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UNIDAD V. ANALISIS DE LA CONVECCIÓN.
INTRODUCCIÓN
CONVECCIÓN. Proceso de alejar la energía térmica de una superficie sólida a un fluido adyacente en movimiento en presencia de una diferencia de temperaturas. La convección se puede llevarse a cabo de dos formas, de manera natural (Convección Natural) y de manera artificial (Convección Forzada). De manera general el proceso de convección implica los siguientes eventos:
- Conducción de calor desde una superficie sólida hacia una capa delgada de fluido adyacente.
- El movimiento de partículas calientes de fluidos, alejándose de la superficie sólida y ocupando su lugar partículas relativamente frías del mismo fluido. El movimiento de las partículas del fluido se puede atribuir a cambios de presión, a un cambio de densidad o a una combinación de ambos.
El estudio de la transferencia de calor por convección se encuentra
íntimamente relacionado con el estudio de flujo de fluido.
Convección Forzada. Proceso de transferencia de calor en un
radiador de un auto.
Convección Natural. Proceso de transferencia de calor en un
calentador casero a base de agua caliente en una tubería dentro de un cuarto.
Hasta ahora hemos supuesto como conocido el coeficiente “h”.
Existen métodos para predecir el valor de “h”.
Existe una relación muy estrecha entre el proceso de transferencia de
energía y el del movimiento de fluido.
Para la estimación de “h” a menudo se tiene que utilizar
correlaciones experimentales ó empíricas generalmente expresadas en forma gráfica o a través de expresiones matemáticas, existe una gran cantidad de este tipo de información. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA PLACA PLANA CON CONVECCIÓN FORZADA EN RÉGIMEN LAMINAR.
CAPA LÍMITE HIDRODINÁMICA. Región próxima a la placa en
donde se experimentan los efectos viscosos.
Figura 5.1. Generalmente el espesor de la capa límite hidrodinámica es muy pequeño. La capa abarca hasta donde la velocidad del fluido alcanza el 99% de la velocidad de la corriente libre del fluido V. El concepto de capa limite fue introducido por Prandtl y divide el campo de flujo en dos regiones: una capa muy delgada en donde las fuerzas viscosas de corte son significativas y una región exterior a esta capa en donde los efectos viscosos son prácticamente despreciables.
CAPA LIMITE TÉRMICA. Región próxima a la placa en donde
están confinados los gradientes de temperatura en el fluido. Figura 5.2.
5.1. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
Método para correlacionar cierto número de variables en una sola
ecuación, expresando un efecto.
Opera únicamente con las dimensiones de las variables, no se
pueden producir resultados numéricos directos a partir de las variables, sino que se producen módulos por medio de los cuales los datos observados pueden combinarse y establecerse así la influencia relativa de las variables.
Es una pieza fundamental del Estudio Empírico.
En el se usan las llamadas dimensiones fundamentales tales como
longitud, tiempo, temperatura y dimensiones derivadas, que son aquellas que se expresan en términos de las dimensiones fundamentales tal como la velocidad = longitud / tiempo.
En ingeniería mecánica y química es costumbre usar un conjunto
de seis dimensiones: Fuerza (F), Energía o Calor (H), Longitud (L), Masa(M), Temperatura (T) y Tiempo (θ).).
Cuando la correlación maneja algún término de energía esta
puede expresarse en términos de trabajo (lbf - ft) o en términos de calor (BTU). Por tal motivo en el análisis dimensional se debe de meter una constante de conversión que relacione ambas formas de expresar a la energía (Equivalente mecánico de calor) ML² KH = Hθ).² KH = 778.17 lbf – ft BTU (1 BTU = 778.17 lbf - ft)
Considerando la transferencia de calor por convección forzada de
un fluido incompresible que viaja en flujo turbulento por una tubería de diámetro uniforme a flujo masico constante y tomando en cuenta que se ha encontrado que es influida por la velocidad V, densidad , calor específico Cp, conductividad Térmica K, Viscosidad μ, diámetro interno D. ¿Cómo establecer la relación entre coeficiente de transferencia de calor h y todas estas variables?
Se debe de aplicar un análisis dimensional donde se expresen
todas las variables que afectan al coeficiente convectivo de calor.
