Williams Mamani Quispe
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Álgebra LineaL
Practica IV
Ejercicios Resueltos
II - 2023
Agradecimientos a mis padres
Claudina Quispe Alejo
Manuel Mamani Condori
La Paz - Bolivia 2de diciembre de 2023
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Álgebra Lineal: Práctica IV - Ejercicios Resueltos, Ejercicios de Álgebra Lineal
Ejercicios de transformaciones lineales
Tipo: Ejercicios
2022/2023
1 / 27
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Williams Mamani Quispe
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Álgebra LineaL
Practica IV
Ejercicios Resueltos
II - 2023
Agradecimientos a mis padres
Claudina Quispe Alejo
Manuel Mamani Condori
La Paz - Bolivia 2 de diciembre de 2023
Transformaciones Lineales
Ejercicio 1 Determina cuales de las siguientes funciones, son transformaciones lineales
Ejercicio 1 (a)
T : R
3 −→ R
2
x
y
z
7 −→ T
x
y
z
x + y
y · z
Solución No es una transformación lineal
pues,
T
=^ T
T
+^ T
=^
, entonces ∃
x
y
z
∈ R
3 , T
x
y
z
x
′
y
′
z
′
̸= T
x
y
z
+ T
x
′
y
′
z
′
, entonces T no es una transformación lineal de R
2 a R
2
Ejercicio 1 (b)
H : R
2 −→ R
2
x
y
7 −→ H
x
y
x
y
x/y
Solución No es una transformación lineal
pues, H
no está definida
, entonces H no es una transformación lineal de R 3 a R 2
0
Matriz de una transformación lineal, en diversas bases
del dominio y codominio
Ejercicio 3 Hallar
h
T ¢
i
, en donde ¢ es la base canónica para el dominio de T ¢ =
1
0
,
0
1
es base en R 2
¢ =
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
es base en R 4
Ejercicio 3 (a) Sea T : R
2 ⇒ R
3
Si T
y^ T^
. Hallar
h
f ¢
i
Solución
h
T ¢
i
=
T
T
T
T
T
T
− T
Ejercicio 4 Hallar
h
f ¢
i
, en donde ¢ es la base canónica para el dominio de f Cuando nos referimos a la base canónica para el
dominio de f , nos referimos a la base de canónica
de los polinomios P 2 , y esta es
¢ =
1 , x , x 2
¢ =^
1 + 0 x + 0 x
2 , 0 + 1 x + 0 x
2 , 0 + 0 x + 1 x
2
1 , x , x
2
Ejercicio 4 (a) Sea f : P 2 ⇒ P 3
y f ( 1 + x) = 1 − x
2
- x
3 y f ( 1 + x
2 ) = 1 − x + x
2 y f (x + x
2 ) = x
3
. Hallar
h
f ¢
i
Solución Hallaremos la transformación f en términos de vectores en R
3 y R
4 Debemos notar que para encontrar la matriz de
la transformación debemos convertir los espacios,
del dominio y el codominio, a espacios isomorfos
adecuados.
