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UNIDAD I 2.1 DERIVADAS 2.2. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 2.3. APLICACIONES QUE INVOLUCRAN UN EXTREMO ABSOLUTO EN UN INTERVALO CERRADO UNIDAD II 2.4. MÉTODOS TRIGONOMÉTRICOS 2.5. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA A LA AGROINDUSTRIA UNIDAD III 2.6. APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
Tipo: Ejercicios
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Curso : Análisis Matemático
Docente : Díaz Leiva José Levi
Alumna : Miñan Fiestas Génesis
Carrera : Ing. Agroindustrial
Sección : A
La derivada de una función (𝑥) en un punto 𝑎 a se define formalmente como el límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero. Matemáticamente, se expresa como:
𝑓′(𝑎) = lim ℎ→0^ 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)ℎ
Esta definición representa la tasa de cambio instantánea de la función en el punto 𝑎. La noción de límite es esencial en este contexto, ya que permite aproximar el comportamiento de la función en un entorno infinitesimal. Este cociente de diferencias, conocido como cociente incremental, mide el cambio en la función f(x) cuando la variable x cambia ligeramente por un valor h. Conforme h tiende a 0, obtenemos la derivada, es decir, la pendiente de la tangente a la curva en el punto a. ❖ Reglas de derivación Para calcular derivadas de funciones más complejas sin recurrir siempre a la definición de límite, se emplean reglas de derivación que simplifican este proceso. Entre las más comunes se encuentran:
𝑛 (^) = n𝑥𝑛−
𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)) =^
𝒇′(𝒙)𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙) 𝒈(𝒙)𝟐
El teorema del valor medio de Lagrange, también denominado teorema de Bonnet-Lagrange, teorema de los incrementos finitos, teoría del punto medio, o simplemente teorema del valor medio establece que si una función es continua en un intervalo [a,b], y derivable en su interior (a, b), entonces existe al menos un valor cϵ(a, b) tal que:
𝑓′(𝑐) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝑏 − 𝑎
Como puedes observar, f'(c) es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto c, y 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 es la pendiente de la recta secante a la función, que une a y b. Funciones auxiliares para la demostración del teorema del valor medio Las funciones necesarias para la demostración del teorema del valor medio son s(x), que es la cuerda que corta a la función en los extremos del intervalo, y l(x). Esta última se construye como la diferencia de los valores de ordenada de f(x) y s(x). En la gráfica se ha marcado dicha diferencia en un x aribitrario como una línea discontinua azul. La expresión de l(x)=f(x)-s(x), sustituyendo en ella la expresión de s(x) es:
𝑙(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝑏 − 𝑎 (𝑥 − 𝑎) − 𝑓(𝑎)
Dicha función satisface las hipótesis del teorema de Rolle. Observa:
(La función existe para cualquier xϵ(a, b)).
Como satisface el teorema de Rolle, podemos decir que existe un c∈(a, b) tal que l'(c)=0, con lo que...
𝑙′(𝑐) = 0 = 𝑓′(𝑐) − 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝑏 − 𝑎 ⇒ 𝑓′(𝑐) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝑏 − 𝑎
que es justo lo que queríamos demostrar.
Si estamos trabajando con una función continua definida en un dominio cerrado y acotado la situación es particularmente sencilla, porque en este caso la función alcanza con toda seguridad sus extremos absolutos (máximo y mínimo) en dicho dominio (teorema de Weierstrass). Por tanto, para identificar sus extremos absolutos:
Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz. Técnicas básicas
En la ingeniería agroindustrial la integral indefinida es una herramienta fundamental para modelar y analizar procesos complejos. Su aplicación en esta rama de la ciencia se da para diversos campos.
Área bajo la curva
La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x)y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.
𝐴𝑅𝐸𝐴 ≈ ∑ 𝑓𝑖 ∆ 𝑥
𝑛 𝑖= 0
Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es más grande y mejor la aproximación al valor del área. La Integral como Límite del Área: La aproximación al valor del área bajo una curva puede mejorarse tomando rectángulos de aproximación más estrechos. La idea de la integral es incrementar el número de rectángulos N hacia el infinito, tomando el límite cuando el ancho del rectángulo tiende a cero. La suma se convierte en la integral
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∑ 𝑓𝑖(𝑥) ∆ 𝑥
𝑁 𝑖=𝑡
𝑋𝑛 0 Aunque el concepto de área geométrica es una forma conveniente devisualizar una integral, la idea de la integración es mucho más general. Cualquier variable física continua puede ser "troceada" en incrementos infinitesimales (elementos diferenciales) de modo que, la suma del producto de ese "ancho" por el valor de la
función se acerca a una suma infinita. La integral es una herramienta poderosa para modelar problemas físicos que impliquen cantidades que varíen continuamente.