Como no se sabe si todos los términos de energía serán
expresados mecánica o térmicamente, se debe de incluir el
equivalente mecánico del calor KH = ML² / Hθ).². El primer paso consiste en expresar todas aquellas variables que afectan al coeficiente convectivo y posteriormente aplicando el método de Rayleigh que se basa en proponer una ecuación en la que la variable dependiente queda como una función de las variables independientes elevadas a un exponente desconocido y posteriormente forzar a la ecuación propuesta a que presente consistencia dimensional a ambos lados de la misma. De esta manera tendremos: hi V, , Cp, D, K, μ, KH hi = Va^ , b^ , Cp d^ , D e^ , K f^ , μ g^ , KHi Ecuación 5. Sustituyendo las dimensiones de cada variable: a b d f g i H L M H e H M ML² = L ΘL²T θ L³ MT θLT Lθ Hθ² Para que esta ecuación sea dimensionalmente correcta se necesitará que la suma de los exponentes de las dimensiones H L Θ T M en ambos lados de la ecuación sean iguales, así: ∑H 1 = d + f – i Ecuación 1 ∑L -2 = a – 3b + e – f – g + 2i Ecuación 2 ∑M 0 = b – d + g + i Ecuación 3 ∑T -1 = -d –f Ecuación 4 ∑Θ -1 = - a – f – g – 2i Ecuación 5 Tenemos 7 incógnitas (a, b, d, e, f, g, i) y solo 5 ecuaciones, por tal razón, consideraremos los exponentes a y f como variables conocidas, para así poder resolver el sistema de ecuaciones simultáneas. Resolviendo el sistema en función de a y f, tendremos: De la Ecuación 4: -1 = -d –f d = 1 - f
hi = Va^ , a^ , Cp 1-f^ , D a-1^ , K f^ , μ 1-f-a^ , KH 0 Agrupando Términos tendremos: DV a hi = ( μCp ) 1-f^ D-¹ K f^ K-¹ K¹ μ DV a hi = ( μCp ) 1-f^ D-¹ K -1+f^ K μ hiD DV a = ( μCp ) 1-f^ K -(1-f) K μ hiD DV a μCp 1 – f = ECUACUÓN 5. K μ K Donde: hiD = Nu = número de Nusselt (adimensional) K DV = Re = número de Regnolds(adimensional) μ μCp = Pr = número de Prandtl(adimensional) K Así: a 1 - f Nu = Re Pr ECUACUÓN 5.
Convección Forzada en una placa plana con flujo laminar en la capa límite térmica. Coeficiente convectivo de transferencia de calor en la capa frontera laminar desde una placa que mantiene su temperatura uniforme(Tw). h (^) promedio L Nu (^) promedio = = 0.662 ReL ½^ Pr ¹/³ K Despejando h (^) promedio obtenemos: K h (^) promedio = 0.662 ReL ½^ Pr ¹/³ L VL Re = donde L es la longitud de la capa. μ Ecuaciones válidas solamente si la capa frontera laminar se extiende sobre toda la longitud de la placa. EJEMPLO 5.1. Fluye aire sobre una placa plana delgada cuyo ancho es 1m y con 1.5m de largo, a una velocidad de 1m/s. La temperatura de la corriente libre es de 4°C. Calcular la cantidad de calor que debe suministrársele a la placa para mantenerla a una temperatura uniforme de 50°C. DATOS: AIRE T∞ = 4 °C V∞ = 1 m/s W = 1.0 m L = 1.5 m Tw = 50 °C q’ =?
Para verificar que es flujo laminar: VL VL (1m/s)(1.5m) ReL = = = = 9.56 x 10^4 < 5 x 105 μ 15.68 x 10-6^ m²/s el flujo es laminar. 0.02624 w/m °K ½ 1/ hprom = (0.662) (9.56 x 10 4 ) (0.708) 1.5m hprom = 3.22 w/m² °K q’ = 2 hprom A (Tw - T) = 2 (3.2 w/m² °K) (1m x 1.5m) (50 - 4)°C q’ = 445.4 watts. Convección forzada en una placa plana en régimen turbulento. Figura 5.5. El coeficiente de transferencia de calor se puede calcular fácilmente recurriendo a la analogía de Reynolds con la siguiente Ecuación: __ 0.8 1/ NuL = 0.036 (ReL - 23.2 x 10 ³) Pr Las propiedades físicas del flujo se calculan o evalúan a la temperatura de la película(Tf).
EJEMPLO 5.2.
