Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Documento que presenta conceptos básicos de matrices y determinantes, incluye el cálculo de determinantes de ordenes 2 y 3, reglas de sarrus, transformaciones elementales y propiedades de determinantes. Además, se explica el cálculo del rang de sistemas lineales no homogéneos y homogéneos.
Tipo: Apuntes
1 / 18
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
1 matrius
2 determinants
C`alcul de determinants
Transformacions elementals
Exemples
(^3) Sistemes d’equacions lineals
Notaci´o. Transformacions elementals
Teorema Rouch´e-Frobenius
Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang
No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible
Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Operacions A = (aij )m,n B = (bij )s,r
ordre A= m × n
files columnes
A + B A + B = (aij + bij )m,n ordre A=ordre B
k·A, k∈ R k·A = k(aij )m,n = (kaij )m,n
A · B A · B = (cij )m,r ordre A = m × n, ordre B = n× r
on cij = (ai 1 ai 2 · · · ain)
b 1 j
b 2 j
. . .
bnj
= ai 1 b 1 j + · · · + ainbnj
A · B 6 = B · A ordre (A · B) = m × r
T A
T = (aji)n,m matriu transposada
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
C`alcul de determinants Transformacions elementals Exemples
Ordre 2:
a 11 a 12
a 21 a 22
= a 11 a 22 − a 12 a 21
Ordre 3: Regla de Sarrus det A= (Ex. p`ag. 4)
Adjunt d’aij : Aij = (−1)
i+j · αij
on αij ´es el Menor complementari d’aij :
determinant que s’obt´e d’eliminar d’A,
la fila i la columna d’aij
Ex. a 21 = 3, A 21 = −
∣ ∣ ∣ ∣
− 2 1 7 − 3
∣ ∣ ∣ ∣
Desenvolupament per una fila o columna
detA = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + · · · + ainAin, i ∈ { 1 , · · · n}
= a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + · · · + anj Anj , j ∈ { 1 , · · · n}
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
C`alcul de determinants Transformacions elementals Exemples
Transformacions elementals en determinants
T1 Intercanviar dues files=⇒ canvia de signe el determinant
T2 Sumar a una fila un m´ultiple d’una altra=⇒ no canvia el determinant
T3 Multiplicar una fila per un escalar no nul, λ=⇒ es multiplica per λ el
determinant
En determinants les transformacions elementals funcionen igual per
columnes
Hi ha una l´ınea (fila o columna) que ´es combinaci´o lineal d’altres
⇐⇒ det A=
det A=det A
T
det (A · B)=det A·det B
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Teorema Rouch´e-Frobenius Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
A matriu associada al sistema , m × n
x vectors d’inc`ognites, n × 1
b vector dels termes independents, m × 1
x −y +z = 0
2 x −y −z = 5
x +2y +z = 3
x
y
z
Matriu ampliada: (A|b) =
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Teorema Rouch´e-Frobenius Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
Sistemes d’equacions equivalents ←→ Mateix conjunt de solucions
Transformacions elementals amb la matriu ampliada (A|b)
Transformen un sistema d’equacions en un altre d’equivalent.
T1 Intercanviar dues files
T2 Sumar a una fila un m´ultiple d’una altra
T3 Multiplicar una fila per un escalar no nul
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Teorema Rouch´e-Frobenius Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
Resoluci´o de sistemes pel m`etode de Gauss:
Sistema d’equacions lineals
transf ormacions − − − Sistema triangular superior
elementals (^) ↑
Les solucions s’obtenen a¨ıllant i
substituint les corresponents variables
des de l’´ultima fila, fins la 1 a .
Resoluci´o de sistemes pel m`etode de Cramer:
S’aplica quan det(A) 6 = 0, on A ´es la matriu associada al sistema.
Cada inc`ognita xi =
detAi
detA
, on Ai ´es la matriu resultant de substituir
la columna i d’A per la columna dels termes independents.
∗
Es molt ´util si nom´es es vol calcular alguna de les inc`ognites.
∗Tamb´e s’utilitza en sistemes amb par`ametres.
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Teorema Rouch´e-Frobenius Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
Exemple. Resolem el sistema seg¨uent pel m`etode de Cramer
x −y +z = 0
2 x −y −z = 5
x +2y +z = − 3
⇐⇒ (A|b) =
detA =
= 9 6 = 0 Per tant, podem aplicar Cramer.
x =
detA
= 1 y =
detA
z =
detA
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Teorema Rouch´e-Frobenius Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
submatrius quadrades) no nuls de la matriu.
Exemple. Calculem rang(A) aplicant determinants :
Busquem un menor d’ordre dos, no nul (l’hem
senyalat en blau). Orlant amb la 3
a fila obtenim: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
Per tant, la 3 a fila ´es combinaci´o lineal de les dues primeres i la podem
eliminar (sense canviar el rang).
Orlant amb la 4
a fila,
= 0 Per tant, rang(A)=3.
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Teorema Rouch´e-Frobenius Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
Exemple. Resolem sistemes lineals (no homogenis) aplicant Gauss.
F 3 ←→ F 3 − F 1
F 3 ←→ F 3 − 3 F 2
(^) rang(A)=rang(A|b)=3=n
x −y +z = 0
y − 3 z = 5
9 z = − 18
x = 1
y = − 1 (1, − 1 , −2)
z = − 2
Sistema compatible-determinat. Soluci´o: 1 punt
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Teorema Rouch´e-Frobenius Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
F 2 ←→ F 1
F 2 ←→ F 2 − 2 F 1 F 3 ←→ F 3 − 3 F 1
F 3 ←→ F 3 − F 2
(^) rang(A)=2 6 = rang(A|b)=
Sistema incompatible. No t´e soluci´o.
matrius determinants Sistemes d’equacions lineals
Teorema Rouch´e-Frobenius Metode de Cramer. Metode de Gauss. C`alcul del rang No homogenis: compatible (determinat o indeterminat) i incompatible Homogenis: compatible (determinat o indeterminat)
Homogenis
Un sistema d’equacions lineals s’anomena homogeni si tots els termes
independents s´on nuls.
b = ~ 0 =⇒ rang(A)=rang(A|b) ⇐⇒ sistema compatible
Pot ser compatible determinat o indeterminat per`o, com a m´ınim, admet
la soluci´o trivial x 1 = 0, · · · , xn = 0.
Ex. Homogeni compatible-determinat:
F 3 ←→ F 3 − 3 F 1
F 3 ←→ F 3 − 5 3 F^2
2 3
(^) rang(A)=rang(A|b)=3=n
x +y +4z = 0
− 3 y − 8 z = 0
−
2 3 z = 0
x = 0
y = 0 (0, 0 , 0)
z = 0