ℎ→0^ lim^ 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)ℎ
𝑓′(2) = lim ℎ→0^ 𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)ℎ = lim ℎ→0^ 𝑓(2 + ℎ − 1)
= lim ℎ→0(ℎ+1)ℎ 2 −1= lim ℎ→0ℎ^2 +1+2ℎ−1ℎ
= lim ℎ→0ℎ
(^2) +2ℎ ℎ = lim ℎ→
ℎ(ℎ+2) ℎ = 2
𝑓′(𝑥) = ℎ(𝑥). 𝑔
Actividad 1 Objetivo. Identificar la continuidad y diferenciabilidad de las funciones como una condición para el trazado de tangentes con igual pendiente a la secante de una función ƒ en un intervalo [A, B]. Solución: Función con raíz: 𝑥 Es continua para todo su dominio que ∈ 𝑅+ {0} La función es derivable dentro del intervalo < 0, 9 >. La recta tangente del punto (9/4, 3/2) // a la recta secante de los puntos A (0,0) y B (9, 3), por tanto 𝑚 1 = 𝑚 2 = 1/3 cumple con el teorema.
Actividad 2 Objetivo. Ejemplificar cómo la discontinuidad y no diferenciabilidad de funciones imposibilita el trazo de tangentes con pendiente igual a la secante de una función ƒ en un intervalo [A, B]. Solución
Actividad 3 Función polinomial grado 3: (𝑥 − 4)(𝑥 + 2)^2 Solución:
Como el coste de la cerca del lado no paralelo al río es 12 y la longitud de estos lados es igual a x pies lados, entonces el costo para cada uno de estos lados es 12x dólares. De la misma forma el coste para el lado paralelo es 18y dólares, quedando la siguiente ecuación: 12 𝑥 + 12𝑥 + 18𝑦 = $400… (2) A fin de expresar A en términos de sólo una variable, se resuelve (2) para y en términos de x y se sustituye este valor en (1), obteniéndose A como una función de x:
𝐴(𝑥) = 𝑥 (300 −^43 𝑥) … (3)
De (3), para hallar los puntos críticos:
𝐴(𝑥) = 𝑥 (300 −^43 𝑥) = 0
𝑥 = 0, 𝑥 (300 − 43 𝑥) = 0 4 3 𝑥 = 300 4𝑥 = 300 𝑥 = 225 El valor x que hará de a un máximo absoluto, debe estar en el intervalo cerrado [0. 225]. Como A es continua en el intervalo [0,225], por el teorema del valor extremo, A tiene valor máximo absoluto en el intervalo. De (3), se tiene
Se define x para los lados no paralelos al río, y la variable y para el lado paralelo. Entonces A Pies cuadrados será el área del terreno:
Como A'(x) existe para todo x, los números críticos de A se determinan al considerar A' (x) = 0, de lo que se obtiene:
0 = 300 −^83 𝑥 8 3 𝑥 = 300 𝑥 = 112. El único número crítico de A es 112.5, el cual se encuentra en el intervalo cerrado [0, 225]. El valor máximo absoluto de A en [0, 225] es 16 875, el cual ocurre cuando x= 112.5 y y= 150. Se determina que el punto más alto de la gráfica es (112.5, 16 875), lo cual confirma la respuesta.
1. Integración por cambio de variable.
𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑢 , 𝑑𝑤 = 1/𝑠𝑒𝑛2𝑑𝑢 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 , w=-cotu
El terreno de mayor área posible que se puede encerrar con s/5 400 de cerca tiene un área de 16 875 pies, obtenido cuando la longitud del lado paralelo al río mide 150 pies y la longitud de cada lado no paralelo al río es de 112.5 pies.
