx
d T gen^
1 0
2
x C x C
k
e
T gen^
x=0 x=L^ x
De nuevo se aplicarían las condiciones de unicidad para determinar las constantes de la distribución de temperaturas.
En el caso de una pared plana infinita con longitud ‘L’ con generación interna cuya temperatura en las superficies externas es constante e igual a ‘Ts’ (Placa inmersa en un fluido a T constante)
T(x) k dT L
Placa plana infinita
T x 0 Ts
T x L Ts
C 0 T s
L
k
e
C gen^
1
Ts Ts
e x^ L 2 dx
k gen
min 0 para 2 x L
gen (^) x L x Ts
k
e
T ^2
x=0 x=L
s s max e (^) gen L 2 parax 0 yx L
2. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Planas
Régimen estacionario con conductividad constante y sin generación interna
En la mayoría de aplicaciones los materiales se podrán considerar con conductividad contante y sin generación interna de calor. Así ocurre con la mayoría de materiales ‘pasivos’ como con los elementos de construcción.
Integrando la ecuación diferencial respecto a x dos veces:
2
dx
d T
T C 1 xC 0
Se obtiene una evolución lineal de temperaturas a lo largo de la pared en
x=0 x=L^ x
Se obtiene una evolución lineal de temperaturas a lo largo de la pared, en función de dos constantes que se determinarán a partir de las condiciones de unicidad del problema.
T
Cond. 2ª especie: (^) x 0 1
C k
1 ^ ^1
Cond. 1ª especie: (^) T x 0 T 1 C 0 T 1
T 1
Placa plana infinita
2. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Planas
Régimen estacionario con conductividad constante y sin generación interna
Si son conocidas las temperaturas en las superficies externas de la placa plana infinita se obtienen las siguientes relaciones: Cond. 1ª especie: (^) T x 0 T 1 C 0 T 1
Cond. 1ª especie: T x L T 2
L
T T
C 1 2 1
A
(área)
T T^2 ^ T^1 xT
Distribución de temperaturas a lo largo de la placa:
x=0 x=L
x T 1
L
T
Flujo térmico que atraviesa la placa:
T 1 T^2
k
L
T T
dx
dT
k 2 1
Placa plana infinita de área transversal A
1 Potencia térmica que se transfiere a través de la placa:
k A
L
T T
Q A
^21
de área transversal A k A
2. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Planas
Muro multicapa. Analogía eléctrica
En general los cerramientos planos suelen componerse de varias capas, donde el análisis mediante la analogía eléctrica sigue siendo válido:
T 0 T
En régimen estacionario el flujo térmico transferido es constante:
k k k 3
T 1 T 2 T 3 1 2 3
0 3 3
2 3 2
1 2 1
0 1 t t t Rt Rt R t
T T R
T T R
T T R
T T Q
L it ti l l í lé t i t
Q
k 1 k 2 k (^3) Lo que nos permite continuar con la analogía eléctrica, en este caso considerando una asociación de resistencias térmicas en serie.
T T
Q
L 1 L 2 L 3
t i RT
T
R
T
Q
, T 0 T 1 T 2 T (^3)
Rt 1 Rt 2 Rt 3
Esta aproximación permite determinar el flujo térmico a través del cerramiento de forma ideal. En la práctica existen otras resistencias térmicas que es necesario considerar:
- ResistenciaResistencia térmicatérmica dede contactocontacto entreentre placasplacas
- Resistencia térmica de convección en las placas exteriores
- Resistencia térmica por convección-radiación en las placas exteriores
2. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Planas
Resistencia térmica de contacto
En el caso anterior se ha supuesto que el contacto entre las placas era perfecto, es decir, que no
Resistencia térmica de contacto
En el caso anterior se ha supuesto que el contacto entre las placas era perfecto, es decir, que no existía diferencia de temperaturas entre una superficie de una placa y la contigua. Sin embargo, en realidad el contacto entre placas no es perfecto, se presentan discontinuidades.
- SoloSolo sese produceproduce contactocontacto enen unosunos puntospuntos concretosconcretos
- Los huecos quedan rellenados por un fluido (actúa como aislante)
T 1 * • Se puede producir un descenso brusco de la temperatura en la
Δ T (^) inter
p p p zona de interfase.
- Este descenso depende de la Resistencia de Contacto.
