Transformada de Laplace (1), Apuntes de Cálculo

¡Descarga Transformada de Laplace (1) y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Tema

Circuitos y Sistemas

Tema 1.

Análisis de circuitos en el dominio transformado de Laplace.

Introducción a la Transformada de Laplace (TL)

Transformada de Laplace Unilateral

1.2.1 Definición1.2.2 Propiedades de la TL1.2.3. Transformada de Laplace de excitaciones comunes.1.2.4 Obtención de la TL mediante la descomposición en fraccionessimples.

Resolución de ecuaciones diferenciales circuitales mediante TL.

Circuito Transformado de Laplace.

1.4.1 Introducción. Ley de Kirchoff en el dominio transformado.1.4.2 Transformación de elementos.

Función de Transferencia de un circuito. Diagrama de Polos y Ceros.

1.2.1 Definición de la TL unilateral

ℒ

ᡴ

ᡲ

= ᡆᠸ[ᡴ

ᡲ ] = ᡈ

ᡱ

=

㔅

ᡴ(ᡲ)ᡗ

⡹うぇ

ᡖᡲ

⦘ ⡨

ㄧ

1.- Unilateral:

Integral entre 0

e ∞.

Solo

es válida

para

Efectos

previos se tienen en cuenta mediante las condiciones iniciales. 0

por si

hay

discontinuidad

en

el

origen.

Se

asume

que

Es

como si estuviera multiplicado por un escalón:

2.- Unicidad: si se asume que

. Único par transformado

〡〓 げ 〡〓

ㄧㄗ

3.- La TL es una función de

. Frecuencia compleja

, constante de atenuación

pulsación

4.- Condición de existencia:

solo existe cuando el área bajo la curva

es finita.

lim ぇ→⦘

⡹゗ぇ

〰

donde

〰

es un número finito real

(abscisa de convergencia). La mayoría de las señales de interés.

Objetivo:

Dado un circuito con un cierto estado inicial en el estado

t=

-

y una

excitación

x(t)

que se inicia en el instante

t=

, determinar la respuesta

y(t)

cuando

t≥

. Obtendremos la respuesta forzada y estacionaria.

Dominio temporal (

t

Dominio transformado (

s

Circuito lineal

Ecuación Diferencial Solución (onda) en eldominio temporal (t)

Ecuación algebraica Solución en dominiotransformado (s)

TL

TL

-

1.2.1 Definición de la TL unilateral

1.2.2 Propiedades de la TL unilateral

Además de unicidad: 1.- Linealidad:

⡹⡩

1

2

1

2

[

( )

( )]

( )

( )

TL av

t

bv

t

aV

s

bV

s

=

2.- Derivación:

( )

[

]

( )

(0 )

dv t

TL

sV s

v

dt

−

=

−

1

1

[

]

N

N

i^

i

i^

i^

i^

i

TL

V

A v

t

A

s

=

=

∑

∑

Caso general

[

( )]

( )

TL Av t

AV s

=

Caso simple

Caso general

2

1

1

2

2

1

( )

(0 )

(0 )

(0 )

[

]

( )

(0 )

...

n

n

n

n

n

n

n

n

n

d v t

dv

d

v

d

v

TL

s V s

s

v

s

s

dt

dt

dt

dt

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

Segunda Derivada

2

2

( ) 2

(0 )

[

]

( )

(0 )

d v t

dv

TL

s V s

sv

dt

dt

−

−

=

−

−

1.2.2 Propiedades de la TL unilateral

3.- Integración: 4.- Desplazamiento en tiempo

0

[

]

t

V s

TL

v t dt

s

[ (

)]

sa

TL v t

a

u t

a

V s e

−

5.- Desplazamiento en frecuencia

[

( )]

at

TL e

v t

V s

a

−

Otras propiedades

1.2.3 TL de excitaciones comunes

4.- Seno:

v t

sen

t

u t

β

1

TL TL

−

2

2

( )

V s

s

β

β

=

5.- Coseno:

1

TL TL

−

6.- Rampa:

v t

t u t

1

TL TL

−

2 1

( )

V s

s

=

cos(

v t

t

u t

β

2

2

( )

s

V s

s

β

=