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Capítulo 2. LA INTEGRAL DEFINIDA 1, INTRODUCCIÓN Notación: — Lanotación f: A——>/R indica que fes una función de A en ¿R, en la que: 2 Rmg() z sj 1) Dom(f)= A <—es un intervalo ii) Rang(f)< IR, Rang(f)=f(4) DN) 1.1. Continuidad de una Función Dada la función f :[a,b]——> ¡R, comentaremos que la continuidad de fen un punto xp € [a,b], la continuidad de f en todo el intervalo [a,b] y de las funciones seccional- mente continuas. A) Definición.- Diremos que f(x) es continua en xy e Dom(f) si cumple 3 condi- ciones: 19 f está definido en xp, es decir (xp) es un número real del Ran(f), siendo xq e Dom(f) 22 Existen los límites laterales en xy y son iguales. Cuando ocurre esto se escribe lim f()=L, LeR. x>% 3 f(x0)= lim f()=L 1x9 Otra definición equivalente es: f es continua en xy e Dom(f) sí, y sólo si dado £>0 existe 9>0 tal que ix=xp]
R Diremos que fes continua en [a,b], si y sólo si fes continua en cada punto “x” perte- neciente al intervalo [a,b]. C) Sea la función f:[a,b] —> IR Una función f se llama SECCIONALMENTE CONTINUA sobre [a,b] si f'es continua en | todo xe[a,b], excepto para un número finito de puntos de [a,b] en los cuales exis- ten límites laterales. En x=a, sólo se requiere que exista lim f yen x=b sólo se requiere que exis- + x>d ta lim f. x>b Ejemplos: 01, Sea f :[-3,8] —> AR, definido por: Y 2,-3 k=1,2,....M. ñ Se verifica: )' Aj =b=a. k=1 1. Clases de Partición Una partición puede ser: a) REGULAR, cuando las longitudes Ax, tiene la misma medida. Es decir, [Ax == |, Y k=1,2,3,....1 2 En este caso el extremo derecho de cada intervalo [xg _¡ ,xp] es | x= a+É£(b-a) > k=0,1,2,....11. b) NO REGULAR, cuando las longitudes Ax, tienen diferente medida. 178 LA INTEGRAL DEFINIDA 1.2.2, Norma de una Partición Definición: Se llama NORMA de la partición P de [a,b] al número IP] = máxi Ax¿/k=1,2,3,..,1) o [All norma de P es la máxima longitud de las longitudes Ax, Ejemplo; 01. En el intervalo cerrado [a,b], si la partición es regular, se tiene que || PI] = 2 _ . Pues [|PI|= máx| As “ E2/k=1,2,...n) n . (2 b-a +) = MA) me. nn n _b-a a a=x0 x » 3 Ma b=Xp 02. En el intervalo [2,5], se tiene la partición P=[2,2.5,2.7,3,3.5,4,43,5) DM AAA so Ax =29-x =0.5 Ax, =x-%3=0.2 Ax =x3-x3 =0,3 Axg =x4—x3 =0.5 y entonces: [|P|| = 0.7 = máriAxj /k=1,2,..., 1) Ax5 =x5—x4 =0.5 Axg = xp -x5 =0.3 Ax] =x7 xp =0.7 2. SUMA DE RIEMANN Sea /(x) una función definida en un intervalo cerrado [a,b]. Una suma de RIEMANN de Fx) en [a,b], es una suma de la forma: S= Y F(E)M% k=1 179 LA INTEGRAL DEFINIDA 02. Para integrar la función f(x =1, Wxe[a,b] con 0o d=1 b n 4) Si E =2 Za entonces j £0)d=(b=a) lim E Y s(ertto-0)) la n>0o k=1 1 a Si a=0;b=1 ent di= lim (Ly (22 ia entonces [10 EN 2 ) —O Definición: b 1) El número real j J (x)dx se llama INTEGRAL DEFINIDA de f(x) desde a hasta b. a 2) La función /(x) se llama INTEGRANDO. 3) Los números a y b se llaman LÍMITE INFERIOR y LÍMITE SUPERIOR, respectivamente. 184 LA INTEGRAL DEFINIDA 3,3. L Nota: Para abordar un problema de integral definida, por sumas de Riemann, tener en cuenta una de las seis fórmulas, según el caso que se presenta. Problemas En los siguientes problemas se da el límite de una suma de Riemann. Lo que usted hará es expresar dicho límite como una integral definida. b Dado una suma de Riemann, hallar j F(x) dx. Expresar como una integral definida por a los siguientes límites: PROBLEMA 01] lim y Hr —x, 1); donde P es una partición de [0,/3] IPI>0 * Solución: E =x; [xj 1,41] En este caso tenemos XX ¡-1=Ax; Luego, Hobo P es una partición de [0,/3] a , y portanto: lim 7 1P1>0;=1 Nota: Como ||P|| > 0, entonces Ax, >0, Vi y portanto Ax, se convierte en dx. Donde: Ax: es el incremento de x,, que por definición es Ax; =x,—X;.1 dx: es el diferencial de x. Ma TX Además: dx= lim (x-x¡-1) Esdecir: si x,_¡ seacercaa x, | entonces x, —x,_.