Transformada de Laplace
Es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales que convierte una
función del dominio del tiempo (t) al dominio de la frecuencia (s). Pierre
Laplace fue un astrónomo, físico y matemático de origen francés; a él se
atribuye el nombre de una de las transformadas más importantes en el
campo de estudio de las ecuaciones diferenciales.
Definición de la transformada de Laplace
Sea la función 𝑓(𝑡) una función continua por tramos o en todo su dominio. La
Transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) es denotada como ℒ{𝑓(𝑡)} y se define como
la integral impropia:
De la definición anterior, se tiene una notación alternativa para las
transformaciones de Laplace:
Al aplicar la transformada de Laplace a una función 𝑓(𝑡), se obtiene una
nueva función 𝐹(𝑠), donde 𝑠 es una nueva variable. Se deja de trabajar con
la variable 𝑡 porque se transforma todo en función de 𝑠.
Propiedades de la Transformada de Laplace
Posee muchas propiedades que se aplican tanto en su definición como en su
aplicación a los problemas de valor inicial de las ecuaciones diferenciales,
entre estas se tiene:
Propiedad de Linealidad
Sean 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) dos funciones, entonces:
ℒ{𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡) } = 𝛼ℒ{𝑓(𝑡) } + 𝛽ℒ{𝑔(𝑡) }
Para cualquier constante 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅.
Propiedad de cambio de escala
Sea 𝑓(𝑡) una función con transformada de Laplace 𝐹(𝑠) y sea 𝛼 ∈ 𝑅 − {0},
entonces:
ℒ{𝑓(𝛼𝑡) } = 1/𝛼 𝐹 ( 𝑠/𝛼 )
Propiedad de desplazamiento
Sea 𝑓(𝑡) una función con transformada de Laplace 𝐹(𝑠), entonces:
ℒ{𝑒^𝑎𝑡 𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
Para cualquier constante 𝑎 ∈ 𝑅.
