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En este documento se presentan conceptos básicos de probabilidad condicional y se introducen dos importantes teoremas: el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes. El primero nos permite calcular la probabilidad de un suceso sabiendo las probabilidades condicionales de dicho suceso con respecto a diferentes sucesos. El segundo teorema nos permite calcular la probabilidad de un suceso sabiendo que dicho suceso cumple una determinada característica. Se incluyen ejemplos para clarificar los conceptos.
Tipo: Resúmenes
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SEXTO SEMESTRE MODULO VI PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II ACTIVIDAD 5. RESUMEN VELAZQUEZ GUERRERO OSCAR DAVID
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P o P, y se lee «la probabilidad de A dado B». No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B.
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas: Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es: Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito : Los sucesos A tienen que formar un sistema completo , es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
Ejemplo del teorema de Bayes Una empresa tiene una fábrica en Estados Unidos que dispone de tres máquinas A, B y C, que producen envases para botellas de agua. Se sabe que la máquina A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30% , y la máquina C un 30%. También se sabe que cada máquina produce envases defectuosos. De tal manera que la máquina A produce un 2% de envases defectuosos sobre el total de su producción, la máquina B un 3%, y la máquina C un 5%. Dicho esto, se plantean dos cuestiones: P(A) = 0,40 P(D/A) = 0, P(B) = 0,30 P(D/B) = 0, P(C) = 0,3 0 P(D/C) = 0, 1.Si un envase ha sido fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Se calcula la probabilidad total. Ya que, a partir los diferentes sucesos, calculamos la probabilidad de que sea defectuoso. P(D) =[ P(A) x P(D/A) ] + [ P(B) x P(D/B) ] + [ P(C) x P(D/C) ] = [ 0,4 x 0, ] + [ 0,3 x 0,03 ] + [ 0,3 x 0,05 ] = 0, Expresado en porcentaje, diríamos que la probabilidad de que un envase fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos sea defectuoso es del 3,2%.
P(A/D) = [P(A) x P(D/A)] / P(D) = [0,40 x 0,02] / 0,032 = 0, P(B/D) = [P(B) x P(D/B)] / P(D) = [0,30 x 0,03] / 0,032 = 0, P(C/D) = [P(C) x P(D/C)] / P(D) = [0,30 x 0,05] / 0,032 = 0, Sabiendo que un envase es defectuoso, la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A es del 25%, de que haya sido producido por la máquina B es del 28% y de que haya sido producido por la máquina C es del 47%.