1 T
T 2 *
Q A
T
h
R
c
C
^1 inter
- Donde la conductancia térmica (h (^) c) se determina experimentalmente
Q^
( (^) c) p
Resistencia térmica y conductancia térmica por contacto en aire Material (^) h (^) c (W/m^2 ∙ºC) Rt (m 2 ∙ºC/W) C C erámica - Cerámicaá i C á i 500500 ‐ 30003000 2 10 2 ∙ 10 ‐‐^33 – 3 33 10 3 .33∙ 10 ‐‐^44 Aluminio - Cobre 12000 ‐^56000 8.3∙^10 ‐^5 – 1.8∙^10 ‐^5 Aluminio – Aluminio (rugoso) 150 6.6∙^10 ‐^3
2. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Planas
Resistencia térmica de convección
Suele ser habitual conocer las temperaturas de los fluidos que envuelven las placas y no tanto la
Resistencia térmica de convección
Suele ser habitual conocer las temperaturas de los fluidos que envuelven las placas y no tanto la temperatura superficial de las mismas.
T, 1
De nuevo en régimen estacionario la potencia térmica que , 1 absorbe^ la^ superficie^ por^ convección,^ la^ conducida^ y^ la^ que transfiere por convección es constante:
, 1 1 1 2 2 , 2 , 1 , 2 R R R
T T R
T T R
T T R
T T Q
T 1 T, 2
T 2
Q
Rconv (^) , 1 Rt Rconv, 2 Rconv, 1 RtRconv, 2
Aparecen las resistencias de convección de las superficies externas.
L R t
k Si recordamos la Ley de Fourier.
Q^ hA T (^) , 1 T 1 , 1
, 1 1 , 1 1
1 Rconv
T T
h A
T T
Q
Rconv , 1 Rconv, 2 ^
T ∞ ,1 T 1 T 2 T ∞ ,2 h^ A
Por lo que podemos definir la resistencia térmica de convección de la superficie como:
h A
Rconv
, 1
2. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Planas
Resistencia térmica de convección-radiación
Cuando el fluido en contacto con la superficie en un gas, el intercambio de calor por radiación
Resistencia térmica de convección-radiación
Cuando el fluido en contacto con la superficie en un gas, el intercambio de calor por radiación suele ser no despreciable, por lo que deben considerarse ambos efectos.
T
El balance en la superficie, en estacionario, establece que la
Talr potencia transferida por conducción será igual a la suma de la
transmitida por convección y por radiación.
T 1 Qcond QconvQradhA T (^) T 1 AT (^) alr^4 T 14 T 2
Q E l l d l fl id ( ) i l l d l
Q^ cond
En el caso que la temperatura del fluido (T ∞ ) sea igual a la de los alrededores (Talr) puede expresarse el flujo térmico manipulando la expresión anterior como:
T T
Q rad
Q
Rconv (^) rad R t
conv rad
cond
R
T T
Q
^ ^1
Donde (Rconv-rad) es la resistencia térmica combinada de radiación y convección
Q conv
T ∞ T 1 T (^2)
conv rad A hconv hrad
R
hrad TT 1 T (^) ^2 T 12
De esta forma es posible analizar el intercambio de calor combinado con la metodología desarrollada para casos anteriores sin tener que considerar términos a la cuarta. Ver para más información: Norma UNE-EN-ISO 12241
Tema 3. Conducción estacionaria unidimensional
3. TC por Conducción en Geometrías Cilíndricas
Ecuación General de la Transmisión de Calor por Conducción
Para el análisis de la Transmisión de Calor por Conducción en geometrías cilíndricas en
régimen estacionario partiremos de la ecuación general aplicada al caso unidireccional,
siendo en este caso la dimensión fundamental el radio.
T=f(r)
egen
T
k r 0
egen
dT
k r
d
Aunque son varias las posibilidades únicamente analizaremos dos casos:
^0
egen
r
k
r r
^0
egen
dr
k r
rdr
Aunque son varias las posibilidades, únicamente analizaremos dos casos:
- En régimen estacionario con
conductividad constante y con 0
dT e
r
d gen
Cilindro hueco conductividad constante y con generación interna
^0
dr k
r
rdr
- En régimenEn régimen estacionario conestacionario con (^) conductividad constante y sin generación interna
^0
dr
dT
r
dr
d
3. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Cilíndricas
Régimen estacionario con conductividad constante y con generación interna
En ciertas aplicaciones de Transmisión de Calor por conducción en geometrías cilíndricas tendremos absorción o generación de energía interna en el interior del sólido, como consecuencia de alguna transformación de energía interna (eléctrica, nuclear, química,… )
Resolvemos la ED para el caso de un cilindro macizo con generación interna de calor uniformemente distribuidainterna de calor uniformemente distribuida.
k
e
dr
dT
r
dr
d
r
gen ^ f(r) 1 0
2
ln
r C r C
k
e
T
gen
e r^ dr dr k 4 k
Se obtiene una evolución de la temperatura en función del radio que depende de dos constantes. Estas quedarán determinadas por las di i d i id d d l bl
r = rext
L
e gen
Flujo nulo en el centro: (^) r 0 0 C 1 0
condiciones de unicidad del problema.