Pn es isomorfo a R n+^1
R n×m es isomorfo a R nm
, entonces f : R
3 ⇒ R
4 y f
y f
y f
h f
i
=
f
f
f
f
^1 /^2
+^1 /^2
−^1 /^2
f
^1 /^2
−^1 /^2
+^1 /^2
f
−^1 /^2
+^1 /^2
+^1 /^2
1 /^2 ·^ f
+^1 /^2 ·^ f
−^1 /^2 ·^ f
1 /^2 ·^ f
−^1 /^2 ·^ f
+^1 /^2 ·^ f
−^1 /^2 ·^ f
+^1 /^2 ·^ f
+^1 /^2 ·^ f
−^1 / 2 1 / 2 −^1 / 2
Construyamos las bases como vectores, de esta Usando la siguientes bases, calcula las matrices asociadas a las siguientes transformaciones lineales Ejercicio 8
forma podemos trabajar mejor
B =
1
0
0
0
,
1
1
0
0
,
1
1
1
0
,
1
1
1
1
F =
1
1
1
0
,
1
1
0
1
,
1
0
1
1
,
0
1
1
1
B =
1 + 0 x + 0 x 2
- 0 x 3 , 1 + x + 0 x 2
- 0 x 3 , 1 + x + x 2
- 0 x 3 , 1 + x + x 2
- x 3
base para P 3
D =
base para R 3
F =
base para R
2 × 2
K : P 3 ⇒ R Ejercicio 8 (a)
2 × 2 dada por K(a + bx + cx
2
- dx
3 ) =
a + b c − d
a − c c + d
Aquí emplearemos por primera vez, un teorema
que nos permite calcular la matriz de una
transformación lineal, con base B en el dominio y
base F en el codominio h TB F
i
h P¢ F
ih TB
i
además, recordemos que
h TB
i
T(u 1 ) · · · T(un )
en donde B = {u 1 ,... , un } es una base para el
dominio de la transformación
Solución Hallemos la transformación K en términos de vectores en R
4 y R
4
, entonces K : R
4 ⇒ R
4 dada por K
a
b
c
d
a + b
c − d
a − c
c + d
, entonces
No olvide que la matriz
h KB F
i crea la siguiente
transformación
KB F : R 4 ⇒ R 4
x 1
x 2
x 3
x 4
7 −→ KB F
x 1
x 2
x 3
x 4
=
h KB F
i
x 1
x 2
x 3
x 4
no olvidemos también que
h KB F
i
x 1
x 2
x 3
x 4
es
un vector que tiene cuatro coordenadas , pues está
en el codominio
h
KB F
i
=
h
P ¢ F
ih
KB
i
h
P F ¢
i− 1 h
KB
i
K
K
K
K
Z : R Ejercicio 8 (b)
2 × 2 ⇒ R 3 dada por Z
x y
z w
x + y + z
y − z − w
x + w
Solución Hallemos la transformación Z en términos de vectores en R 4 y R 3
, entonces Z : R
4 ⇒ R
3 dada por Z
x
y
z
w
x + y + z
y − z − w
x + w
No olvide que la matriz , entonces
h ZF D
i crea la siguiente
transformación
ZF D : R 4 ⇒ R 3
x 1
x 2
x 3
x 4
7 −→ ZF D
x 1
x 2
x 3
x 4
=
h ZF D
i
x 1
x 2
x 3
x 4
no olvidemos también que
h ZF D
i
x 1
x 2
x 3
x 4
es
un vector que tiene tres coordenadas , pues está
en el codominio
h
ZF D
i
=
h
P ¢ D
ih
ZF
i
h
P D ¢
i − 1 h
ZF
i
− 1
Z
Z
Z
Z
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 8
Hallar la matriz de la transformación lineal Apendice W
EJEMPLO 1: Dada T : R
3 ⇒ R
2 definida por T
x
y
z
=^
2 x − y + z
y − 4 z
Solución Podemos encontrar la matriz de la transformación lineal como
T
x
y
z
=^
x
y
z
, entonces
h
T
i
=
EJEMPLO 2: Dada T : R
2 ⇒ R
2 definida por T
x
y
x + y
x − y
Solución Podemos reescribir la definición de la transformación como
T
x
y
x
y
, entonces
h
T
i
=
EJEMPLO 3: Dada T : R
2 ⇒ R
2 definida por T
x
y
x
Solución Podemos reescribir la definición de la transformación como
T
x
y
x
y
, entonces
h
T
i
=
EJEMPLO 4: Dada T : R 4 ⇒ R 2 definida por T
x
y
z
w
x + z
y + w
Solución Podemos reescribir la definición de la transformación como
T
x
y
z
w