Considere una placa de 1m de longitud por 1m de ancho la cual se encuentra a una temperatura de 80 °C. Se hace pasar agua sobre su superficie a una velocidad de 1m/s y con una temperatura de 40 °C. Calcular el calor disipado por la placa suponiendo que el agua presenta las siguientes propiedades a 60 °C. K = 0.651 w/m °K, Pr = 3.02 = 0.478 x 10 –6^ m²/s DATOS: Agua T = 40°C L = 1m w = 1m Tw = 80 °C V = 1m/s KH 20 = 0.651 w/m °K Pr = 3. = 0.478 x 10-6 m²/s q’ =? SOLUCIÓN q’ = hA (Tw - T) VL (1m/s) (1m) Re = = - 0.478 x 10 m²/s Re = 2.09 x 10^6 > 5 x 10^5 Por lo tanto tenemos flujo turbulento. __ NuL = 0.036 (ReL0.8^ - 23.2 x 10 ³) Pr 1/ __ NuL = 0.036 (2.09 x 10^6 ) 0.8^ - 23.2 x 10 ³ (3.02) 1/
Las propiedades de esta expresión se evalúan a la temperatura media del fluido y el exponente n adquiere un valor : 0.4 para calentamiento. 0.3 para enfriamiento. Aquí _ 0. h directamente proporcional a V inversamente proporcional a D
. Así que para un flujo masico dado: Un aumento de D reduce el valor de h proporcionalmente a 1/(D)1. Así el uso de tuberías de diámetro pequeño conduce a valores altos de h, pero los costos de bombeo también son altos. La ecuación anterior se aplica a fluidos con un Pr > 0.7 y Pr < 120 y en donde la diferencia de temperatura entre la pared del tubo y el fluido es moderada. Para tomar en cuanta las variaciones en las propiedades físicas del fluido cuando la diferencia de temperaturas entre la pared del tubo y el fluido es grande, Seder y Tate recomiendan la siguiente ecuación: _ _ hD 0.8 1/3 μ 0. Nu = = 0.027 Re Pr ECUACIÓN 5.4 K μw Todas las propiedades se evalúan a la temperatura media del fluido con excepción de la viscosidad μw que se evalúa a la temperatura de la pared del tubo. En el rango de números de Prandtl para gases 0.5 a 1.0, Rohsenow y Hartnett presentan las siguientes ecuaciones para cuando q’’w = cte ó Tw = cte (Tw es la Temperatura de la pared del tubo) _ 0.8 0. Nu = 0.022 Re Pr ECUACIÓN 5. q’’w=c _ 0.8 0.
Nu = 0.021 Re Pr ECUACIÓN 5. Tw=c Para metales líquidos (Números de Prandtl pequeños) dos expresiones muy populares son la ecuación de Lyon para q’’w=cte y la ecuación de Seban Shimazaki para Tw = cte. _ 0. NU = 7.0 + 0.025 Pe ECUACIÓN 5.
q’’w=c
_ 0.
Nu = 4.8 + 0.025 Pe ECUACIÓN 5.
Tw=c
Las propiedades físicas del fluido se evalúan a la temperatura promedio. EJEMPLO 5.3. Se desea calentar 100 Kg/min de agua desde una temperatura de 20 °C hasta una de 60°C, haciéndola circular por el interior de un tubo de cobre de 5 cm de diámetro interior. La superficie del tubo se mantiene a 100°C condensando vapor por el exterior. Determinar la longitud necesaria del tubo, si las propiedades del agua a 40 °C son: = 994.59 Kg/m³ Cp = 4.1784 x 10³ J/Kg °K = 0.658 x 10-6 m²/s K = 0.628 w/m °K Pr = 4. DATOS: m = 100 Kg/min agua Te agua = 20°C Tsal agua = 60°C D.I. = 5 cm Tw = 100 °C L =? Propiedades del Agua: = 994.59 Kg/m³ Cp = 4.1784 x 10³ J/Kg °K
Utilizando la correlación para calentamiento : _ 0.8 0.4 0.8 0. Nu = 0.023 Re Pr = 0.023 (64, 851.32) (4.24) _ _ Nu = 292.59 = hD K 292.59 K (292.59) (0.628 w/m °K) h = = = 3674. w/m²°K D 0.05 m . m Cp (Tsal - Tent) (100Kg/min)(1min/60seg)(4.1789x10³J/Kg°K)(60- 20)°C L = _ = (^) Dh (Tw – T (^) f) (^) (0.05m) (3674.92 w/m² °K) (100- 40)°C L = 8.04 m. Formulas empíricas para una convección forzada sobre tubos. Para el caso de Gases y Líquidos que fluyen transversalmente sobre un cilindro de diámetro exterior D, Holman indica que h puede determinarse mediante la relación: _ _ hD 1/ N u= = C Re ⁿ Pr K Donde: VD Re =