e
A 2 rext L
Temperatura en superficie conocida T rrext Text 0 2
4 ext
gen ext (^) k r
e C T
2 2 4
r r k
e T T ext gen (^) ext
El campo de temperaturas:
La potencia térmica conducida por la superficie exterior: Q Legen r ext^2
3. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Cilíndricas
Régimen estacionario con conductividad constante y sin generación interna
En la mayoría de casos podrá considerarse que los materiales tienen conductividad constante y que no poseen generación ni absorción interna de calor. (conducciones de fluidos y aislantes)
Resolvemos la ED para el caso de un cilindro hueco sin generación interna:
d (^) dT f(r)
T C l C
T
^0
dr
r
rdr
T C 1 ln rC 0
Se obtiene una evolución de la temperatura logarítmica en función del
re ri
Te
radio. Aplicando las condiciones de unicidad en las que se conoce la temperatura interna y externa del sólido T Ti
L Ti
Temp. en superficie conocida T^ ^ rri ^ Ti
i e i
e i
i r
r r
T T
C T ln
ln
A 2 re L
Temp. en superficie conocida (^) T rre Te ^
e i
r r
T T
C
ln
1
(^) i e e i
i
i T T
r r
rr
T T
ln
ln
El campo de temperaturas:
ln re ri
La potencia térmica conducida por la superficie exterior: (^) e i
i e
r r
T T
Q k L
ln
3. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Cilíndricas
Resistencia térmica de convección
Como en el caso de las paredes planas suele ser habitual conocer la temperatura de los fluidos
Resistencia térmica de convección
Como en el caso de las paredes planas suele ser habitual conocer la temperatura de los fluidos que circulan por el interior y exterior de los tubos, como ocurre en los intercambiadores térmicos.
En estos casos puede expresarse también la resistencia térmica que Q^ introduce la convección en las superficies interna y externa del cilindro.p y
Tot
i e convi t conve
i e conve
e e t
e i convi
i i
R
T T
R R R
T T
R
T T
R
T T
R
T T
Q , ,
, ,
, , ,
, ,
Q
re
T , i
ri Donde:
i i i i
conv i
A h r L h
R
, Debe tenerse precaución al expresar
Ti
T ,e Te
Ai hi 2 ri L h i
k L
r r
R t e i
ln
Debe tenerse precaución al expresar las resistencias térmicas por convección, ya que dependen de las áreas internas y externas, al igual que los coeficientes de convección. e e e e
Rconv eAh 2 rLh
,
los coeficientes de convección.
T (^) i T (^) e
R t T ∞ ,i T ∞ ,e
Rconv (^) , i Rconv (^) ,e
3. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Cilíndricas
Coeficiente Global de Transmisión de Calor
Coeficiente Global de Transmisión de Calor
Considerando todas las resistencias térmicas analizadas anteriormente puedep evaluarse la Transmisión de Calor a través de un cilindro multicapa según la expresión del Coeficiente Global de Transmisión de Calor, en este caso referido a una de las superficies:
Q^ U·A ·(T T ) (T,i^ T,^ e)
Q
i e
i e
k L r Lh
r r
k L
r r
rLh
Q U A T T
ln
ln
2 3
3 2 1
2 1 1
1 1 , ,
r 2 r
r 3 A 1
Despejando de la anterior igualdad el Coeficiente Global:
T T
T , i
r 1
T 3
Despejando de la anterior igualdad el Coeficiente Global:
r h
r r r k
r r r k
r h
U 1 ln ln 1
1 1 3 2 1 2 1 1 1
T , e
T 1
T 2 hi k 1 k 2 r 3 he
Y expresado en forma general para la superficie 1 en un cilindro multicapa con n capas:
T n e
n
j
j j i j
AR
r h
r
r r
k
r
h
U
·ln
1 1
1 1
1
1
EnEn conductosconductos circularescirculares elel UU debedebe referirsereferirse aa unauna superficiesuperficie determinadadeterminada , cumpliéndose:cumpliéndose:
T
U A U A Un An R
3. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Cilíndricas
Resistencia térmica por ensuciamiento
Otra resistencia térmica habitual a la Transmisión de Calor por conducción en conductos circulares
Resistencia térmica por ensuciamiento
Otra resistencia térmica habitual a la Transmisión de Calor por conducción en conductos circulares corresponde al ensuciamiento de los conductos.
- Pueden aparecer en la parte interna o externa.
- Supone una resistencia adicional a la transmisión de calor.
- La resistencia depende del material depositado.
- Se evalúan experimentalmente.