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛−1𝛽 ; 𝑑𝑢 = (^) √1 − 𝛽^12 𝑑𝛽
𝑑𝑣 = 𝛽 𝑑𝛽 ; 𝑣 = 𝛽
2 2 ∫ 𝛽 𝑠𝑒𝑛−1^ 𝛽 𝑑𝛽 =^ 𝛽 22 𝑠𝑒𝑛−1𝛽 − ∫ (^) 2√1−𝛽𝛽^22 𝑑𝛽 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑢 = 1 − 𝛽^2 ; 𝑑𝑢 = −2𝛽 𝑑𝛽 ∫ 𝛽 𝑠𝑒𝑛−1^ 𝛽 𝑑𝛽 = 𝛽 22 𝑠𝑒𝑛−1𝛽 + √1−𝛽 4 2 + 𝐶
3. Integración por fracciones parciales 1. (^) ∫ (^) 𝛽𝑑𝛽 (^3) +
Factorizamos el denominador: 𝛽^3 + 1 = (𝛽 + 1)(𝛽^2 − 𝛽 + 1) Reescribimos la integral como: 𝐼 = ∫ (^) (𝛽 + 1)(𝛽𝑑𝛽 (^2) − 𝛽 + 1) Descomposición en fracciones parciales 1 (𝛽 + 1)(𝛽^2 − 𝛽 + 1) =^
𝐴 𝛽 + 1 +^
𝐵𝛽 + 𝐶 𝛽^2 − 𝛽 + 1 ( (^) (𝛽 + 1)(𝛽^12 − 𝛽 + 1))((𝛽 + 1)(𝛽^2 − 𝛽 + 1)) = ( (^) 𝛽 + 1 𝐴 + (^) 𝛽 2 𝐵𝛽 + 𝐶 (^) − 𝛽 + 1)(𝛽 + 1)(𝛽^2 − 𝛽 + 1) 1 = 𝐴(𝛽^2 − 𝛽 + 1) + (𝐵𝛽 + 𝐶)(𝛽 + 1) 1 = 𝐴𝛽^2 − 𝐴𝛽 + 𝐴 + 𝐵𝛽^2 + 𝐵𝛽 + 𝐶𝛽 + 𝐶 Agrupamos 𝛽^2 , 𝛽 𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 1 = (𝐴 + 𝐵)𝛽^2 + (−𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝛽 + (𝐴 + 𝐶) Se expresa como sistema de ecuaciones:
=
1 3 𝛽 + 1 +
(−^13 )𝛽 +^23 𝛽^2 − 𝛽 + 1 Integrar cada fracción parcial:
= ∫
1 3 𝛽 + 1 + ∫
(−^13 )𝛽 +^23 𝛽^2 − 𝛽 + 1 = 13 ln(𝛽 + 1) − 16 ln(𝛽^2 − 𝛽 + 1) + (^) √3^1 𝑡𝑎𝑛−1(2𝛽−1√3 )+C
Factorizamos el denominador: 𝜃^2 + 3θ + 2 = (θ + 1)(θ + 2) Descomponemos la fracción para establecer variables: 1 (θ + 1)(θ + 2) =^
𝐴 θ + 1 +^
𝐵 θ + 2 Se determina A y B: 1=A(θ+2)+B(θ+1) 1 = 𝐴𝜃 + 2𝐴 + 𝐵𝜃 + 𝐵 … agrupamos términos 1 = (𝐴 + 𝐵)𝜃 + (2𝐴 + 𝐵) A=1 B=- Reescribir la fracción parcial 1 (θ + 1 )(θ + 2 ) =^
1 𝜃 + 1 −^
1 𝜃 + 2
= ∫ (^) 𝜃 +^1 1 𝑑𝜃 − ∫ (^) 𝜃 +^1 2 𝑑𝜃
= ln(𝜃 + 1) − 𝑙𝑛(𝜃 + 2) + C
EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Producto de senos: 𝑠𝑒𝑛(𝐴) 𝑠𝑒𝑛(𝐵) = 12 [𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)]
𝐴 = 𝜋 4 − 𝜔 𝑦 𝐵 = 𝜋 4 + 𝜔
𝑠𝑒𝑛(𝜋 4 − 𝜔) 𝑠𝑒𝑛( 𝐵 = 𝜋 4 + 𝜔) =^12 [𝑐𝑜𝑠((𝜋 4 − 𝜔) − (𝜋 4 + 𝜔)) − 𝑐𝑜𝑠((𝜋 4 −) + (𝜋 4 + 𝜔))]
𝑠𝑒𝑛(𝜋 4 − 𝜔) 𝑠𝑒𝑛( 𝐵 = 𝜋 4 + 𝜔) =^12 [𝑐𝑜𝑠(−2𝜔) − 𝑐𝑜𝑠(𝜋 2 )] 𝜋 2 = 0
𝑠𝑒𝑛(𝜋 4 − 𝜔) 𝑠𝑒𝑛( 𝐵 = 𝜋 4 + 𝜔) =^12 𝑐𝑜𝑠(−2𝜔)
𝑐𝑜𝑠(−2𝜔) = 𝑐𝑜𝑠(2𝜔)