C y n son constantes cuyo valor está en función del Re: Re C n 0.4 – 4 0.989 0. 4 – 40 0.911 0. 40 – 4000 0.683 0. 4000 - 40000 0.193 0. 40000 - 400000 0.0266 0. 5.3. CONVECCIÓN NATURAL. Ruhsenow y hartnett propusieron la siguiente correlación para Nu promedio en diferentes geometrías. _ ¼ NUL = C 1 Ra (^) L para 104 < RaL < 10^9 Ecuación 5. Donde: Ra es el número de Rayleigh gβ (Tw - T) L³ RaL = GrL Pr = β Coeficiente de expansión térmica (°K-¹) Difusividad Térmica (m²/s) Viscosidad cinemática (m²/s) L Es diámetro para tubos esfera o ancho para una placa. Tw Temperatura de la superficie. T Temperatura del fluido. g aceleración de la gravedad. GrL Número de Grasbof. g Lc³ β (Tw - T) GrL = ²
EJEMPLO 5.4.
Estimar las perdidas de calor por unidad de longitud en un tubo horizontal de 15 cm de diámetro exterior, si la superficie se mantiene a 400 °K y el aire que lo rodea se encuentra a una temperatura de 300 °K y a una presión de 1 bar. DATOS: Tubo D.E. = L = 15cm = 0.15m Tw = 400 °K T = 300 °K P = 1 bar. Tw + T 400 + 300 Tf = = = 350 °K 2 2 Consultando las propiedades del Aire a T=350 °K y P = 1 bar = 20.76 x 10-6^ m²/s = 0.2983 x 10–4^ m²/s K = 0.03003 w/m °K Pr = 0. β = 2.86 x 10 -³ °K-¹ g β(Tw - T) L ³ RaL = GrL Pr = (9.8 m/s²)(2.86 x 10-³ 1/°K)(400 - 300)°K (0.15m)³ RaL = (20.76 x 10-6^ m²/s)(0.2983 x 10-4^ m²/s) 7 9 RaL = 1.527 x 10 < 10 C 1 = 0.47 (Cilindro horizontal) _ NUL = 0.47 Ra¼^ = (0.47)(1.527 x 10^7 )¼^ = 29.38 = hD K
K 0.03003 w/m°K h = (29.38) = (29.38) = 5.88 w/m²°K D 0.15m q’ = h^ DL (Tw - T∞) = (5.88 w/m²°K) (∏)(0.15m)(1m)(400 - 300)°K q’ = 277.27 w/m. 5.4. TRANSFERENCIA DE CALOR CON CAMBIO DE FASE. En muchos procesos de transferencia de calor interviene un vapor saturado que experimenta un cambio de fase al estado líquido (condensación) cuando el vapor se pone en contacto con una superficie de menor temperatura. En otros casos se presenta el fenómeno inverso, un líquido que cambia a vapor mediante la ebullición. Los problemas de transferencia de calor con condensación y ebullición son mas complejos que los de convección sin cambio de fase. CONDENSACIÓN Consideremos una placa vertical, la cual se mantiene a una temperatura Tw inferior a la de saturación del vapor que la rodea, entonces se presenta una condensación en forma de película sobre la superficie de la placa, la cual fluye a favor de la gravedad e incrementa su espesor a medida que mayor cantidad de vapor se condensa en la interfase. A menos que la velocidad del vapor sea muy grande o el espesor de la película sea grande, el régimen de flujo del condensado será laminar y el calor será transferido hacia la superficie solamente por conducción. A esto se le conoce como CONDENSACIÓN PELICULAR. En otras circunstancias menos comunes cuando la superficie de transferencia de calor está contaminada con alguna sustancia que evita que el líquido se adhiera a la superficie, el vapor se condensa en gotas en ves de formar una película. A esto se le llama CONDENSACIÓN POR GOTEO.