- La influencia de las deposiciones en la Transmisión de Calor se contabiliza como una resistencia en serie junto con las de conducción y convección.
RTot Rconv,i RincrustacRtRconv, e
RR esistencia térmica por ensuciamientoi t i té i i i t Fluidos (^) Rt (m 2 ∙ºC/W) Agua (Tª<50ºC) 1 ∙^10 ‐^4 A A gua (Tª>50ºC)( ª 0ºC) 2 ∙ 10 ‐^44 Aire 4 ∙ 10 ‐^4
3. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Cilíndricas
Radio crítico
Si consideramos un conducto circular aislado externamente podemos evaluar la potencia térmica
Radio crítico
Si consideramos un conducto circular aislado externamente podemos evaluar la potencia térmica transferida a través del material aislante hacia el exterior por convección como: Q (^) t
e
r r
T T
R R
T
Q
ln i t 1
^1 ^ ,
T , i
rext rint
Ais ext e
tAislante tConvección ext
k L r Lh
R R r r
, , ln^ int
2. W)
2. W)
T , e
T 1
T 2 2.
e^ conducto
(m
∙ºC/W 2.
e^ conducto
(m
∙ºC/W
- Punto de mínima resis. térmica
- Punto de máxima TC.
Observamos:
- Al aumentar el r (^) ext aumenta la R i i é i
1.
1.
por
metro
lineal
de
1.
1.
por
metro
lineal
de
R t,Total
Radio Crítico
Resistencia térmica por conducción.
- Al aumentar el r (^) ext disminuye la Resistencia térmica por ió
0. sistencia
térmica
p
0. sistencia
térmica
p
R t,Conducción
convección. R
0. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.
Res
Espesor de aislamiento (m)
0. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.
Res
Espesor de aislamiento (m)
Rt,Convección
Tema 3. Conducción estacionaria unidimensional
4. TC por Conducción en Geometrías Esféricas
Ecuación General de la Transmisión de Calor por Conducción
Para el análisis de la Transmisión de Calor por Conducción en geometrías esféricas en
régimen estacionario partiremos de la ecuación general aplicada al caso unidireccional,
siendo en este caso la dimensión fundamental el radio de la esfera.
T=f(r)
e
T
k r 0
e
dT
k r
d
Aunque son varias las posibilidades únicamente analizaremos dos casos:
2 ^0
egen
r
k r
r r
2 ^0
egen
dr
k r
r dr
Aunque son varias las posibilidades, únicamente analizaremos dos casos:
- En régimen estacionario con
conductividad constante y con 0
dT e
r
d gen
Esfera conductividad constante y con generación interna
En régimen estacionario con
2 ^0
dr k
r
r dr
- En régimen estacionario con conductividad constante y sin generación interna
dr
dT
r
dr
d
4. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Esféricas
Régimen estacionario con conductividad constante y con generación interna
Partiendo de la EC General, e integrándola dos veces, se obtiene la distribución general de temperaturas en una esfera con generación interna de calor.
k
e
dr
dT
r
dr
d
r
gen ^ f(r) 1 0
C
r
r C
k
e
T
gen
El flujo de calor que atraviesa las superficies de la esfera:
r = ro
e gen
(^12)
k
r C
dT e
k
gen
(^12)
3 r
r C
dr k
k
La potencia térmica que se transfiere a través de las superficies de la esfera:
4 e
T 1
A 4 r^2 r C k
k
e
Q A
gen
3
ParticularizandoParticularizando lala ecuaciónecuación parapara elel casocaso dede unauna esferaesfera macizamaciza concon generacióngeneración internainterna dede calorcalor yy con temperatura superficial conocida:
Flujo nulo en el centro: (^) r 0 0 C 1 0 2
e 2
T T
gen
Temp. en superficie conocida: T rro T 1 0 1 02
r
k
e
C T
gen
^
(^22) 1 0
r r
k
T T
gen
4. Transmisión de Calor por Conducción en Geometrías Esféricas
Régimen estacionario con conductividad constante y sin generación interna
Particularizando la ecuación para el caso de una esfera hueca sin generación interna de calor:
rext^0
dr
dT
r
dr
d ^ f(r) 1 0
C
r
T C
rint Temp. en superficie conocida:T^ ^ rri^ ^ Ti e i
e e i i
r r
rT rT
C
0
Temp en superficie conocida: T T i^ e
T T
C rr
Tint
Temp. en superficie conocida:T rre Te e i
i e i e
r r
C rr
1 ^ ··
El campo de temperaturas:
A 4 r^2
Text
i i^ T^ i Te
r r
r r
T T
re r i
La potencia térmica conducida:
Q ·A k·A·dT 4 · ·k·Ti^ T^ e
ri r e
k
dr
Q A kA