x
y
z
w
, entonces
h
T
i
=
EJEMPLO 5: T
x
y
z
x
x − y
x − y − z
Solución
h
T
i
=
EJEMPLO 6: T
x
y
z
x
y
z
Solución
h
T
i
=
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 10
Apendice W2 Hallar las matrices de las transformaciones lineales respecto de la base dada
EJEMPLO 7: Sea
T : R
3 ⇒ R
2
x
y
z
7 −→^ T
x
y
z
=^
x + y + z
y − z
y ¢ =
base para R
3 Si quisiéramos hallar
h T
i tendríamos
h T
i
1 1 1 0 1 − 1
Hallar
h
T ¢
i
Solución
h
T ¢
i
=
T
T
T
Observamos que h T¢
i
h T
i
y esto no es novedad, ya que es una consecuencia
del siguiente teorema
h TB
i
T(u 1 ) · · · T(un )
en donde B = {u 1 ,... , un } es una base para el
dominio de la transformación
, entonces
T
EJEMPLO 8: Sea
T : R
3 ⇒ R 2
x
y
z
7 −→^ T
x
y
z
=^
2 x + 5 y + z
8 x + 12 y + 6 z
y B =
base para R
3
Hallar
h
TB
i
Solución
h
TB
i
=
T
T
T
, entonces
TB
EJEMPLO 9: Sea
T
: R
2 ⇒ R
3
x
y
7 −→ T
x
y
x
y
y sea B =
Halla
h
TB
i
Solución
h
TB
i
=
T
T
, entonces
h
TB
i
=
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 11
Apendice W3 Ejercicios con condiciones variadas
EJEMPLO 12: Hallar la matriz de T : R
2 ⇒ R
3 si se tiene que Este ejercicio se puede resolver de una manera
mas cómoda, de hecho tal manera está en este
documento. Es el ejercicio 3 a)
T
y^ T^
Solución Sea
x
y
= x
- y
, entonces
x
y
= x
- y − 1
, entonces
x
y
= (x − y)
- y
, entonces T
x
y
= (x − y)T
- yT
, entonces T
x
y
= (x − y)
+^ y
, entonces T
x
y
x − 2 y
−x + 2 y
x − 2 y
, entonces T
x
y
x
y
, entonces
h
T
i
=
Recuerde que
h T
i
h T ¢
i
EJEMPLO 13: En el ejemplo anterior, ya que B =
es una base para el dominio de T. Hallar
h
TB
i
Solución Sea
x
y
= P
B ¢
α
γ
B
La solución adyacente, está realizada paso a
paso. Recuerde que podemos calcular
h TB
i
inmediatamente si usamos el teorema h TB
i
T(u 1 ) · · · T(un )
en donde B = {u 1 ,... , un } es una base para el
dominio de la transformación
En nuestro caso tenemos
h TB
i
T
1
0
T
1
1
, entonces
x
y
α
γ
B
, entonces
x
y
= α
- γ
, engonces T
x
y
= α T
- γ T
, entonces T
x
y
T
T
α
γ
B
, entonces T
x
y
α
γ
B
, entonces
h
TB
i
=
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 13
EJEMPLO 14: Hallar la matriz de T : R 2 ⇒ R 2 si se tiene que
T
y T
Solución Sea
x
y
= x
- y
, entonces
x
y
= x
- y − 1
, entonces
x
y
= y
- (x − y)
, entonces T
x
y
= yT
- (x − y)T
, entonces T
x
y
= y
- (x − y)
, entonces T
x
y
− 4 x + 5 y
x − 3 y
, entonces T
x
y
x
y
, entonces
h
T
i
=
EJEMPLO 15: En el ejemplo anterior, ya que B =
es una base para el dominio de T. Hallar
h
TB
i
Solución
h
TB
i
=
T
T
, entonces
h
TB
i
=
EJEMPLO 16: Hallar la matriz de T : R 3 ⇒ R 4 si se tiene que
T
y T
y T
Solución Para hallar
h
T ¢
i
=
T
T
T
podemos escribir a los vectores
canónicos como combinación lineal de los otros vectores
=^ t 1
+^ t 2
+^ t 3
y
=^ t 1
+^ t 2
+^ t 3
y
=^ t 1
+^ t 2
+^ t 3
luego, después de hallar los escalares, podremos aplicar a esa combinación: la transformación, sus
propiedades y el dato que nos dieron.