¡ =Áx, Se acerca a cero. : psi cl APM = lim Ax, E Ax >0 185 LA INTEGRAL DEFINIDA Donde, por el teorema del valor medio: 3 c, € [xg-1,xg] tal que f'(c;)= po e e Me 1 n re 8 PROBLEMAOS| — tim y) ED donde A es partición de [0,£] PAN 0] 550% 1 Solución: ; Ga Ha 0 Sena Se Xp m1 “na 1) E M1 14 7/4 3 j E ge J La Gan cosx 0 14 = f secx dx o PROBLEMA 06 lim y senil a La os HER, donde P es una partición de [o, 2] IP1>0 ¿= Solución: Aplicar la fórmula: sen 4 cos B =1 [sen(4+B)+sen(4-B)] a O obteniéndose sen cos EG = [sen +sen(-xg-1)1 =Y => [sen xg —sen xp 1] n Luego el límite será: lim Y»? L [sen xy —senxg 1] 121>0/21? Dentro de la suma multiplicar y dividir por xy —xz—1 , Obteniéndose: 0 1 lim 2 , Pues xy —Xp-1 =Axp +0, Axj es 1022 q Ñ positivo, tiende a cero pero no es cero. Jos =2-0 SON xy — SEN Y — =1 lim [ rea z 5 7 =1 | senxdr=1 | cosxdr o 20 187 Moisés Lázaro Carrión PROBLEMA 07 Sea f una función con derivada continua en [2,5] tal que /(2)=3 y F(5)=9.Si P=(xp,xX]»...,x,) es una partición de [2,5]. Halle el valor de: lim E ln+700- 2 14-00) 1P1=>0 ¿ Solución: L= li 2 a ¿El (e 1) + 409) F 0101 som E LO-S0r-1) - E [> an Jes=s-0 5 = Ú' P+F) = Px+f (015 =[2(5) + F(51-12(2)+ (01 =[10+9]-[4+3]=12 no", 1 Aplicaciones de las fórmulas lim li y F (E )- I' 10: HO PROBLEMA 08 Expresar como una integral definida del es límite: ES Es) fro: de lim Latpieis ¿EM GHD) — Ji n>0 ” 12 Nota: Se puede usar sin demostrar: Vx,ye R?:x x< Solución: 7 Y (+0) lim L2ADIAd At A) pj lim 5 = lim “n>o " n>o 1 Según la propiedad: x x< y o sl El [xx -1»xXx] en el extremo izquierdo. 1 = dee Í de Donde: Ey-1 =p 1 = a+ (ba) 1 + = La Como a=0b=1 => == ES PROBLEMA 11| Usando sumas de Riemann, expresar como integral definida, el siguiente 3 3 3 límite: lim . + ze +... + z e +102+2) (1 +4)J0é +2:2?) (+) 042?) Solución: a 3 L= lim Y) 2 dividir y multiplicar por 1. Mea (+04) 1 y 1 Im A A AT) ? mM = tim] 13 ñ =f 1 ica] ia PROBLEMA 12 Hallar el límite: 1 2 lim a 2 4 lan? 12 Solución: Ly a Multiplicar y dividir por » : L= lim¿- 2 _*5 ultip! y di pora a 2, AZ 1 1 = lim Jl 1 | e qe A +ndn PEN CTN E PROBLEMA 13 Calcular usando sumas de Riemann — lim n>o 191 LA INTEGRAL DEFINIDA b IX, Cálculo de f FG) dx por suma de Riemann conociendo la fórmula de algunas sumas. Sumas conocidas: L Y tan 2. Y a=na k=1 k=1 Do, ema 2 3 Di 4 DÉ =In(n+1)(Qn+1) k=1 k=1 n 2 2 2 ms 3_PMmin? k_ 1er A E E Y AS tl k=1 k=0 7. Y sen) La 0os3-cos(n+s)s ] k=l 3 PROBLEMA 01 Calcular f x dx, por sumas de Riemann. Solución: b A Aplicando la fórmula j f()de=(b-a) lim l Y s(arho-0)) ki la 7 E obtenemos: fre=o- lim e $ st +EG- Y Ñ do e =2 lim (1.2 +1)= 2(2)=4 193 Moisés Lázaro Carrión 2 PROBLEMA 02 Calcular j xdx 1 Usando sumas de Riemann y particiones P=1(q'/i=0,1,2,....n) donde g=Xl2, nez* . 2 pl Sugerencia: Usar lim W/x=1, x>1, E ph =>, rál. 1>0 Solución: La partición P=((V/2)/i=0,1,2,....1) es NO REGULAR. =(QU7)/1=0,1,2,....) =(1,20,22 0) Ax = QUE olmo 12 00 lim Ax, =0, pues lim 2!” =2*=1 Pa qa 2 n Luego j xde= lim Y f()Ax. , E =2=0)* Ñ A fEY=0"y = lim Y EME ay no Sá $ (Uk ome 33 > my 35 ¿gUnyk = lim ¿[1-2/7] Y (4/7) n>0 El o a (aun 1 - im [1-50] Pan J Ln o qn = lim ¿2 Y Lain To = lim 5 ur => a>o| 2" crm-ye”+ 1n>02 (2 +1 194 