finalmente, obtendremos las columnas que requerimos en nuestra matriz
h
T ¢
i
Para acompañar el desarrollo de este ejercicio,
vea el ejercicio 3 a)
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 14
EJEMPLO 19: Sea T
x
y
4 x − y
3 x + 2 y
y sea B =
base para R
2 y F = B base para R
2
Hallar
h
TB F
i
Solución
h
TB F
i
=
h
P ¢ F
ih
TB
i
h
P ¢ F
i
T
T
h
P ¢ F
i − 2 − 10
− 1 − 2 − 10
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 16
1
Núcleo e Imagen de una transformación lineal
Ejercicio 5 Calcula las dimensiones del Núcleo e Imagen de la siguientes transformaciones lineales
Ejercicio 5 (a) Sea T : P 3 ⇒ P 2 dada por T(a 0 + a 1 x + a 2 x
2
- a 3 x
3 ) =
a 0 + a 1
a 1 − a 2
x +
a 2 + a 3
x
2
Solución Hallemos la transformación T en términos de vectores en R 4 y R 3
, entonces T : R
4 ⇒ R
3 dada por T
a 0
a 1
a 2
a 3
a 0 + a 1
a 1 − a 2
a 2 + a 3
, entonces la matriz de la transformación lineal es
, entonces si escalonamos tenemos
, entonces ker(T) =
y im(T) =
, entonces ⋎(T) = 1 y ρ (T) = 3
Ejercicio 5 (b) Sea Z : R
2 × 2 ⇒ R
2 × 2 dada por Z(A) = A
T
- A
Solución Hallamos la transformación T en términos de vectores en R
4 y R
4
Z(A) = A T
- A
Z
a 11 a 12
a 21 a 22
=
a 11 a 12
a 21 a 22
T
a 11 a 12
a 21 a 22
=
2 a 11 a 21 + a 12 a 12 + a 21 2 a 22
Ahora, podemos escribir la matriz como un
vector de la siguiente forma
a 11
a 12
a 21
a 22
y su transformación vendría a ser escrita como
2 a 11
a 21 + a 12
a 12 + a 21
2 a 22
, entonces Z : R
4 ⇒ R
4 dada por Z
a 11
a 12
a 21
a 22
2 a 11
a 12 + a 21
a 12 + a 21
2 a 22
, entonces la matriz de la transformación lineal es
, entonces si escalonamos tenemos
, entonces ker(T) =
y im(T) =
, entonces ⋎(T) = 1 y ρ (T) = 3
Ejercicio 5 (e) Sea G : R
2 × 2 ⇒ R 3 × 2 dada por G(A) = BA , en donde B =
Solución Hallemos la transformación E en términos de vectores en R 4 y R 6 En el dominio tenemos A =
a 11 a 12
a 21 a 22
, esta se
escribirá como vector de la siguiente forma
a 11
a 12
a 21
a 22
Por otro lado la transformación en el codominio
es G(A) = BA =
a 11 − a 21 a 12 − a 22
− 2 a 11 + 2 a 21 − 2 a 12 + 2 a 22
−a 11 + a 21 −a 12 + a 22
, esta se escribirá como vector de la siguiente
forma
a 11 − a 21
a 12 − a 22
− 2 a 11 + 2 a 21
− 2 a 12 + 2 a 22
−a 11 + a 21
−a 12 + a 22
, entonces G : R
2 ⇒ R
3 dada por E
a 11
a 12
a 21
a 22
a 11 − a 21
a 12 − a 22
− 2 a 11 + 2 a 21
− 2 a 12 + 2 a 22
−a 11 + a 21
−a 12 + a 22
, entonces la matriz de la transformación lineal es
, entonces si escalonamos tenemos
, entonces ker(T) =
y im(T) =
, entonces ⋎(T) = 2 y ρ (T) = 2
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 19
Hallar el núcleo y la imagen de las siguientes transformaciones lineales Apendice W
EJEMPLO 20: Sea T : R
3 ⇒ R
2 dada por T
x
y
2 x + 3 y
x − y
5 y
− 7 y
Solución La matriz de la transformación lineal es
, entonces si escalonamos tenemos
, entonces ker(T) =
y im(T) =
, entonces ⋎(T) = 0 y ρ (T) = 2
EJEMPLO 21: Sea T : R
3 ⇒ R
2 dada por T
x
y
z
=^
4 x − 2 y
− 2 x − y + z
Solución La matriz de la transformación lineal es
, entonces si escalonamos tenemos
1 0 −^1 / 4
0 1 −^1 / 2
, entonces ker(T) =
y im(T) =
, entonces ⋎(T) = 1 y ρ (T) = 2
EJEMPLO 22: T
x
y
x + y
x − y
EJEMPLO 23: T
x
y
x + y
x − y
2 x + 3 y
EJEMPLO 24: T
x
3 x
− 2 x
EJEMPLO 25: T
x
y
4 x − 2 y
− 6 x + 3 y
EJEMPLO 26: T
x
y
z
2 x + 5 y + z
8 x + 12 y + 6 z
− 4 x − 2 y − 4 z
Gestión II/ 2023 Williams Mamani Quispe 20